Régime sinusoïdal forcé

I) Caractéristiques d'un signal sinusoïdal

On définit la valeur efficace X_eff qui vaut dans le cas d'une grandeur sinusoïdale centrée (c'est-à-dire de valeur moyenne nulle) :

On considère deux signaux de même pulsation (ils sont dits synchrones) :

Le signal y(t) passe par son maximum avant le signal x(t) : il est en avance de phase sur x(t). Le déphasage ∆φ de y(t) par rapport x(t) est :

II) Notation complexe

e(t) est une tension sinusoïdale e(t) = E₀cosωt. On cherche à déterminer l'expression de l'intensité i(t) et de la tension u(t).

La loi des mailles : e(t) = Ri + u

L'équation différentielle vérifiée par u(t) :

La solution de cette équation s'écrit : u(t) = u_H(t) + u_P(t) avec :

• u_H(t) : solution générale de l'équation homogène associée à :
  \(\frac{du}{dt} + \frac{u}{\tau} = 0\) : u_H(t) = U₀ exp(-t/τ)
• u_P(t) : Solution particulière qu'on cherche sous une forme analogue à celle du second membre :
  u_P(t) = Acosωt + B sinωt

Pour déterminer les valeurs de A et B : on dérive l'expression u_P(t) et on reporte dans l'équation différentielle :

D'où la solution particulière :

La solution générale :

Au bout d'un temps égal à quelques τ, on a : |u_H(t)| ≪ |u_P(t)| et on peut écrire : u(t) ≈ u_P(t). Il s'agit du régime sinusoïdal forcé (u_H(t) correspond au régime libre qui a été étudié au chapitre "Régime transitoire").

a) Signaux complexes

A la grandeur sinusoïdale x(t) = Xcos(ωt + φ), on peut associer un signal complexe x(t) :

On peut écrire : \(\underline{x}\)(t) = \(\underline{X}\)exp (jωt) avec \(\underline{X}\) = Xexp (jφ) : Amplitude complexe

A partir du signal complexe, on revient facilement au signal réel de départ : x(t) = R_e(\(\underline{x}\)(t))

• En prenant le module de \(\underline{X}\) ou de x(t) pour l'amplitude : X = |\(\underline{x}\)(t)| = |\(\underline{X}\)|
• En prenant l'argument de \(\underline{X}\) pour la phase initiale : φ = Arg(\(\underline{X}\))
• En prenant l'argument de x(t) pour la phase instantanée : ωt + φ = Arg (\(\underline{x}\)(t))

b) Dérivation de signaux

x(t) = Xcos (ωt + φ) Donc \(\frac{dx}{dt}\) = −ωXsin (ωt + φ) = ωXcos(ωt + φ + \(\frac{\pi}{2}\))

La grandeur complexe associée est : Xωexp(j(ωt + φ + \(\frac{\pi}{2}\))) = exp(j\(\frac{\pi}{2}\))ωX exp (j (ωt + φ)) = jω\(\underline{x}\)(t)

c) Intégration de signaux

x(t) = Xcos (ωt + φ) Donc \(\int_{}^{}{x(t)}\) dt = \(\frac{X}{\omega}\) sin (ωt + φ) = \(\frac{X}{\omega}\) cos (ωt + φ − \(\frac{\pi}{2}\)).

La grandeur complexe associée est : \(\frac{X}{\omega}\) exp(jωt + φ - \(\frac{\pi}{2}\)) = exp(−j \(\frac{\pi}{2}\)) \(\frac{1}{\omega}\) Xexp (j (ωt + φ)) = \(\frac{1}{j\omega}\) \(\underline{x}\)(t)

Signaux réels	Représentation complexe
\(\frac{d}{dt}\)	jω
\(\int_{}^{}{dt}\)	\(\frac{1}{j\omega}\)

d) Exemple d'utilisation de la notation complexe - circuit RC

La loi des mailles : Ri(t) + u(t) = E₀cosωt

En notation complexe : R\(\underline{i}\)(t) + \(\underline{u}\)(t) = E₀ exp(jωt)

La relation i = C \(\frac{du}{dt}\) s'écrit en notation complexe : \(\underline{i}\)(t) = jCω\(\underline{u}\)(t).

On en déduit la relation : \(\underline{u}\)(t)(1+jRCω) = \(\underline{u}\)(t)(1+jτω) = E₀exp(jωt) soit \(\underline{u}\)(t) = \(\frac{E_{0}.exp(j\omega t)}{1 + j\tau\omega} = \underline{U}(t) exp(j\omega t)\)

Le module de u(t) : U = |\(\underline{u}\)| = \(\frac{\left| E_{0}\exp(j\omega t) \right|}{|1 + j\tau\omega|}\) = \(\frac{E_{0}}{\sqrt{1 + \tau^{2}\omega^{2}}}\)

Le déphasage : φ = arg(\(\underline{U}\)(t)) = arg(E₀) - arg(1+jτω) = - arg(1+jτω)

Soit : tan φ = \(- \frac{Im(1 + j\tau\omega)}{Re(1 + j\tau\omega)} = - \tau\omega < 0\)

e) Représentation de Fresnel

A cette notation complexe, on associe également une représentation vectorielle dite représentation de Fresnel.

• OM = X
• \(\widehat{(Ox,OM)} = \omega t + \varphi\)

Exemples :

• Résistance pure : u(t) = Ucos(ωt) = Ri(t) et i(t) = \(\frac{U}{R}\)cos(ωt)

  En prenant axe de tension comme référence : φ = 0

  

• Bobine Idéale : u(t) = L.\(\frac{di}{dt}\) = Ucos(ωt) donc di= Lu(t)dt i(t)= \(\frac{U}{L\omega}\) sin(ωt) = \(\frac{U}{L\omega}\)cos(ωt - \(\frac{\pi}{2}\))

  φ = - \(\frac{\pi}{2}\) i(t) est en quadrature retard par rapport u(t).

  U = Z.I avec Z = Lω

  

• Condensateur : i(t) = C \(\frac{du(t)}{dt}\) = - CωUSin(ωt) = CωU.Cos(ωt + \(\frac{\pi}{2}\))

  φ = + \(\frac{\pi}{2}\) u(t) est en quadrature retard par rapport i(t)

  U = Z.I avec Z = \(\frac{1}{C\omega}\)

  

Application : Circuit RLC

On considère : i(t) = Icos(ωt), on a u = u₁ + u₂ + u₃

u₁(t) = RIcos(ωt) = U₁cos(ωt)

u₂(t) = Lωcos(ωt + \(\frac{\pi}{2}\)) = U₂cos(ωt + \(\frac{\pi}{2}\))

u₃(t) = \(\frac{I}{C\omega}\) cos(ωt - \(\frac{\pi}{2}\)) = U₃cos(ωt - \(\frac{\pi}{2}\))

On pose u(t) = U.cos(ωt + φ)

U² = U₁² + (U₃ - U₂)² = (R² + (\(\frac{I}{C\omega}\) - Lω)²). I²

L'ensemble des lois et théorèmes déjà vus dans le cadre du régime continu sont valables en régime sinusoïdal. Il suffit de remplacer les grandeurs continues par les grandeurs instantanées correspondantes.

a) Loi des nœuds

On a déjà vue en régime continue que : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}i_{k}(t) = 0\)

Or i_k(t) en régime sinusoïdal peut s'obtenir à partir de la grandeur complexe associée : i_k(t) = R_e(\(\underline{i}\)_k(t))

On déduit que : \(\sum_{k = 1}^{n}{Re(ԑ}_{k}\underline{i_{k}}(t) = 0\). On peut donc écrire : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}\underline{i_{k}}(t) = 0\)

Les courants ayant tous même pulsation, on peut simplifier par exp(jωt). On obtient : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}\underline{I_{k}}(t) = 0\)

b) Loi des mailles

En régime continue : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}u(t)\) =0 en régime sinusoïdale on peut écrire : \(\sum_{k = 1}^{n}{Re(ԑ_{k}}\underline{u_{k}}(t))\) = 0

D'où on peut écrire : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}\underline{u_{k}}(t)\)

Les tensions ayant tous même pulsation, on peut simplifier par exp(jωt). On obtient : \(\sum_{k = 1}^{n}ԑ_{k}{\underline{U}}_{k}(t) = 0\)

a) Définition

Pour un dipôle linéaire : \(\underline{u}\)(t) = \(\underline{Z}\).\(\underline{i}\)(t)

Avec \(\underline{Z}\) : l'impédance complexe du dipôle considéré.

On définit aussi l'admittance par : \(\underline{Y}\)= \(\frac{1}{\underline{Z}}\)

U.exp(jφ_u)exp(jωt) = \(\underline{Z}\).I.exp(jφ_i)exp (jωt) donc \(\underline{U}\) = \(\underline{Z.I}\) avec \(\underline{U}\)= U.exp(jφ_u) et \(\underline{I}\) = I.exp(jφ_i)

b) Impédance et déphasage

L'impédance complexe peut s'écrire sous la forme : \(\underline{Z}\) = Z.exp(jψ)

On a \(\underline{Z}\) = \(\frac{\underline{U}}{\underline{I}}\) = \(\frac{U exp(j\varphi_{u})}{I exp(j\varphi_{i})} = \frac{U}{I}\) exp(j(φ_u- φ_i))

L'impédance de \(\underline{Z}\) est : Z = \(\frac{U}{I}\) et l'argument ψ de \(\underline{Z}\) est égal au déphasage de la tension u par rapport à l'intensité i : ψ = φ_u - φ_i

c) Résistance et réactance

On peut également écrire l'impédance complexe sous la forme : \(\underline{Z}\) = R + jX = Z.cosψ + jZ.sinψ

• R = Z.cos ψ : s'appelle la résistance
• X = Z.sin ψ : s'appelle la réactance

d) Exemples d'impédances

• Pour un résistor : \(\underline{Z}\) = R la résistance n'introduit pas de déphasage entre u(t) et i(t).
• Pour une bobine idéale : on a u(t) = L.\(\frac{di}{dt}\) en notation complexe : \(\underline{u}\)(t) = Ljω.\(\underline{i}\)(t) = \(\underline{Z}\).\(\underline{i}\)(t). Donc \(\underline{Z}\) = jLω C'est une impédance imaginaire pure : réactance pure, son argument ψ = \(\frac{\pi}{2}\) L'intensité et la tension seront en quadrature de phase, la tension étant en avance sur l'intensité. En basse fréquence, l'impédance d'une bobine tend vers 0 : la bobine est donc équivalente à un fil. En haute fréquence, l'impédance d'une tend vers +∞ : la bobine est donc équivalente à un interrupteur ouvert.
• Pour un condensateur : on i(t) = C \(\frac{du}{dt}\) en notation complexe \(\underline{i}\)(t) = jCω.\(\underline{u}\)(t) Donc \(\underline{u}\)(t) = \(\frac{1}{jC\omega}\) \(\underline{i}\)(t)

  L'impédance d'un condensateur est : \(\underline{Z}\) = \(\frac{1}{jC\omega}\)

  L'impédance est également imaginaire pure avec un argument ψ = - \(\frac{\pi}{2}\).

  L'intensité est en quadrature avance sur la tension. Il s'agit encore d'une réactance pure.

  En basse fréquence, l'impédance d'un condensateur tend vers +∞ : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert.

  En haute fréquence, l'impédance d'un condensateur tend vers 0 : le condensateur est équivalent à un fil.

e) Association de dipôles linéaires

Association en série

L'impédance complexe équivalente : \(\underline{Z}\) = \(\underline{Z}\)₁ + \(\underline{Z}\)₂ + · · · + \(\underline{Z}\)_n

Association en parallèle

L'impédance ou l'admittance équivalente : \(\frac{1}{\underline{Z}}\) = \(\frac{1}{\underline{Z_{1}}}\) + \(\frac{1}{\underline{Z_{2}}}\) +..................+ \(\frac{1}{\underline{Z_{n}}}\) Ou \(\underline{Y}\) = \(\underline{Y_{1}}\) + \(\underline{Y_{2}}\) + . . . + \(\underline{Y_{n}}\)

a) La loi des nœuds

Loi des nœuds : \(\sum_{}^{}{ԑ_{k}i_{k}}\) + \(\sum_{}^{}{ԑ_{l}j_{l}}\) = 0 donc : \(\sum_{}^{}{ԑ_{k}\frac{\underline{V_{k}} - \underline{V_{N}}}{\underline{Z_{k}}}\) + \(\sum_{}^{}{ԑ_{l}i}_{l}\) =0

b) Théorème de Millman :

A partir du chapitre précédent, on peut écrire :