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Correction de l'exercice 4 (TD 3a) : Equilibre stable et instable

Correction Exercice 4
Correction de l'exercice 4 (TD 3a) : Equilibre stable et instable

Partie 1: Champ de forces

a) Énergie potentielle

Pour que le champ de forces dérive d'une énergie potentielle \(E_p\), il faut que \(\vec{f} = -\vec{\nabla}E_p\), ce qui implique :

\[ f_x = -\frac{\partial E_p}{\partial x}, \quad f_y = -\frac{\partial E_p}{\partial y}, \quad f_z = -\frac{\partial E_p}{\partial z} \]

Intégrons chaque composante :

\[ \frac{\partial E_p}{\partial x} = -f_x = -x + 2x^3 \] \[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^4 + g(y,z) \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial y} = -f_y = -y \] \[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}y^2 + h(x,z) \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial z} = -f_z = -z \] \[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}z^2 + k(x,y) \]

En combinant ces résultats, on obtient :

\[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}z^2 + C \]

L'énergie potentielle est donc :

\[ E_p(x,y,z) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}z^2 + C \]

où C est une constante arbitraire (souvent choisie nulle).

b) Positions d'équilibre et stabilité

Les positions d'équilibre correspondent aux points où \(\vec{\nabla}E_p = \vec{0}\) :

\[ \frac{\partial E_p}{\partial x} = 2x^3 - x = 0 \] \[ \frac{\partial E_p}{\partial y} = -y = 0 \] \[ \frac{\partial E_p}{\partial z} = -z = 0 \]

Résolvons ces équations :

\[ x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ y = 0 \] \[ z = 0 \]

Les positions d'équilibre sont donc :

\[ (0, 0, 0), \quad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right), \quad \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right) \]

Pour étudier la stabilité, analysons les dérivées secondes de \(E_p\) :

1. Au point (0,0,0) :

\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2} = 6x^2 - 1 = -1 \] \[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial y^2} = -1 \] \[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial z^2} = -1 \]

Toutes les dérivées secondes sont négatives ⇒ Équilibre stable

2. Aux points (\(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\),0,0) :

\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2} = 6x^2 - 1 = 6\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 2 \] \[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial y^2} = -1 \] \[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial z^2} = -1 \]

Les dérivées secondes sont de signes différents ⇒ Équilibre instable (point selle)

Partie 2: Mouvement unidirectionnel

a) Courbe de \(E_p(x)\)

La fonction \(E_p(x) = E_0 e^{a x^2}\) avec \(E_0 > 0\) et \(a > 0\) :

  • Est une fonction paire (symétrique par rapport à l'axe y)
  • Présente un minimum en x = 0 où \(E_p(0) = E_0\)
  • Tend vers +∞ quand |x| → ∞
  • Est toujours positive

Allure qualitative de la courbe :


b) Positions d'équilibre et stabilité

Les positions d'équilibre correspondent aux points où \(\frac{dE_p}{dx} = 0\) :

\[ \frac{dE_p}{dx} = E_0 e^{a x^2} \cdot 2a x = 2a E_0 x e^{a x^2} \]

Cette dérivée s'annule seulement pour x = 0 (car \(e^{a x^2} > 0\) pour tout x).

Il y a donc une seule position d'équilibre : x = 0

Pour étudier la stabilité, calculons la dérivée seconde :

\[ \frac{d^2E_p}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2a E_0 x e^{a x^2}) = 2a E_0 [e^{a x^2} + x \cdot 2a x e^{a x^2}] \] \[ = 2a E_0 e^{a x^2} (1 + 2a x^2) \]

En x = 0 :

\[ \frac{d^2E_p}{dx^2}(0) = 2a E_0 e^{0} (1 + 0) = 2a E_0 > 0 \]

La dérivée seconde est positive ⇒ Équilibre stable

c) Période des petites oscillations

Pour les petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable, le système se comporte comme un oscillateur harmonique avec une constante de rappel effective :

\[ k = \frac{d^2E_p}{dx^2}(0) = 2a E_0 \]

La pulsation des petites oscillations est :

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2a E_0}{m}} \]

La période est donc :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2a E_0}} \]

La période des petites oscillations autour de x = 0 est :

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2a E_0}} \]

Conclusion

Dans la première partie, nous avons montré que le champ de forces dérive d'une énergie potentielle et identifié trois positions d'équilibre, dont une seule stable (l'origine).

Dans la seconde partie, nous avons analysé un potentiel exponentiel avec un unique minimum d'énergie en x = 0, correspondant à une position d'équilibre stable, et calculé la période des petites oscillations autour de cette position.

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