Oscillateur Linéaire à un Degré de Liberté
On se limite à l'étude d'un oscillateur unidimensionnel pour lequel le vecteur position \( \overrightarrow{OM} \) ne dépend que d'une seule variable spatiale.
I) Oscillateur Harmonique
1) Définition
L'équation différentielle d'un oscillateur harmonique au voisinage d'une position d'équilibre stable est :
\( a\ddot{X} + bX = 0 \)
Ce qui permet d'écrire la forme canonique d'un oscillateur harmonique :
\( \ddot{X} + \omega_{0}^{2}X = 0 \)
- \( X \) : l'élongation repérée à partir de la position d'équilibre stable
- \( \omega_{0} \) : pulsation propre de l'oscillateur
2) Exemples
a) Mouvement d'un point au voisinage de la position d'équilibre stable
Considérons une particule ponctuelle de masse \( m \) soumise à la seule force \( \vec{f} \) conservative. Celle-ci dérive de l'énergie potentielle \( E_p \) ne dépendant que d'un paramètre de position \( x \). On a établi que \( \vec{f} = f_x \vec{u}_x \) avec : \( f_x = -\frac{dE_p}{dx} \)
Soit \( x_e \) la position d'équilibre stable : un DL\(_2\) au voisinage de \( x_e \).
\( E_p(x) = E_p(x_e) + (x - x_e) \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x = x_e} + \frac{(x - x_e)^2}{2} \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x = x_e} \)
Position d'équilibre stable : \( \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x = x_e} = 0 \) et \( K = \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x = x_e} > 0 \)
Approximation harmonique : on se limite aux petits mouvements au voisinage de la position d'équilibre stable \( x_e \).
L'énergie mécanique de système s'écrit : \( E_m = E_c + E_p = \text{cte} \)
\( E_m = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + E_p(x_e) + K \frac{(x - x_e)^2}{2} \)
Conservation de l'énergie cinétique : \( \frac{dE_m}{dt} = m \ddot{x} + k(x - x_e) \dot{x} = 0 \)
On pose \( X = x - x_e \) donc \( \dot{X} = \ddot{x} \)
\( \ddot{X} + \frac{k}{m} X = 0 \)
La pulsation propre du système : \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
b) Particule élastiquement liée
Soit une particule ponctuelle de masse \( m \) fixée à l'extrémité d'un ressort de raideur \( k \), la particule se déplace sans frottement le long de l'axe Ox.
Force de rappel : \( \overrightarrow{T} = -k(l - l_0)\overrightarrow{i} = -kX\overrightarrow{i} \)
PFD : \( -kX = m\ddot{X} \)
Équation du mouvement :
\( \ddot{X} + \omega_0^2 X = 0 \) avec \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
3) Caractéristiques du mouvement
La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme :
\( x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi) \)
- \( X_m \) : amplitude qui dépend des conditions initiales
- \( \varphi \) : phase à l'origine dépendant des conditions initiales
Forme alternative :
\( x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t) \)
Avec : \( X_m = \sqrt{A^2 + B^2} \), \( \cos\varphi = \frac{A}{X_m} \), \( \sin\varphi = -\frac{B}{X_m} \)
Le mouvement est périodique, de période \( T = \frac{2\pi}{\omega_0} \) indépendante de l'amplitude du mouvement : on dit qu'il y a isochronisme des oscillations.
4) Aspect énergétique
En utilisant la solution \( x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi) \) :
Énergie potentielle :
\( E_P = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie cinétique :
\( E_C = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie mécanique :
On utilise l'expression de la solution sous la forme : \( x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi) \).
La seule force considérée ici est une force conservative dérivant du potentiel : \( E_p = \frac{1}{2} kx^2 \) (\( E_p \) étant défini à une constante près, on a choisi \( E_p(0) = 0 \)).
\( E_p = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} kX_m^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi) \)
L'énergie cinétique : \( E_c = \frac{1}{2} m\dot{x}^2 = \frac{1}{2} mX_m^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi) = \frac{1}{2} kX_m^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi) \)
L'énergie mécanique : \( E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} kX_m^2 = \text{cte} \)
L'énergie mécanique est une constante du mouvement, ce qui n'a rien de surprenant puisque toutes les forces sont conservatives.
Les valeurs moyennes :
\( \langle E_p \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_p(t) dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} kX_m^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi) dt = \frac{1}{4} kX_m^2 \)
\( \langle E_c \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_c(t) dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} kX_m^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi) dt = \frac{1}{4} kX_m^2 \)
Les valeurs moyennes des énergies potentielle et cinétique sont égales, il y a en permanence un transfert d'énergie entre les deux formes, potentielle et cinétique.
5) Portrait de phase de l'oscillateur harmonique
Le portrait de phase est la représentation de \( \dot{x} \) en fonction de \( x \) : \( \dot{x} = f(x) \)
Pour établir l'allure de portrait de phase, on dispose de deux méthodes :
1ère méthode : \( E_m = \frac{1}{2} m\dot{x}^2 + \frac{1}{2} kx^2 = \text{cte} \)
\( \dot{x}^2 + \omega_0^2 x^2 = C \) avec \( C \) une constante qui varie avec les conditions initiales.
\( \frac{\dot{x}^2}{A} + \frac{x^2}{B} = 1 \) avec \( A = C \) et \( B = \frac{C}{\omega_0^2} \)
C'est l'équation cartésienne d'une ellipse.
2ème méthode : \( x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi) \) et \( x^2(t) = X_m^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi) \)
\( \dot{x}(t) = -X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi) \) et \( \dot{x}^2(t) = X_m^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Donc
\( \frac{\dot{x}^2}{\omega_0^2} + x^2 = X_m^2 \)
C'est l'équation cartésienne d'une ellipse.
Le portrait de phase d'un oscillateur harmonique est donc un ensemble d'ellipses de centre commun qui se déduisent les unes des autres par homothétie.
Remarque :
En traçant \( (x, \frac{\dot{x}}{\omega_0}) \), les trajectoires de phase sont des cercles.
Dans le plan \( (x, v) \), les trajectoires de phase seront des cercles lorsque \( \omega_0 = 1 \, \text{rad} \cdot \text{s}^{-1} \), ce qui correspond à une fréquence \( f_0 = 0{,}159 \, \text{Hz} \).
II) Oscillateurs Amortis
1) Équation différentielle du mouvement
On s'intéresse ici au cas où on a un frottement fluide proportionnel à la vitesse dont la force s'écrit : \( \vec{f} = -\lambda \vec{v} \).
On considère un point matériel de masse \( m \) se déplaçant le long d'un axe \( Ox \), dont l'origine de l'axe est fixée au niveau de la position à l'équilibre du point matériel, et on considère le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Bilan des forces :
- La force de rappel : \( -kx \, \vec{u}_x \)
- La force de frottement : \( -\lambda \dot{x} \, \vec{u}_x \)
- Le poids : \( mg \)
PFD :
\( -kx \, \vec{u}_x - \lambda \dot{x} \, \vec{u}_x + mg = m\vec{a} \)
La projection du PFD sur l'axe \( Ox \) donne :
\( \ddot{x} + \frac{\lambda}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = 0 \)
2) Analogie avec le circuit électrique R, L, C série
Les phénomènes d’oscillations sont présents dans divers domaines de la physique. En électrocinétique l’équation différentielle électrique en fonction de la charge q dans le cas d’un circuit RLC en série en court-circuit s’écrit sous la forme :
\( L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = 0 \)
L'ensemble des résultats pourra être obtenu par simple analogie entre la mécanique et l'électrocinétique.
| Grandeur Mécanique | Grandeur Électrique |
|---|---|
| Masse \( m \) | Inductance \( L \) |
| Raideur \( k \) | Inverse de la capacité \( 1/C \) |
| Amortissement \( \lambda \) | Résistance \( R \) |
| Position \( x \) | Charge \( q \) |
| Vitesse \( \dot{x} \) | Courant \( i = \dot{q} \) |
L'ensemble des résultats pourra être obtenu par simple analogie entre la mécanique et l'électrocinétique.
III) Trois Types de Régimes
1) Équation caractéristique
L'équation du mouvement s'écrit sous la forme : \( \ddot{x} + \frac{\lambda}{m}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) avec \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \)
Formes équivalentes :
- \( \ddot{x} + 2\xi\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (ξ : coefficient d'amortissement)
- \( \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (Q : facteur de qualité)
- \( \ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (τ : temps de relaxation)
Relations entre paramètres : \( \frac{\lambda}{m} = 2\xi = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{\tau} \)
Équation caractéristique associée :
\( r^2 + 2\xi r + \omega_0^2 = 0 \)
Soient \( r_1 \) et \( r_2 \) les solutions de l'équation caractéristique, la solution s'écrit : \( x(t) = A\exp(r_1 t) + B\exp(r_2 t) \)
On distingue plusieurs types de solutions suivant le signe du discriminant réduit : \( \Delta' = \xi^2 - \omega_0^2 \)
2) Régime pseudopériodique : \( \Delta' < 0 \)
Dans ce cas :
\( \xi < \omega_0 \)
\( \frac{\lambda}{2m} < \sqrt{\frac{k}{m}} \)
\( Q > \frac{1}{2} \)
Cela correspond au cas où le coefficient \( \lambda \) est faible.
L'équation caractéristique possède deux solutions complexes conjuguées :
\( r_{1,2} = -\xi \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \xi^2} = -\xi \pm i\omega \) avec \( \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \xi^2} \)
La solution de l'équation différentielle s'écrit :
\( x(t) = \exp(-\xi t) (A \cos \omega t + B \sin \omega t) = A' \exp(-\xi t) \cos(\omega t + \varphi) \)
Avec \( A \), \( B \) ou \( A' \), \( \varphi \) sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
Remarque :
- La solution précédente s'écrit sous la forme du produit d'une amplitude dépendant du temps \( A(t) = A' \exp(-\xi t) \) et d'un terme d'oscillations \( \cos(\omega t + \varphi) \).
- \( A(t) \) diminue exponentiellement au fur et à mesure qu'ont lieu les oscillations.
Pseudopériode : \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \xi^2}} \)
\( T > T_0 \) avec \( T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \) la période de l'oscillateur harmonique associé.
Dans le cas d'un amortissement très faible (\( \frac{\xi}{\omega_0} \ll 1 \)), en effectuant un DL2 en \( \frac{\xi}{\omega_0} \) on a
\( T = \frac{2\pi}{\omega_0} \left( 1 + \frac{\xi^2}{2\omega_0^2} + \cdots \right) \approx T_0 \)
Décrément logarithmique :
\( \delta = \ln \frac{A(t)}{A(t+T)} = \ln \frac{A(t)}{A(t) \exp(-\xi T)} = \xi T = \frac{2\pi \xi}{\sqrt{\omega_0^2 - \xi^2}} = \frac{2\pi \xi}{\omega} \)
Aspect énergétique
Aspect énergétique :
\( x(t) = A \exp(-\xi t) \cos(\omega t + \varphi) \)
\( \dot{x}(t) = A \exp(-\xi t) [-\xi \cos(\omega t + \varphi) - \omega \sin(\omega t + \varphi)] \)
Les expressions des différentes énergies :
Énergie cinétique :
\( E_c = \frac{1}{2} m\dot{x}^2 = \frac{1}{2} mA^2 \exp(-2\xi t) [\xi \cos(\omega t + \varphi) + \omega \sin(\omega t + \varphi)]^2 \)
Énergie potentielle :
\( E_p = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} kA^2 \exp(-2\xi t) \cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp(-2\xi t) \cos^2(\omega t + \varphi) \)
Énergie mécanique :
\( E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} mA^2 \exp(-2\xi t) [(\xi \cos(\omega t + \varphi) + \omega \sin(\omega t + \varphi))^2 + \omega_0^2 \cos^2(\omega t + \varphi)] \)
L'énergie mécanique n'est pas constante ; elle diminue selon une loi en \( \exp(-2\xi t) \) : il y a dissipation de l'énergie sous forme de chaleur.
Cas d'un amortissement très faible : \( \xi \ll \omega_0 \).
Dans ce cas : \( \omega \approx \omega_0 \) et \( T \approx T_0 \)
Énergie cinétique :
\( E_c \approx \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp(-2\xi t) \sin^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie potentielle :
\( E_p = \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp(-2\xi t) \cos^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie mécanique :
\( E_m = \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp(-2\xi t) = \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \)
On peut alors estimer la perte d'énergie au cours d'une pseudopériode :
\( \Delta E_m = E_m(t) - E_m(t+T) = \frac{1}{2} m\omega_0^2 A^2 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) (1 - \exp\left(-\frac{T}{\tau}\right)) > 0 \)
La variation relative de l'énergie mécanique :
\( \frac{\Delta E_m}{E_m} = \frac{\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)(1 - \exp\left(-\frac{T}{\tau}\right))}{\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)} = 1 - \exp\left(-\frac{T}{\tau}\right) \)
Dans le cas d'un amortissement très faible : \( \frac{T}{\tau} \approx \frac{T_0}{\tau} = \frac{4\pi\xi}{\omega_0} \ll 1 \)
En effectuant un \( DL_1 \) :
\( \frac{\Delta E_m}{E_m} = \frac{T_0}{\tau} = \frac{2\pi}{\omega_0\tau} = \frac{2\pi}{Q} \)
( \( \exp\left(-\frac{T_0}{\tau}\right) \approx 1 - \frac{T_0}{\tau} \) )
On obtient donc une interprétation énergétique du facteur de qualité dans le cas d'un amortissement très faible :
\( Q = 2\pi\frac{E_m}{\Delta E_m} \)
Portrait de phase
\( x(t) = A\exp(-\xi t)\cos(\omega t + \varphi) \)
\( \dot{x}(t) = A\exp(-\xi t)[-\xi\cos(\omega t + \varphi) - \omega\sin(\omega t + \varphi)] \)
Le portrait de phase de l'oscillateur amorti est donc une ellipse dont la taille diminue exponentiellement au cours du temps. On observe donc une spirale.
3) Régime apériodique : \( \Delta' > 0 \)
Ce cas correspond à un fort frottement : \( \xi > \omega_0 \)
\( \frac{\lambda}{2m} > \sqrt{\frac{k}{m}} \)
\( Q < \frac{1}{2} \)
L'équation caractéristique possède deux solutions réelles : \( r_{1,2} = -\xi \pm \sqrt{\xi^2 - \omega_0^2} \)
Comme \( \xi > \sqrt{\xi^2 - \omega_0^2} = \xi \sqrt{1 - \frac{\omega_0^2}{\xi^2}} \) les deux solutions \( r_1 \) et \( r_2 \) sont négatives.
La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme :
\( x(t) = A \exp(r_1 t) + B \exp(r_2 t) \)
\( x(t) \) est la somme de deux exponentielles décroissantes. L'amplitude diminue au cours du temps sans que n'apparaissent des oscillations, d'où le nom régime apériodique (ou aérodynamique).
Portrait de phase
\( x(t) = A \exp(r_1 t) + B \exp(r_2 t) \)
\( \dot{x}(t) = r_1 A \exp(r_1 t) + r_2 B \exp(r_2 t) \)
Les deux variables tendent vers 0 quand le temps devient infini : les trajectoires de phase convergent vers l'origine.
4) Régime critique : \( \Delta' = 0 \)
Conditions : \( \xi = \omega_0 \), \( Q = \frac{1}{2} \)
Solution de l'équation caractéristique :
\( r = -\xi = -\omega_0 \) (racine double)
Solution de l'équation différentielle :
\( x(t) = (A + Bt)\exp(-\omega_0 t) \)
L'allure est la même que pour le régime apériodique. Dans ce régime, on n'observe pas d'oscillations et le retour à la position d'équilibre est plus rapide que dans le cas d'un régime pseudopériodique.
Il s'agit d'un régime théorique : d'un point de vue physique, il est la limite entre les deux autres cas et ne sera jamais observé car l'égalité ne sera jamais rigoureusement obtenue.
Conditions initiales : \( A = x_0 \) et \( B = v_0 + \omega_0 x_0 \)
Portrait de phase : La forme de trajectoire de phase dépend des conditions initiales. On constate que la trajectoire de phase tend très rapidement vers la position d'équilibre à l'origine des axes.
IV) Résonance Mécanique
1) Réponse d'un oscillateur mécanique amorti à une excitation sinusoïdale
1) Réponse d'un oscillateur mécanique amorti à une excitation sinusoïdale
Une particule élastiquement liée, de raideur \( k \) en mouvement rectiligne sur l'axe \( Ox \), soumise à :
- Force des frottements fluide : \( \vec{f}_d = -\alpha \vec{v} \)
- Force excitatrice sinusoïdale : \( \vec{f}_e = F \cos(\omega t) \vec{e}_x \)
En appliquant le PFD :
\( \vec{P} + \vec{R} + \vec{T} + \vec{f}_d + \vec{f}_e = m\vec{a} \)
Projection sur \( Ox \) : \( m\ddot{x} = -kx - \alpha \dot{x} + F \cos(\omega t) \)
L'équation différentielle du mouvement :
\( \ddot{x} + \frac{\alpha}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = \frac{F}{m} \cos(\omega t) \)
On pose :
\( A = \frac{F}{m\omega_0^2} \) et \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
La solution de cette équation s'écrit :
\( x(t) = x_H(t) + x_P(t) \)
\( x_H(t) \) : solution de l'équation homogène correspond au régime libre
\( x_P(t) \) : solution particulière correspond au régime forcé.
2) Régime sinusoïdal forcé
En régime sinusoïdal forcé la solution de l'équation différentielle s'écrit :
\( x(t) = X \cos(\omega t + \varphi) \)
a) Notation complexe :
\( \underline{x}(t) = X \exp(j(\omega t + \varphi)) = X \exp(j\varphi) \exp(j\omega t) = \underline{X} \exp(j\omega t) \)
Avec :
\( \begin{cases} \underline{X} = X \exp(j\varphi) \\ \varphi = \text{Arg }(\underline{X}) \\ X = |\underline{X}| \end{cases} \)
Remarque :
- \( \underline{x}(t) = X \exp(j(\omega t + \varphi)) = X \cos(\omega t + \varphi) + j X \sin(\omega t + \varphi) = R_e(\underline{x}(t)) + I_m(\underline{x}(t)) \)
La solution de l'équation différentielle (réelle) : \( x(t) = X \cos(\omega t + \varphi) = R_e(\underline{x}(t)) \)
- \( \underline{\dot{x}}(t) = j\omega X \exp(j(\omega t + \varphi)) = j\omega \underline{x}(t) \)
\( \underline{\ddot{x}}(t) = -\omega^2 X \exp(j(\omega t + \varphi)) = -\omega^2 \underline{x}(t) \)
En notation complexe l'équation différentielle précédente s'écrit :
\( \ddot{x} + \frac{\omega_0^2}{Q} \dot{x} + \omega_0^2 x = A \omega_0^2 \exp(j\omega t) \)
\( \left( -\omega^2 + j\omega \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2 \right) \underline{x}(t) = A \omega_0^2 \exp(j\omega t) \)
\( \left( -\omega^2 + j\omega \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2 \right) \underline{X} \exp(j\omega t) = A \omega_0^2 \exp(j\omega t) \)
\( \underline{X} = \underline{X} \exp(j\varphi) = \frac{A \omega_0^2}{-\omega^2 + j\omega \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2} \)
On pose \( u = \frac{\omega}{\omega_0} \) :
\( \underline{X} = \frac{A}{1 - u^2 + j \frac{u}{Q}} \)
Donc :
\( X = |\underline{X}| = \frac{A}{\sqrt{(1 - u^2)^2 + \left(\frac{u}{Q}\right)^2}} \)
\( \tan \varphi = \arg(\underline{X}) = -\frac{\frac{u}{Q}}{1 - u^2} \quad \text{(soit } \varphi = -\arctan\left(\frac{u}{Q(1 - u^2)}\right) \text{)} \)
3) Résonance en élongation
a) Définition :
Il y a résonance en élongation lorsque X passe par un maximum.
On pose : \( f(u) = (1 - u^2)^2 + \left( \frac{u}{Q} \right)^2 \)
Il y a résonance en élongation lorsque \( f(u) \) est minimale donc : \( \left( \frac{df(u)}{du} \right)_{u=u_r} = 0 \)
\( 4u \left( u^2 - 1 + \frac{1}{2Q^2} \right) = 0 \)
Cette quantité s’annule pour : \( u = 0 \) ou \( u^2 = 1 - \frac{1}{2Q^2} \)
La deuxième solution donnera des valeurs réelles si \( u^2 = 1 - \frac{1}{2Q^2} \geq 0 \)
Ce qui donne : \( Q \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Conclusion :
- Si \( Q \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \) : résonance lorsque : \( \omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} \). \( X_{\text{max}} = X(u_r) = \frac{AQ}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \)
- Si \( Q \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \) : absence de résonance. \( X_{\text{max}} = A \)
On peut noter qu’il y a phénomène de résonance en amplitude pour un frottement peu important. La dérivée de \( X(u) \) étant nulle pour \( u = 0 \) (\( \omega = 0 \)), la tangente à l’origine est horizontale.
❖ Pour amortissements très faibles : \( (Q \gg 1) : \omega \approx \omega_0 \) et \( X_{\text{max}} \approx AQ \)
b) Bande passante :
La finesse de la résonance se définit à l’aide de la bande passante comme en électricité. Il s’agit du domaine de fréquences (ou de pulsations) pour lesquelles l’amplitude est au moins égale à l’amplitude maximale (amplitude à la résonance) divisée par \( \sqrt{2} : X \geq \frac{X_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \).
On a \( X = \frac{A}{\sqrt{(1 - u^2)^2 + \left( \frac{u}{Q} \right)^2}} \) et \( X_{\text{max}} = \frac{AQ}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \)
La résolution de l’équation : \( X = \frac{X_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \) donne deux solutions :
\( \omega_1 = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2} - \frac{1}{Q} \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \) et \( \omega_2 = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2} + \frac{1}{Q} \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \)
La bande passante est définie par : \( \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \)
❖ Pour amortissements très faibles \( (Q \gg 1) \) : en effectuant un DL
\( \omega_1 \approx \omega_0 \left(1 - \frac{1}{2Q}\right) \) et \( \omega_2 \approx \omega_0 \left(1 + \frac{1}{2Q}\right) \)
La bande passante : \( \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \approx \frac{\omega_0}{Q} \)
Ce qui fournit une autre définition du facteur de qualité dans le cas de faibles amortissements : \( Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} \)
c) Déphasage :
\( \underline{X} = X \exp(j\varphi) = \frac{A}{1 - u^2 + j\frac{u}{Q}} \)
Donc
\( \varphi = \arg(\underline{X}) = -\arg\left(1 - u^2 + j\frac{u}{Q}\right) = -\arctan\left(\frac{u}{Q(1 - u^2)}\right) \)
\( \tan \varphi = -\frac{u}{Q(1 - u^2)} \) et \( \sin \varphi < 0 \)
- ❖ Pour basses fréquences : \( \omega \ll \omega_0 \) (\( u \ll 1 \)) : \( \varphi = 0 \)
- ❖ Pour hautes fréquences : \( \omega \gg \omega_0 \) (\( u \gg 1 \)) : \( \varphi = \pi \)
- ❖ Si \( \omega = \omega_0 \) (\( u = 1 \)) : \( \varphi = -\frac{\pi}{2} \)
4) Résonance en vitesse
a) Définition
Notons en représentation complexe :
\( \underline{v} = V \exp(j\omega t + \Psi) = \underline{V} \exp(j\omega t) \) avec \( \underline{V} = V \exp(j\Psi) \)
\( \underline{v} = \frac{dx(t)}{dt} = j\omega \underline{x}(t) = \frac{j\omega A}{1 - u^2 + j\frac{u}{Q}} \exp(j\omega t) \)
\( \underline{V} = V \exp(j\varphi) = \frac{j\omega A}{1 - u^2 + j\frac{u}{Q}} = Q\omega_0 A \frac{j u}{1 - u^2 + j\frac{u}{Q}} \)
ou \( \underline{V} = \frac{Q\omega_0 A}{1 + jQ\left(u - \frac{1}{u}\right)} \) et \( \Psi = \arg(\underline{V}) = \varphi + \frac{\pi}{2} \)
L'amplitude de la vitesse :
\( V = |\underline{V}| = \frac{Q\omega_0 A}{\sqrt{1 + Q^2\left(u - \frac{1}{u}\right)^2}} \)
Conclusion :
- Si \( \omega \gg \omega_0 \) (\( u \gg 1 \)) : \( V \to 0 \)
- Si \( \omega \ll \omega_0 \) (\( u \ll 1 \)) : \( V \to 0 \)
- Si \( \omega = \omega_0 \) (\( u = 1 \)) : \( V \) passe par un maximum
\( V_{\text{max}} = Q\omega_0 A \)
Remarque : La réponse en vitesse effectue un filtrage passe-bande, avec une résonance lorsque \( \omega = \omega_0 \) (fréquence excitatrice = fréquence de l'oscillateur).
b) Bande passante :
La gamme de fréquences pour laquelle : \( V \geq \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \)
La résolution de l'équation : \( V = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \) donne : \( \omega_1 = -\frac{\omega_0}{2Q} \left(1 - \sqrt{1 + 4Q^2}\right) \) et \( \omega_2 = \frac{\omega_0}{2Q} \left(1 + \sqrt{1 + 4Q^2}\right) \)
La bande passante : \( \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} \)
Remarque : dans le cas de la résonance en vitesse le facteur de qualité \( Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} \)