Exercice 1 : Force centrale et énergie potentielle
Un point matériel M est soumis à l'action d'une force centrale $\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}$ avec $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}$ et d'une force uniforme $\overrightarrow{f_{0}} = f_{0}\overrightarrow{e_{x}}$. On se place en coordonnées polaires.
Déterminer, à une constante près, l'énergie potentielle totale du point matériel.
Exercice 2 : Saut d'une voiture cascade
Un cascadeur veut sauter avec sa voiture sur la terrasse horizontale EH d'un immeuble. Il utilise un tremplin BOC formant un angle α avec le sol horizontal ABCD et placé à la distance CD de l'immeuble. (OC et DE sont des parois verticales.) On prendra g = 9,81 N.kg-1.
La masse de l'automobile et du pilote est m = 1,00 tonne. On étudiera le mouvement de l'ensemble assimilable à un point matériel : son centre d'inertie G.
Données :
α = 15,0° ; DE = 10,0 m ; OC = 8,00 m ; CD = 15,0 m.
- Faire le bilan des forces dans les 3 phases (B à O, O à E et E à H).
- Déterminer le travail de chacune des forces dans chaque phase.
- Pour une certaine valeur de $v_0$, l'automobile arrive en E avec une vitesse horizontale $\overrightarrow{v_1}$ telle que v₁ = 86,4 km/h. Déterminer la valeur de $v_0$ (en km/h) en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
- En considérant, qu'une fois l'automobile sur la terrasse, les frottements sont équivalents à une force constante $\overrightarrow{f}$ parallèle au déplacement et de valeur f = 500 N, calculer la valeur de la force de freinage $\overrightarrow{F}$ constante qui permettra au véhicule de s'arrêter sur le trajet de longueur EH = 100 m.
- Le temps mis pour parcourir la distance EH est t = 8,00 s ; en déduire la puissance du travail de la force $\overrightarrow{F}$.
Exercice 3 : Ressort sur rail horizontal
Un point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottement sur un rail horizontal repéré par un axe Ox (figure). Il est en outre attaché à un ressort de raideur k et de longueur l₀ attaché en O', un point situé à une distance d > l₀ de O, sur la même verticale.
M est initialement situé à l'abscisse x = a avec une vitesse nulle. Déterminez sa vitesse en fonction de x.
Exercice 4 : Montagnes russes
Une portion de montagnes russes a le profil de la figure. Un chariot, assimilé à un point matériel de masse m, parcourt ce dispositif sans frottement. À l'instant initial, il est lancé de A, d'ordonnée hA, avec une vitesse nulle.
- Intéressons-nous d'abord au risque de décollage du chariot en C, point d'altitude hC. Le profil de la piste en C est circulaire ; son rayon est noté r₁ et son centre est C', donc CC' = r₁. Déterminez les conditions sur hA pour que le chariot atteigne C sans décoller.
- Étudions maintenant la boucle de centre D et de rayon r₂. La position du chariot dans la boucle est repérée par un angle θ₂ tant que le chariot est en contact avec les rails.
- Calculez la valeur de la vitesse et de la réaction de la piste en fonction de θ₂.
- Quelles sont les conditions sur hA pour que le chariot puisse faire un tour complet dans la boucle sans décoller ?
Exercice 5 : Pendule avec clou
Un pendule est constitué d'un fil de longueur constante l attaché à un point fixe A. À son extrémité est attaché un point matériel M de masse m. Son inclinaison par rapport à la verticale est notée α. Tout frottement est négligé.
Un clou est planté en B, sur la même verticale que A à la distance d de ce point (figure). Lorsque le pendule entre en contact avec le clou, on supposera qu'aucun transfert énergétique ne se produit.
Le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis la position α = π/2. Déterminez la condition sur d et l pour que le pendule s'enroule en restant tendu.
Exercice 6 : Looping
Un circuit comporte deux tronçons rectilignes AB et BC. Le premier a pour hauteur h et le second se poursuit par un looping CS de rayon R. La voiturette utilisée est assimilée à un point matériel de masse m. Elle est lâchée sans vitesse initiale.
On note g l'intensité du champ de pesanteur et on néglige tous les frottements.
- Exprimer la vitesse vB au point B en fonction de g et de h.
- En supposant qu'il n'y ait aucune discontinuité de la valeur de la vitesse au passage de B, quelle est la vitesse en C ?
- Exprimer la valeur RN de la force normale exercée par la piste au sommet S du looping en fonction de m, g, R, et vs la vitesse au sommet.
- Exprimer la vitesse vs en fonction de vc, g et R.
- La voiture perd contact avec la piste en S lorsque RN s'annule. Déterminer, en fonction de R, la valeur hmin de la hauteur h pour laquelle la voiturette parvient au sommet du looping.
Exercice 7 : Ressort sur plan incliné
Un point matériel M de masse m est relié à l'extrémité d'un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l₀, attaché à un point fixe O. L'ensemble est placé sur un plan incliné d'un angle θ par rapport à l'horizontale. Les frottements sont négligés.
- Exprimer la longueur leq du ressort lorsque le point M est à l'équilibre.
- On pose x(t) = l(t) - leq, où l(t) est la longueur instantanée du ressort. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x lorsque la masse m est en mouvement. Que remarque-t-on ?
Exercice 8 : Énergie potentielle et équilibre
1) Un point matériel est soumis à la force de composantes cartésiennes : $f_x = x - 2x^3$, $f_y = y$ et $f_z = z$.
2) L'énergie potentielle d'un point matériel de masse m en mouvement unidirectionnel est : $E_p(x) = E_0 \exp(ax^2)$ avec $E_0$ et $a$ sont deux constantes positives.
-
1)
- Montrer que ce champ de forces dérive d'une énergie potentielle que l'on déterminera.
- Déterminer les positions d'équilibre du point et leur stabilité.
-
2)
- Tracer la courbe $E_p(x)$.
- Pour quelles valeurs de x, y a-t-il équilibre ? Cet équilibre est-il stable ?
- Quelle est la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable ?
Exercice 9 : Anneau sur guide circulaire
Le référentiel terrestre R est supposé galiléen. Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon R placé verticalement dans le plan (xOz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l'air est négligeable. Une force $\overrightarrow{T} = k\overrightarrow{AM}$ tend à attirer l'anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel élastique due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l'autre extrémité serait fixée en A.
- Représenter les trois forces appliquées en M.
- Projeter ces forces dans la base de projection adaptée au mouvement de M.
- Étude dynamique : déterminer les positions d'équilibre de l'anneau et préciser leur stabilité.
- Étude énergétique : exprimer l'énergie potentielle de l'anneau en fonction de θ.
- En déduire les positions d'équilibre de l'anneau. Étudier leur stabilité.
- Déterminer la pulsation des petites oscillations par rapport à la position d'équilibre stable.
Note : Ce TD couvre les concepts fondamentaux de la puissance, du travail des forces et du théorème de l'énergie cinétique en mécanique du point. Chaque exercice est accompagné de sa correction détaillée.