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interférence entre deux ondes

CPGE - MP |                             |Mtk.med1@gmail.com

Amplitude résultante de l'interférence

de deux ondes d'amplitudes \(A_1\) et \(A_2\)

déphasées de \(\Delta\varphi\)

Énoncé

Soient deux ondes sinusoïdales de même fréquence angulaire \(\omega\), d'amplitudes \(A_1\) et \(A_2\), et de phases initiales \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) :

\[ y_1(t) = A_1 \cos(\omega t + \phi_1) \quad \text{et} \quad y_2(t) = A_2 \cos(\omega t + \phi_2) \]

On cherche l'amplitude \(A\) de l'onde résultante \(y(t) = y_1(t) + y_2(t)\).

interférence entre deux ondes

Démonstration

Méthode 1 : Utilisation des nombres complexes

Étape 1. Représentation complexe
On représente chaque onde par un nombre complexe (méthode de Fresnel ou des phaseurs).

L'onde \(y_1(t)\) peut s'écrire comme la partie réelle de :

\[ y_1(t) = A_1 e^{i(\omega t + \phi_1)} \]

et l'onde \(y_2(t)\) comme :

\[ y_2(t) = A_2 e^{i(\omega t + \phi_2)} \]

La somme complexe est :

\[ y(t) = y_1(t) + y_2(t) = e^{i\omega t} (A_1 e^{i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2}) \]

Étape 2. Amplitude complexe totale
On définit l'amplitude complexe totale :

\[ \underline{A} = A_1 e^{i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2} \]

Le module au carré de cette somme est :

\[ |\underline{A}|^2 = \underline{A} \cdot \underline{A}^* \]

où \(\underline{A}^* = A_1 e^{-i\phi_1} + A_2 e^{-i\phi_2}\) est le complexe conjugué.

Étape 3. Calcul du module

\[ \begin{align*} |\underline{A}|^2 &= (A_1 e^{i\phi_1} + A_2 e^{i\phi_2})(A_1 e^{-i\phi_1} + A_2 e^{-i\phi_2}) \\ &= A_1^2 e^{i\phi_1} e^{-i\phi_1} + A_2^2 e^{i\phi_2} e^{-i\phi_2} + A_1 A_2 e^{i\phi_1} e^{-i\phi_2} + A_1 A_2 e^{i\phi_{2}} e^{-i\phi_1} \\ &= A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2 e^{i(\phi_1 - \phi_2)} + A_1 A_2 e^{i(\phi_2 - \phi_1)} \end{align*} \]

Or, \(e^{i(\phi_1 - \phi_2)} + e^{i(\phi_2 - \phi_1)} = 2 \cos(\phi_1 - \phi_2)\).

Avec \(\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1\), on a \(\phi_1 - \phi_2 = -\Delta\phi\) et \(\cos(-\Delta\phi) = \cos(\Delta\phi)\).

Donc :

\[ |\underline{A}|^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi) \]

Étape 4. Amplitude résultante
L'amplitude résultante est le module de \(\underline{A}\) :

\[ \boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}} \]

Méthode 2 : Utilisation directe de la trigonométrie

Étape 1. Forme recherchée
On cherche à écrire \(y(t) = y_1(t) + y_2(t)\) sous la forme :

\[ y(t) = A \cos(\omega t + \Phi) \]

où \(A\) est l'amplitude recherchée et \(\Phi\) une phase quelconque.

Étape 2. Développement trigonométrique

\[ \begin{align*} y(t) &= A_1 \cos(\omega t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega t + \phi_2) \\ &= A_1 [\cos \omega t \cos \phi_1 - \sin \omega t \sin \phi_1] + A_2 [\cos \omega t \cos \phi_2 - \sin \omega t \sin \phi_2] \\ &= \cos \omega t (A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2) - \sin \omega t (A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2) \end{align*} \]

Posons :

\[ X = A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2 \quad \text{et} \quad Y = A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2 \]

Alors :

\[ y(t) = X \cos \omega t - Y \sin \omega t \]

Étape 3. Identification
On sait que cette expression peut se mettre sous la forme \(A \cos(\omega t + \Phi)\) avec :

\[ A = \sqrt{X^2 + Y^2} \quad \text{et} \quad \tan \Phi = -\frac{Y}{X} \]

Étape 4. Calcul de \(X^2 + Y^2\)

\[ \begin{align*} X^2 + Y^2 &= (A_1 \cos \phi_1 + A_2 \cos \phi_2)^2 + (A_1 \sin \phi_1 + A_2 \sin \phi_2)^2 \\ &= A_1^2 \cos^2 \phi_1 + 2A_1A_2 \cos \phi_1 \cos \phi_2 + A_2^2 \cos^2 \phi_2 \\ &\quad + A_1^2 \sin^2 \phi_1 + 2A_1A_2 \sin \phi_1 \sin \phi_2 + A_2^2 \sin^2 \phi_2 \\ &= A_1^2 (\cos^2 \phi_1 + \sin^2 \phi_1) + A_2^2 (\cos^2 \phi_2 + \sin^2 \phi_2) \\ &\quad + 2A_1A_2 (\cos \phi_1 \cos \phi_2 + \sin \phi_1 \sin \phi_2) \\ &= A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos (\phi_1 - \phi_2) \end{align*} \]

Avec \(\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1\), on a \(\phi_1 - \phi_2 = -\Delta\phi\) et \(\cos(-\Delta\phi) = \cos(\Delta\phi)\).

Étape 5. Résultat final
Donc :

\[ \boxed{A = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}} \]

Cas particuliers importants

Cas 1. Interférences constructives (\(\Delta\varphi = 2n\pi\), \(n \in \mathbb{Z}\))

\[ \cos(\Delta\phi) = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} = \sqrt{(A_1 + A_2)^2} = A_1 + A_2 \]

Cas 2. Interférences destructives (\(\Delta\varphi = (2n + 1)\pi\), \(n \in \mathbb{Z}\))

\[ \cos(\Delta\phi) = -1 \quad \Rightarrow \quad A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2} = \sqrt{(A_1 - A_2)^2} = |A_1 - A_2| \]

Cas 3. Ondes en quadrature (\(\Delta\varphi = \pi/2 + n\pi\))

\[ \cos(\Delta\phi) = 0 \quad \Rightarrow \quad A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \]

Conclusion

L'amplitude résultante de l'interférence de deux ondes d'amplitudes \(A_1\) et \(A_2\) déphasées de \(\Delta\varphi\) est bien :

\[ \boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}} \]

Cette formule générale permet de calculer l'intensité lumineuse résultante (\(I \propto A^2\)) dans les phénomènes d'interférence.

CPGE MPSI - Physique - Fiche de démonstration

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