Correction détaillée
1) Étude à l’équilibre
À l’équilibre, la somme des forces appliquées au système est nulle :
\[
\overrightarrow{P} + \overrightarrow{T}_{eq} = \overrightarrow{0}
\]
Projection sur l’axe \( Ox \) (parallèle au plan incliné) :
\[
mg\sin\alpha - k(l_{eq}-l_0)=0
\]
On en déduit la longueur du ressort à l’équilibre :
\[
l_{eq}=l_0+\frac{mg\sin\alpha}{k}
\]
2) Hors équilibre : étude du mouvement
En régime dynamique, le principe fondamental de la dynamique donne :
\[
\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}
\]
Projection sur l’axe \( Ox \) :
\[
mg\sin\alpha - k(l-l_0)=m\ddot{l}
\]
On écrit :
\[
mg\sin\alpha - k[(l-l_{eq})+(l_{eq}-l_0)] = m\ddot{x}
\]
En développant :
\[
mg\sin\alpha - k(l_{eq}-l_0) - k(l-l_{eq}) = m\ddot{x}
\]
Or, à l’équilibre :
\[
mg\sin\alpha = k(l_{eq}-l_0)
\]
Il vient alors :
\[
m\ddot{x}+k(l-l_{eq})=0
\]
3) Équation différentielle
On pose :
\[
x = l - l_{eq}
\]
L’équation du mouvement devient :
\[
m\ddot{x}+kx=0
\]
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique.
\[
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0
\]
Solution et période
La solution générale est :
\[
x(t)=X_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)
\]
avec la période des oscillations :
\[
T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\]
Le système effectue donc des oscillations harmoniques autour de la position d’équilibre \( l_{eq} \).