TD : Oscillateurs harmoniques

On considère un point matériel M de masse \(m = 470\ \text{g}\), accroché à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil inextensible de longueur \(l\) et de masse nulle. L'ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre \(\vec{g} = g\vec{i}\) (avec \(g = 9,8\ \text{m.s}^{-2}\)), \(\vec{i}\) étant un vecteur unitaire de l'axe \((Ox)\). On note l'angle orienté \(\theta = (\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OM})\). On suppose que le mouvement reste dans le plan vertical \((Oxy)\), l'angle \(\theta\) restant toujours faible. À l'instant \(t = 0\), on lâche la masse d'un angle \(\theta_0\) sans vitesse initiale.

Lorsque l'on enregistre expérimentalement \(\theta(t)\), on constate que l'amplitude de \(\theta\) diminue lentement. On interprète ce résultat par la présence de frottements que l'on modélise par \(\vec{f} = -\alpha\vec{v}\), où \(\vec{v}\) désigne la vitesse du point M, et \(\alpha\) une constante positive.

1. Établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par \(\theta(t)\), et écrire cette équation sous la forme : \[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{2}{\tau} \frac{d\theta}{dt} + \omega_0^2 \theta = 0 \]
2. À quelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ?
3. Dans ce cas, déterminer la pseudo-période \(T\). Que représente alors \(\tau\) ?
4. On appelle décrément logarithmique la quantité \(\delta = \ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(t+T)}\right)\). Exprimer \(\delta\) en fonction de \(T\) et \(\tau\).
5. La figure ci-dessous représente les variations de \(\theta\) avec le temps. On précise les coordonnées de quatre points particuliers :
   

   Points	A	B	C	D
   \(t\) (s)	0,53	1,10	2,20	8,25
   \(\theta\) (°)	0,00	8,95	8,02	0,00

   Calculer numériquement, à partir des valeurs expérimentales :
   • Le décrément logarithmique \(\delta\)
   • La pseudo-période \(T\)
   • Le temps \(\tau\)
   • La constante \(\alpha\)
6. Tracer précisément la trajectoire de phase suivie par cet oscillateur, dans le plan de phase \((\theta, \dot{\theta})\). Ajouter sur le même graphe la trajectoire de phase qu'on aurait obtenue en l'absence de frottements.

On considère un oscillateur harmonique, amorti par un frottement fluide, dont une grandeur caractéristique \(x(t)\) satisfait à l'équation caractéristique : \[ \frac{d^2x(t)}{dt^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{dx(t)}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0 \] où \(\omega_0\) est la pulsation propre et \(Q\) le facteur de qualité.

Pour un régime pseudo-périodique (\(Q > 0,5\)), on définit le « décrément logarithmique » : \[ \delta = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{x(t)}{x(t+nT)}\right) \] où \(T\) est la pseudo-période du régime.

1. Exprimer \(\delta\) en fonction de \(Q\).
2. À partir de quelle valeur de \(Q\) a-t-on \(Q = \frac{\pi}{\delta}\) à 1% près ?

Un point matériel M de masse \(m\) pouvant se mouvoir dans la direction \(Oz\) (verticale descendante) est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur \(k\) et de longueur à vide \(l_0\).

Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est uniforme. On désigne par \(z\) la position de M.

1. Écrire l'équation du mouvement du point M.
2. Déterminer sa position d'équilibre \(z_e\).
3. En déduire l'équation du mouvement de M en fonction de la variable \(Z = z - z_e\). Quelle est la pulsation propre \(\omega_0\) du système ?
4. Déterminer \(z(t)\) sachant qu'initialement le point est abandonné sans vitesse initiale de la côte \(z_0 = l_0 + \frac{mg}{k} + a\) (avec \(a > 0\)).
5. Exprimer l'énergie potentielle totale \(E_p(M)\) du point M connue à une constante près. Déterminer cette constante lorsqu'on impose \(E_p = 0\) à l'équilibre.
6. Exprimer alors l'énergie potentielle en fonction de \(Z = z - z_e\) et \(k\).
7. Dans le cas du mouvement du (4) déterminer \(\langle E_c \rangle\) et \(\langle E_p \rangle\), les valeurs moyennes de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Quelle relation existe-t-il entre ces deux grandeurs ?
8. Application numérique : \(k = 20\ \text{N.m}^{-1}\), \(m = 100\ \text{g}\), \(a = 5\ \text{cm}\). Calculer la pulsation des oscillations ainsi que l'énergie potentielle moyenne.

On considère le portrait de phase d'un oscillateur amorti composé d'une masse \(m = 500\ \text{g}\) soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur \(k\)) et à une force de frottement fluide \(\vec{F} = -\alpha\vec{v}\) (\(\vec{v}\) étant la vitesse de la masse \(m\) et \(x\) est l'écart à la position d'équilibre).

1. Déterminer la nature du régime de l'oscillateur.
2. Déterminer par lecture graphique :
   • La valeur initiale de la position \(x_0\)
   • La valeur finale de la position \(x_f\)
   • La pseudo-période \(T\)
   • Le décrément logarithmique
3. En déduire la pulsation \(\omega\), le facteur de qualité \(Q\) de l'oscillateur, la raideur \(k\) du ressort et le coefficient de frottement fluide \(\alpha\).

On considère un dispositif mécanique composé d'une bille M, supposée ponctuelle, de masse \(m\) qui glisse sans frottements sur un axe horizontal. La bille est reliée à un ressort de constante de raideur \(k > 0\) et de longueur à vide \(l_0\), maintenu fixe à son autre extrémité sur un mur vertical. La bille est également reliée à un dispositif d'amortissement, fixé au même mur, qui soumet la bille à une force de frottement fluide de la forme \(\vec{f}_d = -h \vec{v}\).

On note O la position de la bille quand le ressort est à sa longueur à vide et on repère la position de la bille par \(x = \overrightarrow{OM}\).

1. Faire un bilan des forces et justifier que le système n'est pas conservatif.
2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, montrer que : \[ \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q} \dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \] Préciser \(\omega_0\) et \(Q\) en fonction des paramètres du problème.
3. Quelle condition doit vérifier \(Q\) pour être en régime apériodique ? en régime critique ? en régime pseudo-périodique ?
4. Interprétation énergétique de \(Q\) : dans la suite, on suppose que \(\omega = \omega_0\) et \(Q \gg 1\) (cas d'un amortissement faible) et on se place dans le cas du régime pseudo-périodique : \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \exp\left(-\frac{\omega_0 t}{2Q}\right) \]
   1. Quelle est l'expression de l'énergie potentielle \(E_p(t)\) ? de l'énergie cinétique \(E_c(t)\) ?
   2. Montrer que l'énergie mécanique \(E_m(t)\) se met sous la forme : \(E_m(t) = K_1 \exp(-K_2 t)\). Exprimer \(K_1\) et \(K_2\).
   3. On définit la variation d'énergie mécanique par : \(\Delta E_m(t) = |E_m(t + T) - E_m(t)|\). Quelle est la relation entre le facteur de qualité et \(\Delta E_m(t)\) ? commenter.

Une sphère de rayon \(r\) et de masse \(m\) est suspendue à un ressort de raideur \(k\) et de longueur à vide \(l_0\). Déplacée dans un liquide de coefficient de viscosité \(\eta\), la sphère est soumise à une force de frottement donnée par la formule de Stokes : \(\vec{f} = -6\pi\eta r \vec{v}\) où \(\vec{v}\) est la vitesse de la sphère.

1. Écrire l'équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire l'expression de la pseudo-période \(T\).
2. Dans l'air, où les frottements fluides sont négligeables, la période des oscillations est \(T_0\). Déterminer le coefficient de viscosité \(\eta\) du liquide en fonction de \(m\), \(r\), \(T\) et \(T_0\).

Le but de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'un moteur de compresseur et son système de suspension.

Le moteur est assimilé à un point matériel M de masse \(m\). Le système de suspension est quant à lui modélisé par un ressort de constante de raideur \(k > 0\) et de longueur à vide \(l_0\), placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage de la forme : \(\vec{f}_d = -\alpha\dot{z} \vec{u}_z\).

L'origine O de l'axe vertical \((Oz)\) ascendant est confondue avec la position du moteur lorsqu'il ne fonctionne pas et qu'il est immobile. La longueur de ressort est alors égale à \(l_e\).

Lorsque le moteur fonctionne, tout se passe comme s'il apparaissait une force supplémentaire de la forme : \(\vec{f} = kA \cos(\omega t) \vec{u}_z\) où \(A\) est une constante positive.

Le référentiel d'étude sera supposé galiléen. On pose : \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) et \(\beta = \frac{\alpha}{\sqrt{mk}}\).

1. Déterminer la longueur à l'équilibre \(l_e\) en fonction de \(l_0\), \(m\), \(g\) et \(k\).
2. Établir l'équation différentielle du mouvement vertical de M.
3. On se place en régime sinusoïdal forcé. On peut donc chercher \(z(t)\) sous la forme : \[ z(t) = z_m \cos(\omega t + \varphi) \] Récrire l'équation différentielle précédente en notation complexe et en déduire l'amplitude complexe de \(z(t)\).
4. Déterminer l'amplitude d'élongation \(z_m\) de \(z(t)\).
5. Pour ne pas endommager le moteur, il faut que l'amplitude d'élongation demeure inférieure à la valeur \(A\). Quelles sont alors les valeurs permises pour le paramètre \(\beta\) ?

Un point matériel M de masse \(m\) est attaché à un ressort de constante de raideur \(k > 0\) et de longueur à vide \(l_0\). Ce point matériel peut glisser le long d'un axe horizontal \((Ox)\).

Le référentiel d'étude sera supposé galiléen. L'origine O de l'axe horizontal est confondue avec la position au repos de M.

Le point M est soumis à l'action d'une force excitatrice \(\vec{f}_e = F \cos(\omega_0 t) \vec{e}_x\) et d'une force de frottement fluide \(\vec{f}_d = -\alpha \vec{v}\).

On suppose que le régime sinusoïdal forcé est atteint et on pose : \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) et \(Q = \frac{m\omega_0}{\alpha}\).

1. Établir les expressions de l'élongation \(x(t)\) et de la vitesse \(v(t)\).
2. Déterminer les valeurs moyennes de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie mécanique du point matériel M sur une période \(T_0\).
3. Quelle est la relation existante entre \(Q\), la valeur moyenne de l'énergie mécanique et le travail de la force excitatrice \(\vec{f}_e\) pendant une période \(T_0\) ?

On considère une masse M homogène de masse volumique \(\rho\) et de volume \(V\), plongée dans l'eau (masse volumique \(\rho_e\)). Cette masse est suspendue à un ressort de raideur \(k\) et de longueur à vide \(l_0\), accroché en un point A.

Soit \((Oz)\) un axe vertical orienté vers le bas, le point A est fixe à la côte \(z_A = 0\). On s'intéresse au mouvement suivant \((Oz)\) de la masse et on note \(z\) la côte de centre de gravité G de la masse. À l'équilibre la masse est située en \(z = h\). On négligera la hauteur de la masse M devant \(h\). Soit \(\mathcal{R}\) le référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Écrire la condition d'équilibre de la masse M dans \(\mathcal{R}\).
2. En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'oscillation de M. On écrira une équation reliant \(z\), ses dérivées, \(M\), \(k\) et \(h\). Donner la pulsation propre \(\omega_0\) de cet oscillateur (on négligera les frottements dans cette question).
3. Commenter le fait que \(\omega_0\) ne dépend pas de l'intensité de la poussée d'Archimède. Y a-t-il un terme de l'équation différentielle précédente qui en dépend ?
4. On tient compte d'une force de frottement visqueux, colinéaire à la vitesse \(\vec{F} = -\alpha \vec{v}\) (identique dans tous les référentiels) de l'eau sur la masse M. Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par \(z\). En se plaçant dans le cas d'un amortissement faible, donner sans calcul l'allure de la fonction \(z(t)\) avec les conditions initiales suivantes : à \(t = 0\), \(z = h_1 > h\) et la vitesse initiale est nulle.
5. À l'aide d'un piston, on impose à l'extrémité A du ressort, un mouvement vertical sinusoïdal d'amplitude \(z_{Am}\), donc \(z_A(t) = z_{Am} \cos(\omega t)\). Écrire dans le référentiel \(\mathcal{R}'\) lié à A, l'équation différentielle vérifiée par \(z'\) côte de G dans \(\mathcal{R}'\).
6. Calculer l'amplitude des oscillations de la masse M dans \(\mathcal{R}'\). On utilisera la notation complexe et on fera apparaître les constantes \(\omega_0\), \(\tau = \frac{M}{\alpha}\) et la variable \(x = \frac{\omega}{\omega_0}\).
7. Dans ce dispositif, l'intérêt du ressort est de permettre d'obtenir des oscillations de la masse d'amplitude supérieure à celle de l'excitation. Chercher un intervalle de pulsations pour lequel cette condition est vérifiée. Vous montrerez que cet intervalle existe si la masse M est supérieure à une certaine valeur que vous préciserez.
8. Si la condition précédente est vérifiée, pour quelle pulsation l'amplitude d'oscillation de la masse M est-elle maximale ?