Introduction

Ce chapitre étudie les circuits directifs comprenant uniquement des dipôles linéaires. On explicite la modélisation des dipôles usuels, leurs règles d'association et leurs propriétés énergétiques, ainsi que les outils pour déterminer intensités et tensions dans un circuit.

I. Dipôles Linéaires

Un dipôle est linéaire si la tension à ses bornes \( u(t) \) et l'intensité \( i(t) \) sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

\[ \sum_{k=1}^n a_k \frac{d^k u(t)}{dt^k} + \sum_{l=0}^m b_l \frac{d^l i(t)}{dt^l} = F(t) \]

où \( F \) est une fonction du temps indépendante de \( u \) et \( i \).

En régime continu :

\[ a_0 u + b_0 i = F \]

La caractéristique statique d'un dipôle linéaire est une droite.

Exemples :

• Résistance : \( u = Ri \) (ordre 0)
• Condensateur : \( i = C \frac{du}{dt} \) (ordre 1)
• Bobine : \( u = L \frac{di}{dt} \) (ordre 1)

II. Dipôles linéaires passifs, R, L et C

1) Résistor

a) Définition

En convention récepteur :

La résistance \( R \) est positive et s'exprime en ohms (Ω). Les valeurs typiques vont de quelques Ω à 10^7 Ω.

Loi d'ohm : u = R.i

Caractéristique courant - tension :

b) Conductance

\[ G = \frac{1}{R} \quad \text{(Siemens, S)} \]

La loi d'Ohm devient :

\[ i = G u \]

c) Associations

Série :

\[ R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_N} \]

Ou en conductance : \( G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_N \)

d) Puissance dissipée

\[ P = u(t) i(t) = R i^2 = \frac{u^2}{R} \]

La puissance est toujours positive : le résistor se comporte toujours comme un récepteur.

Énergie dissipée entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \int_{t_1}^{t_2} R i^2(t) dt \]

Cette énergie est dissipée sous forme thermique (effet Joule) dans le résistor.

III. Bobine d'Inductance

a) Caractéristiques

Modélisation d'une bobine réelle :

\[ u(t) = L \frac{di}{dt} + r i \]

Où :

• \( L \) : Inductance (Henry, H)
• \( r \) : Résistance interne

Pour une bobine idéal (r = 0) : \[ u(t) = L \frac{di}{dt}\]

En régime continu (\( \frac{di}{dt} = 0 \)) :          \( u = r.i \),

b) Associations

Série :

\[ L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots + \frac{1}{L_N} \]

c) Puissance instantanée

Énergie reçue entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \frac{1}{2} L i^2(t_2) - \frac{1}{2} L i^2(t_1) \]

IV. Condensateur

a) Définition

Composé de deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.

où \( C \) est la capacité en Farads (F).

b) Relation courant-tension

En régime continu (\( \frac{du}{dt} = 0 \)) : \( i = 0 \), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

e) Associations

Série :

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_N} \]

Parallèle :

\[ C_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_N \]

c) Puissance instanténnée

Énergie reçue entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \frac{1}{2} C u^2(t_2) - \frac{1}{2} C u^2(t_1) \]

V. Diviseurs de Tension et de Courant

a) Diviseur de tension

Généralisation : Pour N résistances en série :

\[ u_k = \frac{R_k}{\sum_{j=1}^N R_j} u_{total} \]

b) Diviseur de courant

Généralisation : Pour N résistances en parallèle

\[ i_k = \frac{G_k}{\sum_{j=1}^N G_j} i_{total} \]

avec \( G_k = \frac{1}{R_k} \) (conductance)

V) dipôle actifs

représentation en convention générateur:

Caractéristique courant - tension

E : force électromotrice (f.e.m) ou tension à vide

2) Source de courant idéal

C'est un dispositif qui impose un courant d'intensité constante, quelle que soit la tension à ses bornes.

représentation en convention générateur:

Caractéristique courant - tension

I0  : Courant électromoteur (C.e;m), ou courant de court-circuit 

3) modèle de Thévenin - Modèle de Norton

L'étude pratique de \( u = f(i) \) du générateur donne le résultat suivant:

\( u = f(i) \) : droite dont l'équation peut s'écrire :

\[ u = E - R i \]

on peut donc modéliser un générateur par la représentation :

C'est le modèle de Thévenin

\[E : f.e.m. \] \[R : résistance interne.\]

\[u = E - R i \quad \Rightarrow \quad i = \frac{E}{R} - \frac{u}{R} = I_0 - G u\]

On peut utiliser aussi la représentation :

C'est le modèle de Norton

\[I_0 : Courant électromoteur (c.e.m). \] \[R : résistance interne\]

5) Transformation Thévenin - Norton

les deux modèles sont équivalents :

\[u = E_{Th} - R_{Th} i\]

\[i = I_N - \frac{1}{R_N} u \Rightarrow u = R_N I_N - R_N i\]

Les deux modèles sont équivalents si :

\[E_{Th} = R_N I_N\]

\[R_{Th} = R_N\]

Exemple : Déterminer le courant I circulant dans R.

6) Théorème de Millman

Considérons le circuit suivant : 

loi des nœuds en \( A : i_1 + i_2 + i_3 = 0 \)

\[i_1 = \frac{1}{R_1} \left( e_1 - (v_A - v_0) \right)\]

\[i_2 = \frac{v_2 - v_A}{R_2} = \frac{1}{R_2} \left( v_2 - v_A \right)\]

\[i_3 = \frac{v_A - v_0}{R_3}\]

\[\Rightarrow \quad v_A \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) = \frac{v_0}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{e_1}{R_1} \]

\[v_A = \frac{ \frac{v_0}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{e_1}{R_1} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} }\]

Exemple : 

Calculer la tension  \( U = V_B - V_C \) ??

Données:
\( E = 6V \)
\( R = 100 \Omega \)