Oscillateur Linéaire à un Degré de Liberté
On se limite à l'étude d'un oscillateur unidimensionnel pour lequel le vecteur position \( \overrightarrow{OM} \) ne dépend que d'une seule variable spatiale.
I) Oscillateur Harmonique
1) Définition
L'équation différentielle d'un oscillateur harmonique au voisinage d'une position d'équilibre stable est :
\( a\ddot{X} + bX = 0 \)
Ce qui permet d'écrire la forme canonique d'un oscillateur harmonique :
\( \ddot{X} + \omega_{0}^{2}X = 0 \)
- \( X \) : l'élongation repérée à partir de la position d'équilibre stable
- \( \omega_{0} \) : pulsation propre de l'oscillateur
2) Exemples
a) Mouvement d'un point au voisinage de la position d'équilibre stable
Considérons une particule ponctuelle de masse \( m \) soumise à la seule force conservative \( \overrightarrow{f} \). Celle-ci dérive de l'énergie potentielle \( E_p \) ne dépendant que d'un paramètre de position \( x \).
Approximation harmonique : on se limite aux petits mouvements au voisinage de la position d'équilibre stable \( x_e \).
Développement limité à l'ordre 2 au voisinage de \( x_e \) :
\( E_p(x) = E_p(x_e) + (x - x_e)\left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x = x_e} + \frac{(x - x_e)^2}{2}\left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x = x_e} \)
Position d'équilibre stable : \( \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x = x_e} = 0 \) et \( K = \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x = x_e} > 0 \)
En posant \( X = x - x_e \), l'équation du mouvement devient :
\( \ddot{X} + \frac{k}{m}X = 0 \)
La pulsation propre du système : \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
b) Particule élastiquement liée
Soit une particule ponctuelle de masse \( m \) fixée à l'extrémité d'un ressort de raideur \( k \), la particule se déplace sans frottement le long de l'axe Ox.
Force de rappel : \( \overrightarrow{T} = -k(l - l_0)\overrightarrow{i} = -kX\overrightarrow{i} \)
PFD : \( -kX = m\ddot{X} \)
Équation du mouvement :
\( \ddot{X} + \omega_0^2 X = 0 \) avec \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
3) Caractéristiques du mouvement
La solution de l'équation différentielle s'écrit sous la forme :
\( x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi) \)
- \( X_m \) : amplitude qui dépend des conditions initiales
- \( \varphi \) : phase à l'origine dépendant des conditions initiales
Forme alternative :
\( x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t) \)
Avec : \( X_m = \sqrt{A^2 + B^2} \), \( \cos\varphi = \frac{A}{X_m} \), \( \sin\varphi = -\frac{B}{X_m} \)
Le mouvement est périodique, de période \( T = \frac{2\pi}{\omega_0} \) indépendante de l'amplitude du mouvement : on dit qu'il y a isochronisme des oscillations.
4) Aspect énergétique
En utilisant la solution \( x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi) \) :
Énergie potentielle :
\( E_P = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\cos^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie cinétique :
\( E_C = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 = \frac{1}{2}kX_m^2\sin^2(\omega_0 t + \varphi) \)
Énergie mécanique :
\( E_m = E_C + E_P = \frac{1}{2}kX_m^2 = \text{constante} \)
Valeurs moyennes :
\( \langle E_P \rangle = \langle E_C \rangle = \frac{1}{4}kX_m^2 \)
Il y a un transfert d'énergie entre les deux formes, potentielle et cinétique.
5) Portrait de phase de l'oscillateur harmonique
Le portrait de phase est la représentation de \( \dot{x} \) en fonction de \( x \) : \( \dot{x} = f(x) \)
1ère méthode : Conservation de l'énergie
\( E_m = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{constante} \)
\( \dot{x}^2 + \omega_0^2 x^2 = C \) (avec \( C \) constante qui varie avec les conditions initiales)
2ème méthode : Solution temporelle
À partir de \( x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi) \) et \( \dot{x}(t) = -X_m\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi) \)
\( \frac{\dot{x}^2}{X_m^2\omega_0^2} + \frac{x^2}{X_m^2} = 1 \)
C'est l'équation cartésienne d'une ellipse.
Conclusion : Le portrait de phase d'un oscillateur harmonique est donc un ensemble d'ellipses de centre commun.
Remarque : En traçant \( \left(x, \frac{\dot{x}}{\omega_0}\right) \), les trajectoires de phase sont des cercles.
II) Oscillateurs Amortis
1) Équation différentielle du mouvement
On s'intéresse ici au cas où on a un frottement fluide proportionnel à la vitesse dont la force s'écrit : \( \overrightarrow{f} = -\lambda\overrightarrow{V} \).
Bilan des forces :
- Force de rappel : \( -kx\overrightarrow{u}_x \)
- Force de frottement : \( -\lambda\dot{x}\overrightarrow{u}_x \)
- Poids : \( m\overrightarrow{g} \)
PFD : \( -kx\overrightarrow{u}_x - \lambda\dot{x}\overrightarrow{u}_x + m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} \)
Projection sur l'axe Ox :
\( \ddot{x} + \frac{\lambda}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \)
2) Analogie avec le circuit électrique R, L, C série
En électrocinétique, l'équation différentielle pour un circuit RLC série en court-circuit s'écrit :
\( L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = 0 \)
| Grandeur Mécanique | Grandeur Électrique |
|---|---|
| Masse \( m \) | Inductance \( L \) |
| Raideur \( k \) | Inverse de la capacité \( 1/C \) |
| Amortissement \( \lambda \) | Résistance \( R \) |
| Position \( x \) | Charge \( q \) |
| Vitesse \( \dot{x} \) | Courant \( i = \dot{q} \) |
L'ensemble des résultats pourra être obtenu par simple analogie entre la mécanique et l'électrocinétique.
III) Trois Types de Régimes
1) Équation caractéristique
L'équation du mouvement s'écrit sous la forme : \( \ddot{x} + \frac{\lambda}{m}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) avec \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \)
Formes équivalentes :
- \( \ddot{x} + 2\xi\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (ξ : coefficient d'amortissement)
- \( \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (Q : facteur de qualité)
- \( \ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) (τ : temps de relaxation)
Relations entre paramètres : \( \frac{\lambda}{m} = 2\xi = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{\tau} \)
Équation caractéristique associée :
\( r^2 + 2\xi r + \omega_0^2 = 0 \)
Soient \( r_1 \) et \( r_2 \) les solutions de l'équation caractéristique, la solution s'écrit : \( x(t) = A\exp(r_1 t) + B\exp(r_2 t) \)
On distingue plusieurs types de solutions suivant le signe du discriminant réduit : \( \Delta' = \xi^2 - \omega_0^2 \)
2) Régime pseudopériodique : \( \Delta' < 0 \)
Conditions : \( \xi < \omega_0 \), \( \frac{\lambda}{2m} < \sqrt{\frac{k}{m}} \), \( Q > \frac{1}{2} \) (faible frottement)
Solutions de l'équation caractéristique :
\( r_{1,2} = -\xi \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \xi^2} = -\xi \pm i\omega \)
avec \( \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \xi^2} \)
Solution de l'équation différentielle :
\( x(t) = \exp(-\xi t)(A\cos\omega t + B\sin\omega t) = A'\exp(-\xi t)\cos(\omega t + \varphi) \)
Caractéristiques :
- Pseudopériode : \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1 - \frac{\xi^2}{\omega_0^2}}} > T_0 \)
- Décrément logarithmique : \( \delta = \ln\frac{A(t)}{A(t+T)} = \xi T \)
Aspect énergétique
Cas d'un amortissement très faible : \( \xi \ll \omega_0 \) (alors \( \omega \approx \omega_0 \) et \( T \approx T_0 \))
Énergie mécanique :
\( E_m = \frac{1}{2}m\omega_0^2 A^2 \exp(-2\xi t) = \frac{1}{2}m\omega_0^2 A^2 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \)
La perte d'énergie au cours d'une pseudopériode :
\( \Delta E_m = E_m(t) - E_m(t+T) > 0 \)
Variation relative de l'énergie mécanique :
\( \frac{\Delta E_m}{E_m} = 1 - \exp\left(-\frac{T}{\tau}\right) \)
Pour amortissement très faible (\( \frac{T_0}{\tau} \ll 1 \)) :
\( \frac{\Delta E_m}{E_m} \approx \frac{T_0}{\tau} = \frac{2\pi}{\omega_0\tau} = \frac{2\pi}{Q} \)
Interprétation énergétique du facteur de qualité :
\( Q = 2\pi\frac{E_m}{\Delta E_m} \)
Portrait de phase : Le portrait de phase de l'oscillateur amorti est une ellipse dont la taille diminue exponentiellement au cours du temps. On observe donc une spirale.
3) Régime apériodique : \( \Delta' > 0 \)
Conditions : \( \xi > \omega_0 \), \( \frac{\lambda}{2m} > \sqrt{\frac{k}{m}} \), \( Q < \frac{1}{2} \) (fort frottement)
Solutions de l'équation caractéristique :
\( r_{1,2} = -\xi \pm \sqrt{\xi^2 - \omega_0^2} \)
Solution de l'équation différentielle :
\( x(t) = A\exp(r_1 t) + B\exp(r_2 t) \)
\( x(t) \) est la somme de deux exponentielles décroissantes. L'amplitude diminue au cours du temps sans qu'apparaissent des oscillations, d'où le nom régime apériodique.
Portrait de phase : Les deux variables \( x \) et \( \dot{x} \) tendent vers 0 quand le temps devient infini : les trajectoires de phase convergent vers l'origine.
4) Régime critique : \( \Delta' = 0 \)
Conditions : \( \xi = \omega_0 \), \( Q = \frac{1}{2} \)
Solution de l'équation caractéristique :
\( r = -\xi = -\omega_0 \) (racine double)
Solution de l'équation différentielle :
\( x(t) = (A + Bt)\exp(-\omega_0 t) \)
L'allure est la même que pour le régime apériodique. Dans ce régime, on n'observe pas d'oscillations et le retour à la position d'équilibre est plus rapide que dans le cas d'un régime pseudopériodique.
Il s'agit d'un régime théorique : d'un point de vue physique, il est la limite entre les deux autres cas et ne sera jamais observé car l'égalité ne sera jamais rigoureusement obtenue.
Conditions initiales : \( A = x_0 \) et \( B = v_0 + \omega_0 x_0 \)
Portrait de phase : La forme de trajectoire de phase dépend des conditions initiales. On constate que la trajectoire de phase tend très rapidement vers la position d'équilibre à l'origine des axes.
IV) Résonance Mécanique
1) Réponse d'un oscillateur mécanique amorti à une excitation sinusoïdale
Une particule élastiquement liée, de raideur \( k \) en mouvement rectiligne sur l'axe Ox, soumise à :
- Force des frottements fluide : \( \overrightarrow{f}_d = -\alpha\overrightarrow{v} \)
- Force excitatrice sinusoïdale : \( \overrightarrow{f}_e = F\cos(\omega t)\overrightarrow{e}_x \)
Application du PFD : \( m\ddot{x} = -kx - \alpha\dot{x} + F\cos(\omega t) \)
Équation différentielle du mouvement :
\( \ddot{x} + \frac{\alpha}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = \frac{F}{m}\cos(\omega t) \)
On pose : \( A = \frac{F}{m\omega_0^2} \) et \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
\( \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = A\omega_0^2\cos(\omega t) \)
2) Régime sinusoïdal forcé
En régime sinusoïdal forcé, la solution de l'équation différentielle s'écrit :
\( x(t) = X\cos(\omega t + \varphi) \)
Notation complexe
En notation complexe : \( \underline{x}(t) = \underline{X}\exp(j\omega t) \) avec \( \underline{X} = X\exp(j\varphi) \)
L'équation différentielle devient :
\( \left(-\omega^2 + j\omega\frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2\right)\underline{X} = A\omega_0^2 \)
On pose \( u = \frac{\omega}{\omega_0} \) :
\( \underline{X} = \frac{A}{1 - u^2 + j\frac{u}{Q}} \)
Module et argument :
\( X = |\underline{X}| = \frac{A}{\sqrt{(1 - u^2)^2 + \left(\frac{u}{Q}\right)^2}} \)
\( \tan\varphi = -\frac{u}{Q(1 - u^2)} \)
3) Résonance en élongation
a) Définition
Il y a résonance en élongation lorsque \( X \) passe par un maximum.
Condition : \( Q \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Si \( Q \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \) :
Résonance à \( \omega_r = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} \)
\( X_{\max} = \frac{AQ}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} \)
Si \( Q \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \) :
Absence de résonance
\( X_{\max} = A \)
Pour amortissements très faibles (\( Q \gg 1 \)) : \( \omega \approx \omega_0 \) et \( X_{\max} \approx AQ \)
b) Bande passante
La bande passante est le domaine de fréquences pour lesquelles \( X \geq \frac{X_{\max}}{\sqrt{2}} \)
Pour \( Q \gg 1 \) :
\( \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 \approx \frac{\omega_0}{Q} \)
Ce qui fournit une autre définition du facteur de qualité : \( Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \)
c) Déphasage
Basses fréquences
\( \omega \ll \omega_0 \) (\( u \ll 1 \))
\( \varphi = 0 \)
Résonance
\( \omega = \omega_0 \) (\( u = 1 \))
\( \varphi = -\frac{\pi}{2} \)
Hautes fréquences
\( \omega \gg \omega_0 \) (\( u \gg 1 \))
\( \varphi = \pi \)
4) Résonance en vitesse
a) Définition
En représentation complexe : \( \underline{v} = \underline{V}\exp(j\omega t) \) avec \( \underline{V} = V\exp(j\Psi) \)
Amplitude de la vitesse :
\( V = |\underline{V}| = \frac{Q\omega_0 A}{\sqrt{1 + Q^2\left(u - \frac{1}{u}\right)^2}} \)
\( \omega \ll \omega_0 \)
\( V \to 0 \)
\( \omega = \omega_0 \)
\( V_{\max} = Q\omega_0 A \)
\( \omega \gg \omega_0 \)
\( V \to 0 \)
Remarque : La réponse en vitesse effectue un filtrage passe-bande, avec une résonance lorsque \( \omega = \omega_0 \) (fréquence excitatrice = fréquence de l'oscillateur).
b) Bande passante
Bande passante en vitesse :
\( \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} \)
Dans le cas de la résonance en vitesse, le facteur de qualité s'exprime aussi par \( Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \)