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Régime transitoire

Cours électronique : Régime transitoire

I. Régime Transitoire

Définitions

Régime permanent : Les tensions et intensités ne varient pas au cours du temps. Exemple : régime continu, signaux sinusoïdaux.

Régime transitoire : Régime durant lequel on passe d'un régime permanent à un autre.

Échelon de tension ou de courant : Le passage brusque d'un régime contenu à un autre.

                                        

II. Circuits de 1er ordre

II.1. Circuit RC

Charge d'un condensateur

À l'instant \( t=0 \) on met l'interrupteur (K) en position (1).

\[ E = R \cdot i + u \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \]
\[ \frac{du}{dt} + \frac{1}{\tau} u = \frac{E}{RC} \quad \text{avec} \quad \tau = RC \quad \text{(constante de temps)} \]

La solution de cette équation est \( u(t) = u_H + u_P \) :

\[ u_H = A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \quad \text{(solution homogène)} \] \[ u_P = E \quad \text{(solution particulière)} \]
\[ u(t) = A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + E \]

Conditions initiales : à \( t=0 \), \( u(t=0) = 0 \) donc \( A = -E \).

\[ u(t) = E \left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right) \]

Pour le courant :

\[ i(t) = C \frac{du}{dt} = \frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Remarque : Il y a continuité de \( u(t) \) et discontinuité de \( i(t) \).

Aspect énergétique

\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right) + Ri^{2} = Ei \]
  • \( Ei \) : Puissance fournie par le générateur
  • \( Ri^{2} \) : puissance dissipée par effet Joule dans la résistance
  • Le condensateur stocke l'énergie : \[ W = \int_{0}^{+\infty} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right)dt = \frac{CE^{2}}{2} \]

Décharge d'un condensateur

À \( t=0 \) on bascule (K) en position (2), l'équation différentielle est :

\[ \frac{du}{dt} + \frac{1}{\tau} u = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = RC \]

La solution de l'équation :

\[ u(t) = A'\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Conditions initiales : à \( t=0 \), \( u(t=0) = A' = E \)

\[ u(t) = E\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Pour le courant :

\[ i(t) = C \frac{du}{dt} = -\frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Aspect énergétique

\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right) + Ri^{2} = 0 \]
  • \( Ri^{2} \) : puissance dissipée par effet Joule dans la résistance
  • Le condensateur restitue l'énergie : \[ W' = \int_{0}^{+\infty} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}Cu^{2} \right)dt = -\frac{CE^{2}}{2} \]

Conclusion : \( W = -W' \), le condensateur restitue l'énergie qu'il a stockée lors de la charge.

II.2. Circuit RL

Réponse à un échelon de tension

L'équation différentielle :

\[ E = Ri + L \frac{di}{dt} \] \[ \frac{di}{dt} + \frac{1}{\tau} i = \frac{E}{R} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{L}{R} \quad \text{(temps de relaxation)} \]

Solution :

\[ i(t) = A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + \frac{E}{R} \]

Conditions initiales : \( i(t=0) = 0 \), donc \( A = -\frac{E}{R} \)

\[ i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right) \]

Pour la tension :

\[ u(t) = L \frac{di}{dt} = E \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Remarque : Il y a continuité de \( i(t) \) et discontinuité de \( u(t) \).

Aspect énergétique

\[ Eidt = Ri^{2}dt + d\left(\frac{1}{2}Li^{2}\right) \]
  • \( \int_{0}^{+\infty} Eidt \) : Énergie fournie par le générateur
  • \( \int_{0}^{+\infty} Ri^{2}dt \) : Énergie dissipée par effet Joule
  • Énergie stockée par la bobine : \[ W_L = \frac{LE^{2}}{2R^{2}} \]

Rupture de courant dans une bobine

On suppose que la tension e(t) passe de la valeur E à 0 : 

\[ Ri + L \frac{di}{dt} = 0 \] \[ \frac{di}{dt} + \frac{1}{\tau} i = 0 \]

Solution :

\[ i(t) = A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Conditions initiales : \( i(t=0) = \frac{E}{R} \), donc \( A = \frac{E}{R} \)

\[ i(t) = \frac{E}{R} \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Pour la tension :

\[ u(t) = L \frac{di}{dt} = -E \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \]

Aspect énergétique

\[ 0 = Ri^{2}dt + d\left(\frac{1}{2}Li^{2}\right) \]
  • \( \int_{0}^{+\infty} Ri^{2}dt \) : Énergie dissipée par effet Joule
  • Énergie restituée par la bobine : \[ W'_L = -\frac{LE^{2}}{2R^{2}} \]

Remarque : La bobine restitue l'énergie qu'elle a stockée lors de l'établissement du courant.

III. Régime libre d'un circuit RLC

III.1. Équation différentielle

\[ L \frac{di}{dt} + Ri + u = 0 \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \] \[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{R}{L} \frac{du}{dt} + \frac{1}{LC} u = 0 \] \[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + 2\lambda \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = 0 \] \[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{\omega_{0}}{Q} \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = 0 \]

Avec :

  • \( \lambda \) : coefficient d'amortissement
  • \( \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) : pulsation propre
  • \( Q = \frac{L\omega_{0}}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \) : facteur de qualité

III.2. Les différents régimes

A) Régime apériodique

\[ \Delta' > 0 \quad (\lambda > \omega_{0}) \quad Q < \frac{1}{2} \quad R > 2\sqrt{\frac{L}{C}} \] \[ r_{1,2} = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^{2} - \omega_{0}^{2}} \] \[ u(t) = e^{-\lambda t}\left(A\exp\left(\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right) + B\exp\left(-\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}t\right)\right) \]

B) Régime critique

\[ \Delta' = 0 \quad (\lambda = \omega_{0}) \quad Q = \frac{1}{2} \quad R = 2\sqrt{\frac{L}{C}} \] \[ u(t) = (A' + B't)e^{-\omega_{0}t} \]

C) Régime pseudopériodique

\[ \Delta' < 0 \quad (\lambda < \omega_{0}) \quad Q > \frac{1}{2} \quad R < 2\sqrt{\frac{L}{C}} \] \[ r_{1,2} = -\lambda \pm j\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}} = -\lambda \pm j\Omega \] \[ u(t) = e^{-\lambda t}\cos(\Omega t + \varphi) \] \[ T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{T_{0}}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^{2}}}} > T_{0} \]

Décrément logarithmique :

\[ \delta = \ln\frac{u(t)}{u(t+T)} \]

IV. Réponse d'un circuit RLC à un échelon de tension

\[ u + Ri + L \frac{di}{dt} = E \quad \text{avec} \quad i = C \frac{du}{dt} \] \[ \frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \frac{\omega_{0}}{Q} \frac{du}{dt} + \omega_{0}^{2} u = \omega_{0}^{2} E \]

Solution : \( u(t) = u_H + u_P \)

  • \( u_H \) : Solution homogène (trois régimes possibles)
  • \( u_P \) : Solution particulière

Aspect énergétique

\[ Eidt = d\left(\frac{1}{2}Li^{2} + \frac{1}{2}Cu^{2}\right) + Ri^{2}dt \]
  • \( \int_{0}^{+\infty} Eidt = CE^{2} \) : Énergie fournie par le générateur
  • \( \int_{0}^{+\infty} Ri^{2}dt = \frac{1}{2}CE^{2} \) : Énergie dissipée par effet Joule
  • \( W_J = \frac{1}{2}CE^{2} = W_C \) : Énergie stockée dans le condensateur

Remarque : La bobine n'intervient pas dans le bilan énergétique global.

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