Comparaison électron/proton de même énergie cinétique dans un champ magnétique uniforme

1. Comparaison des vitesses :
Pour la même énergie cinétique \( E_c = \frac{1}{2}mv^2 \) : \[ v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} \] Donc : \[ \frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} \approx \sqrt{\frac{1,67 \times 10^{-27}}{9,11 \times 10^{-31}}} \approx 42,8 \] L'électron est environ 43 fois plus rapide.

2. Comparaison des rayons de trajectoire :
Le rayon de la trajectoire circulaire est \( R = \frac{mv}{qB} \) : \[ \frac{R_e}{R_p} = \frac{m_e v_e}{m_p v_p} = \frac{m_e}{m_p} \times \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}} \approx 0,023 \] Le rayon de l'électron est environ 43 fois plus petit.

3. Comparaison des périodes :
La période est \( T = \frac{2\pi m}{qB} \) : \[ \frac{T_e}{T_p} = \frac{m_e}{m_p} \approx 5,5 \times 10^{-4} \] La période de l'électron est beaucoup plus courte.

1. Force subie par les électrons :
Le champ électrique entre les plaques est : \[ \vec{E} = -\frac{U}{d}\vec{u}_x \] La force électrostatique sur un électron \(q=-e\) est : \[ \vec{F}=q\vec{E}=(-e)\left(-\frac{U}{d}\vec{u}_x\right) = e\frac{U}{d}\vec{u}_x \]

2. Étude du mouvement
a) Équation de la trajectoire :
Dans le plan (xOz) : \[ m\ddot{x}=e\frac{U}{d},\quad m\ddot{z}=0 \] CI : \(x(0)=0,\dot{x}(0)=0,z(0)=0,\dot{z}(0)=V_0\) \[ x(t)=\frac{eU}{2md}t^2,\quad z(t)=V_0t \] \[ x(z)=\frac{eU}{2mdV_0^2}z^2 \] (trajectoire parabolique)

b) Point de sortie K :
Pour \(z_K=D\) : \[ x_K=\frac{eU}{2mdV_0^2}D^2 \] \[ v_x(K)=\frac{eUD}{mdV_0},\quad v_z(K)=V_0 \] \[ t_K=\frac{D}{V_0} \]

c) Hors des plaques :
Aucune force ⇒ mouvement rectiligne uniforme.

d) Abscisse du point d'impact P :

Dans le triangle \(O_eJP\) : \[ x_P=(JO_1+L)\tan\theta \]

\[ \tan\theta =\left(\frac{dx}{dz}\right)_K =\frac{v_x(K)}{v_z(K)} =\frac{eUD}{mdV_0^2} \]

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\[ JO_1=\frac{D}{2} \]

\[ x_P=\left(\frac{D}{2}+L\right) \frac{eD}{mdV_0^2}U \]

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Conclusion : La déviation est proportionnelle à \(U\).

Partie 1 - Canon à électrons :

1. Champ électrique :
\( U_{AC} = V_A - V_C > 0 \), donc le champ \( \vec{E} \) est dirigé de A vers C (vers les potentiels décroissants).

2. Force électrostatique :
\[ \vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E} = e\frac{U_{AC}}{d} \vec{e}_z \] où \( \vec{E} = -\frac{U_{AC}}{d} \vec{e}_z \)

3. Comparaison poids/force électrique :
Poids : \( P = mg = 9,1 \times 10^{-30} \, N \)
Force électrique : \( F = e\frac{U_{AC}}{d} = 1,6 \times 10^{-15} \, N \)
\( F/P \approx 1,8 \times 10^{14} \), donc le poids est négligeable.

4. Vitesse à l'anode :
Théorème de l'énergie cinétique entre C et A : \[ \frac{1}{2} m V_0^2 = e U_{AC} \Rightarrow V_0 = \sqrt{\frac{2e U_{AC}}{m}} \] A.N. : \( V_0 = 1,87 \times 10^7 \, m/s \)

Partie 2 - Déflexion :

5. Effet de \( U_Y \) :
La différence de potentiel \( U_Y > 0 \) crée un champ vertical qui dévie le faisceau dans le plan (yOz).

6. Force entre les plaques :
\[ \vec{F}' = e \frac{U_Y}{L_1} \vec{e}_y \]

7. Accélération :
\[ \vec{a} = \frac{e U_Y}{m_e L_1} \vec{e}_y \]

8. Équations du mouvement :
\[ \begin{cases} \ddot{x} = 0 \\ \ddot{y} = \frac{e U_Y}{m_e L_1} \\ \ddot{z} = 0 \end{cases} \]

9. Équations horaires :
Conditions initiales : \( x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0, \dot{x}(0)=0, \dot{y}(0)=0, \dot{z}(0)=V_0 \)
\[ \begin{cases} x(t) = 0 \\ y(t) = \frac{e U_Y}{2 m_e L_1} t^2 \\ z(t) = V_0 t \end{cases} \]

10. Équation de la trajectoire :
En éliminant \( t = \frac{z}{V_0} \) : \[ y(z) = \frac{e U_Y}{2 m_e L_1 V_0^2} z^2 \]

11. Sortie du système (point E) :
Pour \( z_E = L_2 \) : \[ y_E = \frac{e U_Y}{2 m_e L_1 V_0^2} L_2^2 \]

12. Pente à la sortie :
\[ p = \left(\frac{dy}{dz}\right)_{z=L_2} = \frac{e U_Y L_2}{m_e L_1 V_0^2} \]

13. Trajectoire après le système :
Aucune force n'agit sur l'électron, donc mouvement rectiligne uniforme.

14. Équation de la droite :
\[ y = p(z - L_2) + y_E = \frac{e U_Y L_2}{m_e L_1 V_0^2} z - \frac{e U_Y L_2^2}{2 m_e L_1 V_0^2} \]

Étude du confinement d'un électron dans un champ magnétique

1. Coordonnée z(t) :
Le champ magnétique n'a pas de composante selon Oz, donc : \[ m\ddot{z} = 0 \Rightarrow \dot{z} = V_{0z} \Rightarrow z(t) = V_{0z} t \]

2. Composantes \( v_x \) et \( v_y \) :
PFD dans le plan (xOy) : \[ \begin{cases} m\dot{v}_x = -e v_y B \\ m\dot{v}_y = e v_x B \end{cases} \] En posant \( \omega_c = \frac{eB}{m} \) : \[ \begin{cases} v_x(t) = V_{0x} \cos(\omega_c t) \\ v_y(t) = -V_{0x} \sin(\omega_c t) \end{cases} \]

3. Coordonnées x(t) et y(t) :
Par intégration : \[ \begin{cases} x(t) = \frac{V_{0x}}{\omega_c} \sin(\omega_c t) \\ y(t) = \frac{V_{0x}}{\omega_c} \cos(\omega_c t) - \frac{V_{0x}}{\omega_c} \end{cases} \]

4. Trajectoire dans le plan (xOy) :
En éliminant le temps : \[ x^2 + \left(y + \frac{V_{0x}}{\omega_c}\right)^2 = \left(\frac{V_{0x}}{\omega_c}\right)^2 \] C'est un cercle de centre \( H(0, -\frac{V_{0x}}{\omega_c}) \) et de rayon \( R = \frac{V_{0x}}{\omega_c} \).

5. Fréquence de révolution :
\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{eB}{2\pi m} \] A.N. pour B = 1,0 T : \( f_c \approx 2,8 \times 10^{10} \, Hz \)

6. Trajectoire dans l'espace :
L'électron décrit une hélice circulaire d'axe Oz. Il n'est pas confiné au voisinage de O car il se déplace selon Oz.

A) Mouvement dans les Dees

1. Mouvement uniforme :
La puissance de la force magnétique est nulle : \( P = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0 \)
Donc l'énergie cinétique est constante ⇒ mouvement uniforme.

2. Vecteurs vitesse et force :
• Au point M₁ : \( \vec{v} \) tangent au cercle, \( \vec{F}_m \) centripète dirigée vers le centre.
• Au point M₂ : même configuration.

3. Équations différentielles :
\[ \begin{cases} \dot{v}_x = \omega_c v_y \\ \dot{v}_y = -\omega_c v_x \end{cases} \] avec \( \omega_c = \frac{eB}{m} \)

4. Trajectoire circulaire :
Solution des équations : \[ v_x = V \sin(\omega_c t + \phi), \quad v_y = V \cos(\omega_c t + \phi) \] Intégration donne : \( x^2 + y^2 = R^2 \) avec \( R = \frac{mV}{eB} \)

5. Distance parcourue :
Pour le n-ième demi-tour : \( d_n = \pi R_n \)

6. Durée dans un Dee :
\[ \Delta t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{eB} \] Indépendante de la vitesse.

B) Mouvement entre les Dees

7. Champ électrique entre les Dees :
• Pour A₀→A : \( \vec{E} \) dirigé de Dee2 vers Dee1 (u > 0)
• Pour B→C : \( \vec{E} \) dirigé de Dee1 vers Dee2 (u < 0)
Le proton est toujours accéléré.

8. Période de la tension :
La période doit être égale au temps pour un tour complet : \[ T = 2\Delta t = \frac{2\pi m}{eB} \]

9. Fréquence :
\[ f = \frac{1}{T} = \frac{eB}{2\pi m} \] C'est la fréquence cyclotron.