Correction exercice 2 (TD 3a) : Mouvement dans un looping

Énoncé

Un circuit comporte deux tronçons rectilignes AB et BC. Le premier a pour hauteur h et le second se poursuit par un looping CS de rayon R. La voiturette utilisée est assimilée à un point matériel de masse m. Elle est lâchée sans vitesse initiale.

On note g l'intensité du champ de pesanteur et on néglige tous les frottements.

Schéma du circuit :

A → B (hauteur h) → C → S (sommet du looping)

Exprimer la vitesse v_B au point B en fonction de g et de h.
En supposant qu'il n'y ait aucune discontinuité de la valeur de la vitesse au passage de B, quelle est la vitesse en C ?
Exprimer la valeur R_N de la force normale exercée par la piste au sommet S du looping en fonction de m, g, R, et v_s la vitesse au sommet.
Exprimer la vitesse v_s en fonction de v_c, g et R.
La voiture perd contact avec la piste en S lorsque R_N s'annule. Déterminer, en fonction de R, la valeur h_min de la hauteur h pour laquelle la voiturette parvient au sommet du looping.

Correction détaillée

Question 1 : Vitesse au point B

La voiturette est lâchée sans vitesse initiale du point A. On applique le théorème de l'énergie cinétique entre A et B.

La variation d'énergie cinétique est égale au travail du poids (seule force qui travaille, les frottements étant négligés) :

\[ \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) \] \[ \frac{1}{2}mv_B^2 - 0 = mgh \]

On en déduit :

\[ v_B = \sqrt{2gh} \]

Question 2 : Vitesse au point C

Comme il n'y a aucune discontinuité de la vitesse au passage de B, et que le tronçon BC est rectiligne et horizontal, la vitesse se conserve :

\[ v_C = v_B = \sqrt{2gh} \]

Cette égalité suppose qu'il n'y a pas de perte d'énergie entre B et C (frottements négligés).

Question 3 : Force normale au sommet S

Au sommet S du looping, la voiturette est soumise à :

Son poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\)
La réaction normale de la piste \(\overrightarrow{R_N}\)

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au point S, en projection sur la normale orientée vers le bas :

\[ P + R_N = m\frac{v_S^2}{R} \] \[ mg + R_N = m\frac{v_S^2}{R} \]

On en déduit l'expression de la force normale :

\[ R_N = m\left(\frac{v_S^2}{R} - g\right) \]

Question 4 : Relation entre v_S et v_C

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique entre C et S :

\[ \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) \] \[ \frac{1}{2}mv_S^2 - \frac{1}{2}mv_C^2 = -mg \times 2R \]

Le travail du poids est négatif car la voiturette monte (le poids s'oppose au mouvement).

On en déduit :

\[ v_S^2 = v_C^2 - 4gR \]

Question 5 : Hauteur minimale h_min

La voiture perd contact avec la piste lorsque la réaction normale s'annule :

\[ R_N = 0 \Rightarrow m\left(\frac{v_S^2}{R} - g\right) = 0 \Rightarrow \frac{v_S^2}{R} = g \Rightarrow v_S^2 = gR \]

Remplaçons v_S² par son expression en fonction de v_C :

\[ gR = v_C^2 - 4gR \Rightarrow v_C^2 = 5gR \]

Or, d'après la question 2, v_C = v_B = √(2gh), donc :

\[ 2gh = 5gR \Rightarrow h = \frac{5}{2}R \]

La hauteur minimale requise est donc :

\[ h_{min} = \frac{5}{2}R \]

Conclusion

Pour que la voiturette parvienne au sommet du looping sans perdre le contact avec la piste, la hauteur minimale de départ doit être :

\[ h_{min} = \frac{5}{2}R \]

où R est le rayon du looping.

Remarques importantes

Ce résultat est indépendant de la masse m de la voiturette.
La condition h ≥ 2.5R est nécessaire pour que la voiturette atteigne le sommet, mais insuffisante pour qu'elle maintienne le contact avec la piste.
Si h < 2.5R, la voiturette n'atteint pas le sommet du looping.
Si h = 2.5R, la voiturette arrive juste au sommet avec la vitesse minimale nécessaire pour ne pas perdre contact.
Si h > 2.5R, la voiturette arrive au sommet avec une vitesse supérieure à la vitesse minimale.