Devoir Surveillé N°1 - MPSI1
L'épreuve comporte deux problèmes :
Problème 1 : Convertisseur numérique - analogique
On étudie le principe d'un montage permettant de coder un entier écrit en base 2 à l'aide d'une tension.
1) Établir l'expression de U en fonction de R et I.
2) Établir l'expression de la résistance équivalente entre les points A et B. Cette résistance est le terme de rang (k=2) de la suite (Rk)k ∈ N*.
3) On considère le réseau de résistors représenté sur la figure ci-dessous :
Ce réseau est constitué par une association de n cellules élémentaires comme celle représentée ci-dessous :
Le réseau est fermé à droite par deux résistors R en série. Pour tout entier naturel k = 1...n, on désigne par Uk la différence de potentiels entre le nœud Ak et Bk et par Rk la résistance équivalente de l'association des (k-1) premières cellules et des deux résistors de fermeture, entre les mêmes nœuds.
a) Établir l'expression de Rk+1 en fonction de Rk et R.
b) Établir l'expression de Uk+1 en fonction de Uk, Rk et R.
c) Faire un schéma de la résistance R1. Donner l'expression de R1 en fonction de R.
d) Donner un schéma de la résistance R2. Donner l'expression de R2 en fonction de R.
e) Faire une conjoncture sur la nature de la suite (Rk)k ∈ N*
f) Étudier la suite (Rk)k ∈ N*
g) En déduire les expressions de Un et Rn en fonction de U0 et de R.
4) Le montage complet du convertisseur est représenté ci-dessous :
Il se compose de n cellules identiques de résistors identiques à celles étudiées précédemment, fermés à gauche et à droite cette fois, par deux résistances R. Chacune est connecté à un générateur idéal d'intensité de courant électromoteur I. Les autres bornes de ces générateurs peuvent être reliées entre elles par des interrupteurs, notés Sk avec k = 1,2...n.
a) Dans cette question, on considère que tous les interrupteurs sont ouverts sauf un, dont on nomme l'indice kf.
Faire un schéma équivalent en utilisant les résultats de la question 3.
Établir l'expression de la tension Ukf en fonction de R et I, en déduire celle de U0 en fonction de R, I et kf.
b) On rappelle qu'un entier naturel Q s'écrit en base 2 comme une somme de différentes puissances de 2 :
Où les coefficients pk valent 0 ou 1.
On admet le théorème de superposition électrique : La valeur de Q0,totale obtenue en fermant k interrupteurs est la somme des « k » termes U0,m obtenues avec uniquement l'interrupteur m fermé. Autrement dit :
Soit Q un entier décomposé en base 2 par un ensemble de coefficient pk. Montrer qu'on peut, en fermant certains interrupteurs, obtenir une tension U0 proportionnelle à Q.
Préciser en particulier les interrupteurs à fermer pour coder l'entier naturel Q=44 si on dispose d'un montage à n=6 cellules.
Problème 2 : Simulation d'une résistance
Un condensateur de capacité C peut être mise en contact avec deux générateurs de forces électromotrices respectives E1 et E2 et de même résistance interne r par l'intermédiaire d'un commutateur K. Les forces électromotrices vérifient E1 > E2. On pose τ = rC.
I) Charge initiale du condensateur
Le condensateur est initialement déchargé et l'interrupteur est basculé en position 2 à l'instant t = 0.
1) Établir l'expression de la tension u(t) pour t ≥ 0.
2) Au bout d'un temps T0, le commutateur est basculé sur la position 1. Établir l'expression de la tension u(t) pour t ≥ T0.
On donnera le résultat sous la forme :
Où A1, A2 et A3 sont trois constantes à identifier.
3)
a) Tracer l'allure de u(t) entre t = 0 et t = ∞ quand T0 = 2rC.
b) Tracer les tangentes en t = 0+ et t = T0+.
c) Établir les équations horaires de ces tangentes notées respectivement Δ1(t) et Δ2(t).
On donnera l'équation de Δ2(t) sous la forme :
Où A4, A5 et A6 sont des constantes à identifier.
d) Montrer que ces deux tangentes coupent les valeurs asymptotiques pour une valeur bien particulière.
II) Régime périodique
Le commutateur bascule désormais périodiquement d'une position à l'autre suivant la loi suivante pour n ∈ Z :
- K est en position 1 pour : nT < t < (n + 1/2)T
- K est en position 2 pour : (n + 1/2)T < t < (n + 1)T
On suppose qu'un régime périodique (non sinusoïdale) a eu le temps de s'établir : toutes les grandeurs électrocinétiques sont T-périodiques. On choisit comme origine des temps la commutation correspondante à n = 0.
4) On pose : u(0) = U0 et u(T/2) = U0'
a) Donner un minorant et un majorant des tensions U0 et U0'
b) Tracer l'allure de u(t) sur une période T.
c) Établir l'expression de u(t) pour t ∈ ]0, T/2] en fonction de U0, U0', τ et t.
On donnera le résultat sous forme :
Où A7, A8 et A9 sont trois constantes à identifier.
d) Établir l'expression de u(t) pour t ∈ ]T/2, T] en fonction de U0, U0', τ et t.
On donnera le résultat sous forme :
Où A10, A11 et A12 sont trois constantes à identifier.
5) Exprimer, en régime périodique, U0 et U0' en fonction de E1, E2 et du facteur a = T/(2τ) dont on précisera la dimension.
6) En déduire l'expression de la charge Q0 qui transite du générateur de force électromotrice E1 vers celui de force électromotrice E2 pendant une période T.
7) Exprimer l'intensité moyenne I0 sur une période correspondant à ce transfert de charge.
8) Quelle serait la résistance Réq qui serait traversée par la même intensité moyenne ? on donnera son expression en fonction de r et a.
9) Déterminer la limite de Réq quand T ≪ τ.
On rappelle que pour ε ≪ 1 : exp(ε) ≈ 1 + ε.
10) Déterminer le comportement de Réq quand T ≫ τ.