Régime transitoire
Introduction
L'étude des régimes transitoires est essentielle en électronique pour comprendre comment les circuits réagissent lors de changements brusques (mise sous tension, commutation). Ce cours aborde les circuits du premier ordre (RC et RL) puis le circuit RLC du second ordre. Nous analyserons les équations différentielles, les solutions temporelles, les aspects énergétiques ainsi que les différents régimes (apériodique, critique, pseudopériodique). Ces concepts sont fondamentaux pour la conception de filtres, de temporisateurs et de systèmes de contrôle.
I. Régime Transitoire
Définitions
Régime permanent : Les tensions et intensités ne varient pas au cours du temps. Exemple : régime continu, signaux sinusoïdaux.
Régime transitoire : Régime durant lequel on passe d'un régime permanent à un autre.
Échelon de tension ou de courant : Le passage brusque d'un régime contenu à un autre.
II. Circuits de 1er ordre
II.1. Circuit RC
Charge d'un condensateur
À l'instant \( t=0 \) on met l'interrupteur (K) en position (1).
\( E = R i + u \quad \text{avec} \quad i = C \dfrac{du}{dt} \)
\( \dfrac{du}{dt} + \dfrac{1}{\tau} u = \dfrac{E}{RC} \quad \text{avec} \quad \tau = RC \)
Solution : \( u(t) = u_H + u_P \)
\( u_H = A e^{-t/\tau}, \quad u_P = E \)
\( u(t) = A e^{-t/\tau} + E \)
Condition initiale \( u(0)=0 \) donne \( A = -E \).
\( u(t) = E \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \)
\( i(t) = C \dfrac{du}{dt} = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau} \)
Remarque : Il y a continuité de \( u(t) \) et discontinuité de \( i(t) \).
Aspect énergétique
\( u + Ri = E \)
\( u i + R i^2 = E i \)
\( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{1}{2} C u^2 \right) + R i^2 = E i \)
- \( E i \) : puissance fournie par le générateur.
- \( R i^2 \) : puissance dissipée par effet Joule.
- Énergie stockée dans le condensateur : \( W = \dfrac{C E^2}{2} \).
Décharge d'un condensateur
À \( t=0 \) on bascule (K) en position (2). L'équation :
\( \dfrac{du}{dt} + \dfrac{1}{\tau} u = 0 \)
Solution : \( u(t) = A' e^{-t/\tau} \). Avec \( u(0)=E \) donne \( A' = E \).
\( u(t) = E e^{-t/\tau} \)
\( i(t) = -\dfrac{E}{R} e^{-t/\tau} \)
Aspect énergétique
\( u + Ri = 0 \)
\( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{1}{2} C u^2 \right) + R i^2 = 0 \)
- \( R i^2 \) : puissance dissipée.
- Énergie restituée par le condensateur : \( W' = -\dfrac{C E^2}{2} \).
Conclusion : \( W = -W' \), le condensateur restitue l'énergie stockée.
II.2. Circuit RL
Réponse à un échelon de tension
\( E = R i + L \dfrac{di}{dt} \)
\( \dfrac{di}{dt} + \dfrac{1}{\tau} i = \dfrac{E}{R} \quad \text{avec} \quad \tau = \dfrac{L}{R} \)
Solution : \( i(t) = A e^{-t/\tau} + \dfrac{E}{R} \). Condition initiale \( i(0)=0 \) donne \( A = -\dfrac{E}{R} \).
\( i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \)
\( u(t) = L \dfrac{di}{dt} = E e^{-t/\tau} \)
Remarque : Continuité de \( i(t) \) et discontinuité de \( u(t) \).
Aspect énergétique
\( E i dt = R i^2 dt + d\left( \dfrac{1}{2} L i^2 \right) \)
- Énergie fournie par le générateur : \( \int_0^\infty E i dt \)
- Énergie dissipée par effet Joule : \( \int_0^\infty R i^2 dt \)
- Énergie stockée dans la bobine : \( W_L = \dfrac{L E^2}{2 R^2} \)
Rupture de courant dans une bobine
On suppose que la tension passe de \( E \) à \( 0 \). L'équation :
\( R i + L \dfrac{di}{dt} = 0 \)
\( \dfrac{di}{dt} + \dfrac{1}{\tau} i = 0 \)
Solution : \( i(t) = A e^{-t/\tau} \). Avec \( i(0)=E/R \) donne \( A = E/R \).
\( i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau} \)
\( u(t) = -E e^{-t/\tau} \)
Aspect énergétique
\( 0 = R i^2 dt + d\left( \dfrac{1}{2} L i^2 \right) \)
- Énergie dissipée par effet Joule.
- Énergie restituée par la bobine : \( W_L' = -\dfrac{L E^2}{2 R^2} \).
Remarque : La bobine restitue l'énergie stockée lors de l'établissement du courant.
III. Régime libre d'un circuit RLC
III.1. Équation différentielle
\( L \dfrac{di}{dt} + R i + u = 0, \quad i = C \dfrac{du}{dt} \)
\( \dfrac{d^2 u}{dt^2} + \dfrac{R}{L} \dfrac{du}{dt} + \dfrac{1}{LC} u = 0 \)
\( \dfrac{d^2 u}{dt^2} + \dfrac{\omega_0}{Q} \dfrac{du}{dt} + \omega_0^2 u = 0 \)
Avec :
- \( \lambda = \dfrac{R}{2L} \) : coefficient d'amortissement.
- \( \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) : pulsation propre.
- \( Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} \) : facteur de qualité.
Pour la charge \( q \) :
\( \dfrac{d^2 q}{dt^2} + \dfrac{\omega_0}{Q} \dfrac{dq}{dt} + \omega_0^2 q = 0 \)
Équation caractéristique
\( r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2 = 0 \)
\( \Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2 \left( \dfrac{1}{4Q^2} - 1 \right) \)
III.2. Les différents régimes
A) Régime apériodique
\( \Delta' > 0 \), soit \( Q < \frac12 \), \( R > 2\sqrt{L/C} \).
\( r_{1,2} = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \)
\( u(t) = e^{-\lambda t} \left( A e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t} + B e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t} \right) \)
B) Régime critique
\( \Delta' = 0 \), soit \( Q = \frac12 \), \( R = 2\sqrt{L/C} \).
\( u(t) = (A' + B't) e^{-\omega_0 t} \)
C) Régime pseudopériodique
\( \Delta' < 0 \), soit \( Q > \frac12 \), \( R < 2\sqrt{L/C} \).
\( r_{1,2} = -\lambda \pm j\Omega \) avec \( \Omega = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} \)
\( u(t) = e^{-\lambda t} \cos(\Omega t + \varphi) \)
\( T = \dfrac{2\pi}{\Omega} = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} > T_0 \)
Décrément logarithmique :
\( \delta = \ln \dfrac{u(t)}{u(t+T)} \)
IV. Réponse d'un circuit RLC à un échelon de tension
\( u + R i + L \dfrac{di}{dt} = E, \quad i = C \dfrac{du}{dt} \)
\( \dfrac{d^2 u}{dt^2} + \dfrac{\omega_0}{Q} \dfrac{du}{dt} + \omega_0^2 u = \omega_0^2 E \)
Solution : \( u(t) = u_H + u_P \).
- \( u_H \) : solution homogène (un des trois régimes).
- \( u_P \) : solution particulière, ici \( u_P = E \).
Aspect énergétique
\( E i dt = d\left( \tfrac12 L i^2 + \tfrac12 C u^2 \right) + R i^2 dt \)
\( \int_0^\infty E i dt = \tfrac12 C E^2 + W_J \)
\( W_J = \tfrac12 C E^2 \)
Bilan :
- Énergie fournie par le générateur : \( C E^2 \)
- Énergie dissipée par effet Joule : \( \tfrac12 C E^2 \)
- Énergie stockée dans le condensateur : \( \tfrac12 C E^2 \)
Remarque : La bobine ne stocke pas d'énergie en régime permanent.
Conclusion
L'étude des régimes transitoires dans les circuits RC, RL et RLC met en évidence des comportements caractéristiques : constante de temps pour les circuits du premier ordre, amortissement et pseudo-période pour le second ordre. Les aspects énergétiques montrent les échanges entre les composants et l'importance de la dissipation par effet Joule. Ces résultats sont essentiels pour l'analyse des systèmes électroniques soumis à des variations brusques et pour la conception de circuits de temporisation, de filtrage ou d'oscillateurs.