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Correction exercice 6 : Mouvement dans un looping

Correction détaillée

Question 1 : Vitesse au point B

La voiturette est lâchée sans vitesse initiale du point A. On applique le théorème de l'énergie cinétique entre A et B.

La variation d'énergie cinétique est égale au travail du poids (seule force qui travaille, les frottements étant négligés) :

\[ \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) \] \[ \frac{1}{2}mv_B^2 - 0 = mgh \]

On en déduit :

\[ v_B = \sqrt{2gh} \]

Question 2 : Vitesse au point C

Comme il n'y a aucune discontinuité de la vitesse au passage de B, et que le tronçon BC est rectiligne et horizontal, la vitesse se conserve :

\[ v_C = v_B = \sqrt{2gh} \]

Cette égalité suppose qu'il n'y a pas de perte d'énergie entre B et C (frottements négligés).

Question 3 : Force normale au sommet S

Au sommet S du looping, la voiturette est soumise à :

Au sommet S du looping

  • Son poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\)
  • La réaction normale de la piste \(\overrightarrow{R_N}\)

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au point S, en projection sur \( \overrightarrow{e_r} \) :

\[ P + R_N = m\frac{v_S^2}{R} \] \[ mg + R_N = m\frac{v_S^2}{R} \]

On en déduit l'expression de la force normale :

\[ R_N = m\left(\frac{v_S^2}{R} - g\right) \]

Question 4 : Relation entre vS et vC

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique entre C et S :

\[ \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) \] \[ \frac{1}{2}mv_S^2 - \frac{1}{2}mv_C^2 = -mg \times 2R \]

Le travail du poids est négatif car la voiturette monte (le poids s'oppose au mouvement).

On en déduit :

\[ v_S^2 = v_C^2 - 4gR \]

Question 5 : Hauteur minimale hmin

La voiture perd contact avec la piste lorsque la réaction normale s'annule :

\[ R_N = 0 \Rightarrow m\left(\frac{v_S^2}{R} - g\right) = 0 \Rightarrow \frac{v_S^2}{R} = g \Rightarrow v_S^2 = gR \]

Remplaçons vS2 par son expression en fonction de vC :

\[ gR = v_C^2 - 4gR \Rightarrow v_C^2 = 5gR \]

Or, d'après la question 2, vC = vB = √(2gh), donc :

\[ 2gh = 5gR \Rightarrow h = \frac{5}{2}R \]

La hauteur minimale requise est donc :

\[ h_{min} = \frac{5}{2}R \]

Conclusion

Pour que la voiturette parvienne au sommet du looping sans perdre le contact avec la piste, la hauteur minimale de départ doit être :

\[ h_{min} = \frac{5}{2}R \]

où R est le rayon du looping.

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