Correction exercice 3 (TD 3a) : Ressort sur plan incliné

Correction détaillée

Question 1 : Longueur à l'équilibre \( l_{eq} \)

À l'équilibre, la somme des forces appliquées à la masse m est nulle.

Les forces en présence sont :

Le poids \( \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} \)
La force de rappel du ressort \( \overrightarrow{T} = -k(l_{eq} - l_0)\overrightarrow{u} \)
La réaction normale du plan incliné \( \overrightarrow{R_N} \) (perpendiculaire au plan)

On projette les forces sur l'axe parallèle au plan incliné (direction du mouvement) :

\[ P \sin\alpha - T = 0 \] \[ mg \sin\alpha - k(l_{eq} - l_0) = 0 \]

On résout pour trouver \( l_{eq} \) :

\[ k(l_{eq} - l_0) = mg \sin\alpha \] \[ l_{eq} - l_0 = \frac{mg \sin\alpha}{k} \] \[ l_{eq} = l_0 + \frac{mg \sin\alpha}{k} \]

La longueur à l'équilibre est donc :

\[ l_{eq} = l_0 + \frac{mg \sin\alpha}{k} \]

Question 2 : Équation différentielle du mouvement

On pose \( x(t) = l(t) - l_{eq} \), où \( l(t) \) est la longueur instantanée du ressort.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique dans la direction du mouvement (parallèle au plan incliné) :

\[ m\ddot{l} = mg \sin\alpha - k(l - l_0) \]

Exprimons cette équation en fonction de \( x = l - l_{eq} \) :

\[ l = l_{eq} + x \] \[ \ddot{l} = \ddot{x} \] \[ l - l_0 = (l_{eq} - l_0) + x \]

En remplaçant dans l'équation du mouvement :

\[ m\ddot{x} = mg \sin\alpha - k[(l_{eq} - l_0) + x] \]

Or, d'après la question 1, à l'équilibre on a :

\[ mg \sin\alpha = k(l_{eq} - l_0) \]

En substituant :

\[ m\ddot{x} = k(l_{eq} - l_0) - k[(l_{eq} - l_0) + x] \] \[ m\ddot{x} = k(l_{eq} - l_0) - k(l_{eq} - l_0) - kx \] \[ m\ddot{x} = -kx \]

On obtient finalement l'équation différentielle :

\[ \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \]

Ce qui correspond à l'équation d'un oscillateur harmonique.

Conclusion et remarques

L'équation différentielle vérifiée par \( x \) est :

\[ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Ce qu'on remarque :

L'équation obtenue est celle d'un oscillateur harmonique non amorti
La pulsation propre \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \) est la même que pour un ressort horizontal
L'angle α du plan incliné n'apparaît pas dans l'équation différentielle finale
Le mouvement est sinusoidal avec une période \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) indépendante de l'angle α
La position d'équilibre est décalée à cause du plan incliné, mais les oscillations autour de cette position suivent la même loi que sur un plan horizontal

Interprétation physique

Le plan incliné modifie la position d'équilibre du système (en ajoutant le terme \( \frac{mg \sin\alpha}{k} \)), mais n'affecte pas la dynamique des oscillations autour de cette position d'équilibre.

La fréquence des oscillations est déterminée uniquement par la masse m et la raideur k du ressort, tout comme dans le cas d'un ressort horizontal.

Ce résultat montre que pour les petits mouvements autour d'une position d'équilibre, beaucoup de systèmes mécaniques se comportent comme des oscillateurs harmoniques, indépendamment de la configuration exacte.