Correction Exercice 8
Partie 1: Champ de forces
a) Énergie potentielle
Pour que le champ de forces dérive d'une énergie potentielle \(E_p\), il faut que \(\overrightarrow{f} = -\overrightarrow{\nabla}E_p\), ce qui implique :
\[ f_x = -\frac{\partial E_p}{\partial x}, \quad f_y = -\frac{\partial E_p}{\partial y}, \quad f_z = -\frac{\partial E_p}{\partial z} \]
Intégrons chaque composante :
\[ \frac{\partial E_p}{\partial x} = -f_x = -x + 2x^3 \]
\[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^4 + g(y,z) \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial y} = -f_y = -y \]
\[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}y^2 + h(x,z) \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial z} = -f_z = -z \]
\[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}z^2 + k(x,y) \]
En combinant ces résultats, on obtient :
\[ E_p(x,y,z) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}z^2 + C \]
L'énergie potentielle est donc :
\[ \boxed{E_p(x,y,z) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}z^2 + C} \]
où C est une constante arbitraire.
b) Positions d'équilibre et stabilité
Les positions d'équilibre correspondent aux points où \(\overrightarrow{\nabla}E_p = \overrightarrow{0}\) :
\[ \frac{\partial E_p}{\partial x} = 2x^3 - x = 0 \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial y} = -y = 0 \]
\[ \frac{\partial E_p}{\partial z} = -z = 0 \]
Résolvons ces équations :
\[ x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ y = 0 \]
\[ z = 0 \]
Les positions d'équilibre sont donc :
\[ (0, 0, 0), \quad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right), \quad \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right) \]
Pour étudier la stabilité, analysons la matrice hessienne de \(E_p\) (dérivées secondes). Pour un équilibre stable, il faut que toutes les dérivées secondes soient positives.
1. Au point (0,0,0) :
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2} = 6x^2 - 1 = -1 \]
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial y^2} = -1 \]
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial z^2} = -1 \]
Toutes les dérivées secondes sont négatives ⇒ Équilibre instable (maximum local)
2. Aux points (\(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\),0,0) :
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2} = 6x^2 - 1 = 6\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 2 \]
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial y^2} = -1 \]
\[ \frac{\partial^2 E_p}{\partial z^2} = -1 \]
Les dérivées secondes sont de signes différents ⇒ Équilibre instable (point selle)
Partie 2: Mouvement unidirectionnel
a) Courbe de \(E_p(x)\)
La fonction \(E_p(x) = E_0 e^{a x^2}\) avec \(E_0 > 0\) et \(a > 0\) :
- Est une fonction paire (symétrique par rapport à l'axe y)
- Présente un minimum en x = 0 où \(E_p(0) = E_0\)
- Tend vers +∞ quand |x| → ∞
- Est toujours positive
b) Positions d'équilibre et stabilité
Les positions d'équilibre correspondent aux points où \(\frac{dE_p}{dx} = 0\) :
\[ \frac{dE_p}{dx} = E_0 e^{a x^2} \cdot 2a x = 2a E_0 x e^{a x^2} \]
Cette dérivée s'annule seulement pour x = 0 (car \(e^{a x^2} > 0\) pour tout x).
Il y a donc une seule position d'équilibre : x = 0
Pour étudier la stabilité, calculons la dérivée seconde :
\[ \frac{d^2E_p}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2a E_0 x e^{a x^2}) = 2a E_0 [e^{a x^2} + x \cdot 2a x e^{a x^2}] \]
\[ = 2a E_0 e^{a x^2} (1 + 2a x^2) \]
En x = 0 :
\[ \frac{d^2E_p}{dx^2}(0) = 2a E_0 e^{0} (1 + 0) = 2a E_0 > 0 \]
La dérivée seconde est positive ⇒ Équilibre stable (minimum local)
c) Période des petites oscillations
On considère que le point matériel est soumis à la force \( F(x) \) qui dérive de l'énergie potentielle \( E_p \)
\[ F(x) = -\frac{dE_p(x)}{dx} \]
On a \(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{0}\), \( m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}(x) \)
Le mouvement se fait selon l'axe \( ox \Rightarrow m\ddot{x} = F(x) \)
On a \( x = 0 \) est une position d'équilibre stable.
Un DL de \( E_p \) à l'ordre 2 au voisinage de \( x = 0 \):
\[ E_p(x) = E_p(0) + (x-0)\left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x=0} + \frac{(x-0)^2}{2!}\left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=0} + \mathcal{O}(x^3) \]
Comme \( \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x=0} = 0 \) (position d'équilibre) :
\[ E_p(x) = E_0 + \frac{x^2}{2} \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=0} \]
On a \( F(x) = m\ddot{x} = -\frac{dE_p(x)}{dx} = -x \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=0} \)
\[ \Rightarrow m \ddot{x} + \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=0} x = 0 \]
Or \( \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=0} = 2aE_0 \)
\[ \Rightarrow m \ddot{x} + 2aE_0 x = 0 \]
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation :
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{2aE_0}{m}} \]
La période est donc :
\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2aE_0}} \]
La période des petites oscillations autour de x = 0 est :
\[ \boxed{T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2aE_0}}} \]