Correction Exercice 1 (TD 3a) - Énergie Potentielle

Énoncé

Un point matériel \( M \) est soumis à l'action d'une force centrale \(\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}\) avec \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}\) et d'une force uniforme \(\overrightarrow{f_0} = f_0\overrightarrow{e_x}\). On se place en coordonnées polaires.

Déterminer, à une constante près, l'énergie potentielle totale du point matériel.

Correction détaillée

Étape 1 : Analyse des forces

Le point matériel \( M \) est soumis à deux forces :

Une force centrale : \(\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}\)
Une force uniforme : \(\overrightarrow{f_0} = f_0\overrightarrow{e_x}\)

L'énergie potentielle totale \( E_p \) sera la somme des énergies potentielles associées à chaque force.

Étape 2 : Énergie potentielle de la force centrale

La force centrale \(\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}\) dérive d'une énergie potentielle.

On cherche \( E_{p1} \) telle que \(\overrightarrow{f} = -\overrightarrow{\nabla} E_{p1}\).

En coordonnées cartésiennes, on a :

\[ \overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r} = -k(x\overrightarrow{e_x} + y\overrightarrow{e_y} + z\overrightarrow{e_z}) \]

Donc :

\[ -\frac{\partial E_{p1}}{\partial x} = -kx \Rightarrow \frac{\partial E_{p1}}{\partial x} = kx \] \[ -\frac{\partial E_{p1}}{\partial y} = -ky \Rightarrow \frac{\partial E_{p1}}{\partial y} = ky \] \[ -\frac{\partial E_{p1}}{\partial z} = -kz \Rightarrow \frac{\partial E_{p1}}{\partial z} = kz \]

En intégrant, on trouve :

\[ E_{p1} = \frac{1}{2}k(x^2 + y^2 + z^2) + C_1 = \frac{1}{2}kr^2 + C_1 \]

où \( C_1 \) est une constante d'intégration.

Étape 3 : Énergie potentielle de la force uniforme

La force uniforme \(\overrightarrow{f_0} = f_0\overrightarrow{e_x}\) dérive aussi d'une énergie potentielle.

On cherche \( E_{p2} \) telle que \(\overrightarrow{f_0} = -\overrightarrow{\nabla} E_{p2}\).

On a :

\[ -\frac{\partial E_{p2}}{\partial x} = f_0 \Rightarrow \frac{\partial E_{p2}}{\partial x} = -f_0 \] \[ -\frac{\partial E_{p2}}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial E_{p2}}{\partial y} = 0 \] \[ -\frac{\partial E_{p2}}{\partial z} = 0 \Rightarrow \frac{\partial E_{p2}}{\partial z} = 0 \]

En intégrant, on trouve :

\[ E_{p2} = -f_0 x + C_2 \]

où \( C_2 \) est une constante d'intégration.

En coordonnées polaires, \( x = r\cos\theta \), donc :

\[ E_{p2} = -f_0 r\cos\theta + C_2 \]

Étape 4 : Énergie potentielle totale

L'énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles associées à chaque force :

\[ E_p = E_{p1} + E_{p2} = \frac{1}{2}kr^2 - f_0 r\cos\theta + C \]

où \( C = C_1 + C_2 \) est une constante arbitraire.

Étape 5 : Vérification

Vérifions que \( -\overrightarrow{\nabla} E_p \) redonne bien les forces appliquées.

En coordonnées polaires, le gradient s'écrit :

\[ \overrightarrow{\nabla} E_p = \frac{\partial E_p}{\partial r}\overrightarrow{e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial E_p}{\partial\theta}\overrightarrow{e_\theta} + \frac{\partial E_p}{\partial z}\overrightarrow{e_z} \]

Avec \( E_p = \frac{1}{2}kr^2 - f_0 r\cos\theta + C \), on a :

\[ \frac{\partial E_p}{\partial r} = kr - f_0\cos\theta \] \[ \frac{\partial E_p}{\partial\theta} = f_0 r\sin\theta \] \[ \frac{\partial E_p}{\partial z} = 0 \]

Donc :

\[ -\overrightarrow{\nabla} E_p = -(kr - f_0\cos\theta)\overrightarrow{e_r} - f_0\sin\theta\overrightarrow{e_\theta} \]

Or, la force totale est :

\[ \overrightarrow{f} + \overrightarrow{f_0} = -k\overrightarrow{r} + f_0\overrightarrow{e_x} \]

En exprimant \( \overrightarrow{e_x} \) en coordonnées polaires :

\[ \overrightarrow{e_x} = \cos\theta\overrightarrow{e_r} - \sin\theta\overrightarrow{e_\theta} \]

Donc :

\[ \overrightarrow{f} + \overrightarrow{f_0} = -kr\overrightarrow{e_r} + f_0(\cos\theta\overrightarrow{e_r} - \sin\theta\overrightarrow{e_\theta}) = (-kr + f_0\cos\theta)\overrightarrow{e_r} - f_0\sin\theta\overrightarrow{e_\theta} \]

On retrouve bien \( \overrightarrow{f} + \overrightarrow{f_0} = -\overrightarrow{\nabla} E_p \), ce qui confirme notre résultat.

Conclusion

L'énergie potentielle totale du point matériel, à une constante près, est :

\[ E_p = \frac{1}{2}kr^2 - f_0 r\cos\theta + C \]

où \( C \) est une constante arbitraire.

Remarques importantes

La force centrale \(\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}\) est une force de rappel élastique (type ressort).
La force uniforme \(\overrightarrow{f_0} = f_0\overrightarrow{e_x}\) est constante en direction, sens et norme.
L'énergie potentielle est définie à une constante additive près, qui n'a pas d'influence sur les forces dérivantes.
En l'absence de la force uniforme (\(f_0 = 0\)), on retrouve l'énergie potentielle élastique classique \(E_p = \frac{1}{2}kr^2\).