Introduction

Ce chapitre étudie les circuits directifs comprenant uniquement des dipôles linéaires. On explicite la modélisation des dipôles usuels, leurs règles d'association et leurs propriétés énergétiques, ainsi que les outils pour déterminer intensités et tensions dans un circuit.

I. Dipôles Linéaires

Un dipôle est linéaire si la tension à ses bornes \( u(t) \) et l'intensité \( i(t) \) sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

\[ \sum_{k=1}^n a_k \frac{d^k u(t)}{dt^k} + \sum_{l=0}^m b_l \frac{d^l i(t)}{dt^l} = F(t) \]

où \( F \) est une fonction du temps indépendante de \( u \) et \( i \).

En régime continu :

\[ a_0 u + b_0 i = F \]

La caractéristique statique d'un dipôle linéaire est une droite.

Exemples :

• Résistance : \( u = Ri \) (ordre 0)
• Condensateur : \( i = C \frac{du}{dt} \) (ordre 1)
• Bobine : \( u = L \frac{di}{dt} \) (ordre 1)

II. Résistance

a) Définition

En convention récepteur :

La résistance \( R \) est positive et s'exprime en ohms (Ω). Les valeurs typiques vont de quelques Ω à 10^7 Ω.

b) Conductance

\[ G = \frac{1}{R} \quad \text{(Siemens, S)} \]

La loi d'Ohm devient :

\[ i = G u \]

c) Associations

Série :

\[ R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_N} \]

Ou en conductance : \( G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_N \)

d) Puissance dissipée

\[ P = u(t) i(t) = R i^2 = \frac{u^2}{R} \]

Énergie dissipée entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \int_{t_1}^{t_2} R i^2(t) dt \]

Cette énergie est dissipée sous forme thermique (effet Joule).

III. Bobine d'Inductance

a) Caractéristiques

Modélisation d'une bobine réelle :

\[ u(t) = L \frac{di}{dt} + r i \]

Où :

• \( L \) : Inductance (Henry, H)
• \( r \) : Résistance interne

En régime continu (\( \frac{di}{dt} = 0 \)) : \( u = 0 \), la bobine se comporte comme un court-circuit.

b) Énergie emmagasinée

\[ E = \frac{1}{2} L i^2 \]

Énergie reçue entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \frac{1}{2} L i^2(t_2) - \frac{1}{2} L i^2(t_1) \]

c) Comportement

• Si \( P < 0 \) : la bobine cède de l'énergie (générateur)
• Si \( P > 0 \) : la bobine reçoit de l'énergie (récepteur)

d) Associations

Série :

\[ L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots + \frac{1}{L_N} \]

IV. Condensateur

a) Définition

Composé de deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.

Relation fondamentale :

\[ q = C u \]

où \( C \) est la capacité en Farads (F).

b) Relation courant-tension

\[ i = C \frac{du}{dt} \]

En régime continu (\( \frac{du}{dt} = 0 \)) : \( i = 0 \), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

c) Énergie emmagasinée

\[ E = \frac{1}{2} C u^2 \]

Énergie reçue entre \( t_1 \) et \( t_2 \) :

\[ W = \frac{1}{2} C u^2(t_2) - \frac{1}{2} C u^2(t_1) \]

d) Comportement

• Si \( P < 0 \) : le condensateur cède de l'énergie
• Si \( P > 0 \) : le condensateur reçoit de l'énergie

e) Associations

Série :

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_N} \]

Parallèle :

\[ C_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_N \]

V. Diviseurs de Tension et de Courant

a) Diviseur de tension

Pour N résistances en série :

\[ V_k = \frac{R_k}{\sum_{j=1}^N R_j} V_{total} \]

b) Diviseur de courant

Pour N résistances en parallèle :

\[ i_k = \frac{G_k}{\sum_{j=1}^N G_j} i_{total} \]

avec \( G_k = \frac{1}{R_k} \) (conductance)