Exercice 1 : Force centrale et énergie potentielle
Un point matériel M est soumis à l'action d'une force centrale
\(\overrightarrow{f} = -k\overrightarrow{r}\) avec
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}\) et d'une force uniforme
\(\overrightarrow{f_{0}} = f_{0}\overrightarrow{e_{x}}\). On se place en coordonnées polaires.
1. Déterminer, à une constante près, l'énergie potentielle totale du point matériel.
Exercice 2 : Mouvement dans un looping
Un circuit comporte deux tronçons rectilignes AB et BC. Le premier a pour hauteur h et le second se poursuit par un looping CS de rayon R. La voiturette utilisée est assimilée à un point matériel de masse m. Elle est lâchée sans vitesse initiale.
On note g l'intensité du champ de pesanteur et on néglige tous les frottements.
1. Exprimer la vitesse vB de la vitesse au point B en fonction de g et de h.
2. En supposant qu'il n'y ait aucune discontinuité de la valeur de la vitesse au passage de B, quelle est la vitesse en C ?
3. Exprimer la valeur RN de la force normale exercée par la piste au sommet S du looping en fonction de m, g, R, et vs la vitesse au sommet.
4. Exprimer la vitesse vs en fonction de vc, g et R.
5. La voiture perd contact avec la piste en S lorsque R
N s'annule. Déterminer, en fonction de R, la valeur h
min de la hauteur h pour laquelle la voiturette parvient au sommet du looping.
Exercice 3 : Ressort sur plan incliné
Un point matériel M de masse est relié à l'extrémité d'un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0, attaché à un point fixe O. L'ensemble est placé sur un plan incliné d'un angle θ par rapport à l'horizontale. Les frottements sont négligés.
1. Exprimer la longueur leq du ressort lorsque le point M est à l'équilibre.
2. On pose x(t) = l(t) - l
eq, où l(t) est la longueur instantanée du ressort. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x lorsque la masse m est en mouvement. Que remarque-t-on ?
Exercice 4 : Énergie potentielle et équilibre
1. Un point matériel est soumis à la force de composantes cartésiennes : fx = x - 2x3, fy = y et fz = z.
a. Montrer que ce champ de forces dérive d'une énergie potentielle que l'on déterminera.
b. Déterminer les positions d'équilibre du point et leur stabilité.
2. L'énergie potentielle d'un point matériel de masse m en mouvement unidirectionnel est :
Ep(x) = E0·exp(ax2) avec E0 et a sont deux constantes positives.
a. Tracer la courbe Ep(x).
b. Pour quelles valeurs de x, y a-t-il équilibre ? cet équilibre est-il stable ?
c. Quelle est la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable ?
Exercice 5 : Énergies potentielles classiques
A l'aide de la relation \(\overrightarrow{F} = -\overrightarrow{grad}\ E_{P}\) retrouver les expressions des énergies potentielles liées aux forces suivantes :
1. Tension d'un ressort.
2. Poids d'un corps de masse m.
3. Force de gravitation exercée par une masse M à symétrie sphérique sur une masse m.
4. Force électrostatique appliquée par une charge ponctuelle Q sur une charge q.
Exercice 6 : Anneau sur guide circulaire
Le référentiel terrestre R est supposé galiléen. Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon R placé verticalement dans le plan (xOz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l'air est négligeable. Une force \(\overrightarrow{T} = k\overrightarrow{AM}\) tend à attirer l'anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel élastique due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l'autre extrémité serait fixée en A.
1. Représenter les trois forces appliquées en M.
2. Projeter ces forces dans la base de projection adaptée au mouvement de M.
3. Étude dynamique : déterminer les positions d'équilibre de l'anneau et préciser leur stabilité.
4. Étude énergétique : exprimer l'énergie potentielle de l'anneau en fonction de θ.
5. En déduire les positions d'équilibre de l'anneau. Étudier leur stabilité.
6. Déterminer la pulsation des petites oscillations par rapport à la position d'équilibre stable.
Exercice 7 : Molécule diatomique (Potentiel de Lennard-Jones)
Soit une molécule diatomique dont les deux atomes sont distants de r. L'énergie potentielle d'interaction s'exprime approximativement selon : \(E_p(r) = \frac{a}{r^{12}} - \frac{b}{r^6}\) où a et b sont des constantes positives (Formule de Lennard-Jones)
1. Déterminer l'expression de la force d'interaction dérivant de cette énergie potentielle.
2. Tracer la courbe \(E_{p}(r)\).
3. Déterminer la distance \(r_{éq}\) à l'équilibre. Cette position d'équilibre est-elle stable ou instable ?
4. On suppose dans cette question et dans la suivante que l'un des atomes est beaucoup plus lourd que l'autre, de telle sorte qu'il reste pratiquement au repos dans le référentiel d'étude. A partir de la courbe représentative de \(E_{p}(r)\), discuter les différents mouvements possibles pour l'atome le plus léger.
5. L'atome le plus léger a une masse m. Déterminer la période de très petites oscillations autour de la position d'équilibre \(r = r_{éq}\) pour des déplacements radiaux.
Exercice 8 : Mouvement sous force centrale
Une particule de masse m se déplace dans le plan xOy sous l'action d'une force centrale attractive : \(\overrightarrow{F} = -m\omega^2\overrightarrow{r}\) (ω = constante positive). A l'instant initial la particule est dans la position M0 de l'axe Ox (\(OM_{0} = r_{0}\)) et est lancé avec la vitesse \(\overrightarrow{V_{0}}\) faisant un angle variable α avec l'axe ox.
1. Ecrire les équations du mouvement de M en fonction du paramètre α.
2. Exprimer l'énergie totale de la particule en fonction de m, ω, \(r_{0}\) et \(V_{0}\).
3. Dans le cas particulier où \(V_{0} = 2r_{0}\omega\) et α = 60°, écrire l'équation de la trajectoire.
4. Ecrire les deux conditions pour lesquelles le mouvement de la particule est circulaire uniforme.
5. Dans le cas particulier où \(\overrightarrow{V_{0}}\) est parallèle à Oy. Déterminer \(V_{0}\) et l'énergie totale de la particule.
