1) Forces appliquées sur \( M \) :

\[ \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} \quad \text{le poids} \]

\[ \overrightarrow{T} = -k \cdot \overrightarrow{AM} \quad \text{action du ressort} \]

\[ \overrightarrow{R} : \text{action du support} \]

2) Projection dans la base polaire \( (\overrightarrow{e_r}, \overrightarrow{e_\theta}) \) :

\[ \overrightarrow{R} = R \overrightarrow{e_r} \]

\[ \overrightarrow{P} = -mg \sin \theta \overrightarrow{e_r} - mg \cos \theta \overrightarrow{e_\theta} \]

Calcul de \( \overrightarrow{AM} \) avec \( \overrightarrow{OA} = -r \overrightarrow{e_x} \) : \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = r \overrightarrow{e_r} - (-r \overrightarrow{e_x}) = r \overrightarrow{e_r} + r (\cos\theta \overrightarrow{e_r} - \sin\theta \overrightarrow{e_\theta}) \]

\[ \overrightarrow{AM} = r(1 + \cos\theta) \overrightarrow{e_r} - r \sin\theta \overrightarrow{e_\theta} \]

\[ \overrightarrow{T} = -k \overrightarrow{AM} = -kr(1 + \cos\theta) \overrightarrow{e_r} + kr \sin\theta \overrightarrow{e_\theta} \]

3) PFD :

\[ \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R} + \overrightarrow{T} = m \overrightarrow{a} \]

En projection sur \( \overrightarrow{e_r} \) et \( \overrightarrow{e_\theta} \) : \[ \begin{cases} -mg \sin \theta + R - kr (1 + \cos \theta) = -mr \dot{\theta}^2 \quad &(1) \\ -mg \cos \theta + kr \sin \theta = mr \ddot{\theta} \quad &(2) \end{cases} \]

Lorsque le point est à l'équilibre :

\[ \begin{cases} -mg \sin \theta_{eq} + R - kr (1 + \cos \theta_{eq}) = 0 \\ -mg \cos \theta_{eq} + kr \sin \theta_{eq} = 0 \end{cases} \]

Des deux équations : \[ -mg \cos \theta_{eq} + kr \sin \theta_{eq} = 0 \] \[ \Rightarrow \tan \theta_{eq} = \frac{mg}{kr} \]

\[ \Rightarrow R = mg \sin \theta_{eq} + kr (1 + \cos \theta_{eq}) \]

L'équation possède deux solutions \( \theta_{eq} \) et \( \theta_{eq}' = \theta_{eq} + \pi \).

\[ \Rightarrow \text{Il y a deux positions d'équilibre :} \]

\[ \theta_{eq} = \arctan \left( \frac{mg}{kr} \right) \quad \theta_{eq}' = \theta_{eq} + \pi \]

Pour étudier leur stabilité : écartons légèrement le point \( M \) de la position d'équilibre \( \Rightarrow \) apparition d'une force tangentielle \( F_\theta \) :

\[ F_\theta = -mg \cos \theta + kr \sin \theta \]

\[ \frac{dF_\theta}{d\theta} = mg \sin \theta + kr \cos \theta = kr \cos \theta \left( 1 - \frac{mg}{kr} \tan \theta \right) \]

À l'équilibre : \( \tan \theta_{eq} = \frac{mg}{kr} \Rightarrow \left( \frac{dF_\theta}{d\theta} \right)_{\theta = \theta_{eq}} = kr \cos \theta_{eq} (1 + \tan^2 \theta_{eq}) \)

Si \( \cos \theta_{eq} > 0 \Rightarrow \left( \frac{dF_\theta}{d\theta} \right)_{\theta = \theta_{eq}} > 0 \Rightarrow \text{position d'équilibre instable} \)

Si \( \cos \theta_{eq} < 0 \Rightarrow \left( \frac{dF_\theta}{d\theta} \right)_{\theta = \theta_{eq}} < 0 \Rightarrow \text{position d'équilibre stable} \)

4) Énergie potentielle :

Énergie potentielle de pesanteur (origine plan horizontal passant par O) : \[ E_{pp} = mgr \sin\theta \]

Énergie potentielle élastique : \[ E_{pe} = \frac{1}{2} k \|\overrightarrow{AM}\|^2 \] Avec \( \overrightarrow{AM} = r(1 + \cos\theta) \overrightarrow{e_r} - r \sin\theta \overrightarrow{e_\theta} \) \[ \|\overrightarrow{AM}\|^2 = r^2(1 + \cos\theta)^2 + r^2\sin^2\theta \] \[ \|\overrightarrow{AM}\|^2 = r^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) \] \[ \|\overrightarrow{AM}\|^2 = r^2(2 + 2\cos\theta) = 2r^2(1 + \cos\theta) \] \[ E_{pe} = \frac{1}{2} k \cdot 2r^2(1 + \cos\theta) = kr^2(1 + \cos\theta) \]

Énergie potentielle totale : \[ E_p(\theta) = E_{pp} + E_{pe} = mgr \sin\theta + kr^2(1 + \cos\theta) \]

5) Positions d'équilibre :

Les positions d'équilibre vérifient \( \frac{dE_p}{d\theta} = 0 \) : \[ \frac{dE_p}{d\theta} = mgr \cos\theta - kr^2 \sin\theta = 0 \] \[ \Rightarrow mgr \cos\theta = kr^2 \sin\theta \] \[ \Rightarrow \tan\theta = \frac{mgr}{kr^2} = \frac{mg}{kr} \]

Il existe deux solutions dans l'intervalle \( [0, 2\pi[ \) : \[ \theta_{eq1} = \arctan\left(\frac{mg}{kr}\right) \] \[ \theta_{eq2} = \theta_{eq1} + \pi \]

Étude de la stabilité :

Calculons la dérivée seconde : \[ \frac{d^2E_p}{d\theta^2} = -mgr \sin\theta - kr^2 \cos\theta \]

En utilisant la condition d'équilibre \( \tan\theta = \frac{mg}{kr} \), on a : \[ \frac{d^2E_p}{d\theta^2} = -kr^2 \cos\theta \left( 1 + \frac{mg}{kr} \tan\theta \right) \] \[ = -kr^2 \cos\theta \left( 1 + \tan^2\theta \right) \]

Puisque \( 1 + \tan^2\theta > 0 \), le signe de \( \frac{d^2E_p}{d\theta^2} \) est opposé à celui de \( \cos\theta \) :

- Si \( \cos\theta_{eq} > 0 \) : \( \frac{d^2E_p}{d\theta^2} < 0 \) ⇒ Équilibre instable
- Si \( \cos\theta_{eq} < 0 \) : \( \frac{d^2E_p}{d\theta^2} > 0 \) ⇒ Équilibre stable

Ainsi, parmi les deux positions d'équilibre, celle avec \( \cos\theta < 0 \) (θ dans le 2ème ou 3ème quadrant) est stable, l'autre est instable.

6) Développement limité au voisinage de la position d'équilibre stable :

Soit \( \theta_{eq} \) la position d'équilibre stable. \[ E_p(\theta) = E_p(\theta_{eq}) + \frac{1}{2} (\theta - \theta_{eq})^2 \left( \frac{d^2 E_p}{d\theta^2} \right)_{\theta = \theta_{eq}} \]

Soit \( \overrightarrow{F} \) la résultante des forces appliquées sur \( M \).

\[ \text{PFD} : \overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a} \]

Projection sur \( \overrightarrow{e_\theta} : F_\theta = m a_\theta \]

En coordonnées polaires : \[ \overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{e_r} \Rightarrow \overrightarrow{v} = r \dot{\theta} \overrightarrow{e_\theta} \] \[ \overrightarrow{a} = r \ddot{\theta} \overrightarrow{e_\theta} - r \dot{\theta}^2 \overrightarrow{e_r} \] Donc \( a_\theta = r \ddot{\theta} \)

\[ F_\theta = -\frac{dE_p}{d\theta} = -(\theta - \theta_{eq}) \left( \frac{d^2 E_p}{d\theta^2} \right)_{\theta = \theta_{eq}} = m r \ddot{\theta} \]

\[ \Rightarrow \ddot{\theta} + \frac{1}{m r} \left( \frac{d^2 E_p}{d\theta^2} \right)_{\theta = \theta_{eq}} (\theta - \theta_{eq}) = 0 \]

On pose \( \alpha = \theta - \theta_{eq} \Rightarrow \ddot{\alpha} = \ddot{\theta} \)

\[ \Rightarrow \ddot{\alpha} + \frac{1}{m r} \left( \frac{d^2 E_p}{d\theta^2} \right)_{\theta = \theta_{eq}} \alpha = 0 \]

Équation d'un oscillateur harmonique de pulsation \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{m r} \left( \frac{d^2 E_p}{d\theta^2} \right)_{\theta = \theta_{eq}}} \]