I. Régime Transitoire
Définitions
Régime permanent : Les tensions et intensités ne varient pas au cours du temps. Exemple : régime continu, signaux sinusoïdaux.
Régime transitoire : Régime durant lequel on passe d'un régime permanent à un autre.
Échelon de tension ou de courant : Le passage brusque d'un régime contenu à un autre.
II. Circuits de 1er ordre
II.1. Circuit RC
Charge d'un condensateur
À l'instant \( t=0 \) on met l'interrupteur (K) en position (1).
\[ E = R \cdot i + u \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \]
\[ \frac{du}{dt} + \frac{1}{\tau} u = \frac{E}{RC} \quad \text{avec} \quad \tau = RC \quad \text{(constante de temps)} \]
La solution de cette équation est \( u(t) = u_H + u_P \) :
\[ u_H = A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \quad \text{(solution homogène)} \]
\[ u_P = E \quad \text{(solution particulière)} \]
\[ u(t) = A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + E \]
Conditions initiales : à \( t=0 \), \( u(t=0) = 0 \) donc \( A = -E \).
\[ u(t) = E \left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right) \]
Pour le courant :
\[ i(t) = C \frac{du}{dt} = \frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Aspect énergétique
\[ u + Ri = E\]
\[ u.i + R.i^{2} = E.i \]
\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right) + Ri^{2} = Ei \]
- \( Ei \) : Puissance fournie par le générateur
- \( Ri^{2} \) : puissance dissipée par effet Joule dans la résistance
- Le condensateur stocke l'énergie :
\[ W = \int_{0}^{+\infty} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right)dt = \frac{CE^{2}}{2} \]
Décharge d'un condensateur
À \( t=0 \) on bascule (K) en position (2), l'équation différentielle est :
\[ \frac{du}{dt} + \frac{1}{\tau} u = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = RC \]
La solution de l'équation :
\[ u(t) = A'\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Conditions initiales : à \( t=0 \), \( u(t=0) = A' = E \)
\[ u(t) = E\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Pour le courant :
\[ i(t) = C \frac{du}{dt} = -\frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Aspect énergétique
\[ u + Ri = 0\]
\[ u.i + R.i^{2} = 0 \]
\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right) + Ri^{2} = 0 \]
- \( Ri^{2} \) : puissance dissipée par effet Joule dans la résistance
- Le condensateur restitue l'énergie :
\[ W' = \int_{0}^{+\infty} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right)dt = -\frac{CE^{2}}{2} \]
Conclusion : \( W = -W' \), le condensateur restitue l'énergie qu'il a stockée lors de la charge.
II.2. Circuit RL
Réponse à un échelon de tension
L'équation différentielle :
\[ E = Ri + L \frac{di}{dt} \]
\[ \frac{di}{dt} + \frac{1}{\tau} i = \frac{E}{R} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{L}{R} \quad \text{(temps de relaxation)} \]
Solution :
\[ i(t) = A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + \frac{E}{R} \]
Conditions initiales : \( i(t=0) = 0 \), donc \( A = -\frac{E}{R} \)
\[ i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right) \]
Pour la tension :
\[ u(t) = L \frac{di}{dt} = E \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Aspect énergétique
\[ u + Ri = E\]
\[ u.i.dt+ R.i^{2}.dt = E.i.dt \]
\[ Eidt = Ri^{2}dt + d\left(\frac{1}{2}Li^{2}\right) \]
- \( \int_{0}^{+\infty} Eidt \) : Énergie fournie par le générateur
- \( \int_{0}^{+\infty} Ri^{2}dt \) : Énergie dissipée par effet Joule
- Énergie stockée par la bobine :
\[ W_L = \frac{LE^{2}}{2R^{2}} \]
Rupture de courant dans une bobine
On suppose que la
tension e(t) passe de la valeur E à 0 :
\[ Ri + L \frac{di}{dt} = 0 \]
\[ \frac{di}{dt} + \frac{1}{\tau} i = 0 \]
Solution :
\[ i(t) = A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Conditions initiales : \( i(t=0) = \frac{E}{R} \), donc \( A = \frac{E}{R} \)
\[ i(t) = \frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Pour la tension :
\[ u(t) = L \frac{di}{dt} = -E \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]
Aspect énergétique
\[ u + Ri = 0\]
\[ u.i.dt+ R.i^{2}.dt = 0 \]
\[ 0 = Ri^{2}dt + d\left(\frac{1}{2}Li^{2}\right) \]
- \( \int_{0}^{+\infty} Ri^{2}dt \) : Énergie dissipée par effet Joule
- Énergie restituée par la bobine :
\[ W'_L = -\frac{LE^{2}}{2R^{2}} \]
Remarque : La bobine restitue l'énergie qu'elle a stockée lors de l'établissement du courant.
III. Régime libre d'un circuit RLC
III.1. Équation différentielle
\[ L \frac{di}{dt} + Ri + u = 0 \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \]
\[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{R}{L} \frac{du}{dt} + \frac{1}{LC} u = 0 \]
\[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + 2\lambda \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = 0 \]
\[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{\omega_{0}}{Q} \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = 0 \]
Avec :
- \( \lambda \) : coefficient d'amortissement
- \( \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) : pulsation propre
- \( Q = \frac{L\omega_{0}}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \) : facteur de qualité
Pour
la charge :
\[
\frac{d^{2}q}{dt^{2}} \;+\; \frac{\omega_{0}}{Q}\,\frac{dq}{dt} \;+\; \omega_{0}^{2}\,q \;=\; 0
\]
Équation caractéristique
\[ r^2 + 2 \lambda r + \omega_0^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2 \left(\tfrac{1}{4Q^2} - 1\right) \]
III.2. Les différents régimes
A) Régime apériodique
\[
\Delta' > 0
\quad\Longrightarrow\quad
\lambda > \omega_0 \quad (\text{Amortissement élevé}),
\quad Q < \tfrac{1}{2},
\quad R > 2\sqrt{\tfrac{L}{C}}
\]
\[
r_{1,2} = -\lambda \; \pm \; \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}
\]La solution :
\[
u(t) = e^{-\lambda t}
\Big(
A \, \exp\!\big(\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}\,t\big)
+ B \, \exp\!\big(-\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}\,t\big)
\Big)
\]
B) Régime critique
\[ \Delta' = 0 \quad (\lambda = \omega_{0}) \quad Q = \frac{1}{2} \quad R = 2\sqrt{\frac{L}{C}} \]
\[ u(t) = (A' + B't)e^{-\omega_{0}t} \]
C) Régime pseudopériodique
\[ \Delta' < 0 \quad (\lambda < \omega_{0}) \quad Q > \frac{1}{2} \quad R < 2\sqrt{\frac{L}{C}} \]
\[ r_{1,2} = -\lambda \pm j\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}} = -\lambda \pm j\Omega \]
\[ u(t) = e^{-\lambda t}\cos(\Omega t + \varphi) \]
\[ T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{T_{0}}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^{2}}}} > T_{0} \]
T0 : Pseudo-période
Décrément logarithmique :
\[ \delta = \ln\frac{u(t)}{u(t+T)} \]
IV. Réponse d'un circuit RLC à un échelon de tension
\[ u + Ri + L \frac{di}{dt} = E \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \]
\[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{\omega_{0}}{Q} \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = \omega_{0}^{2} E \]
Solution : \( u(t) = u_H + u_P \)
- \( u_H \) : Solution homogène (trois régimes possibles).
- \( u_P \) : Solution particulière
Aspect énergétique
\[
u + Ri + L \frac{di}{dt} = E
\quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt}
\]
\[
E i \, dt = d\!\left(\tfrac{1}{2} L i^2 + \tfrac{1}{2} C u^2 \right) + Ri^2 dt
\]
\[
\int_{0}^{+\infty} E i \, dt
= \int_{0}^{+\infty} Ri^2 \, dt
+ \int_{0}^{+\infty} d\!\left(\tfrac{1}{2} L i^2 + \tfrac{1}{2} C u^2 \right)
\]
\[
CE^2 = \tfrac{1}{2} CE^2 + W_J
\]
\[
W_J = \tfrac{1}{2} CE^2 = W_C
\]
Bilan énergétique :
\[
\int_{0}^{+\infty} E i \, dt = CE^2
\]
\[
\int_{0}^{+\infty} Ri^2 \, dt = \tfrac{1}{2} CE^2
\]
\[
\int_{0}^{+\infty} d\!\left(\tfrac{1}{2} L i^2 + \tfrac{1}{2} C u^2 \right) = W_J
\]
→ Énergie stockée dans le condensateur
Remarque : La bobine n'intervient pas dans le bilan énergétique global.
