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Correction de l'exercice 1 (Oscillateur harmonique)

CPGE - MP | Physique |Mtk.med1@gmail.com

TD5 : Oscillateur harmonique amorti

Correction détaillée de l'exercice 1 - Pendule simple

Étude d'un pendule simple avec frottements fluides

Données du problème

  • Masse : \(m = 470 \text{ g} = 0,47 \text{ kg}\)
  • Longueur du fil : \(l\) (inconnue, à déterminer)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9,8 \text{ m.s}^{-2}\)
  • Angle initial : \(\theta_0\) à \(t = 0\) (vitesse initiale nulle)
  • Force de frottement : \(\vec{f} = -\alpha \vec{v}\) avec \(\alpha > 0\)

1. Équation différentielle du mouvement

Bilan des forces et projection

Étape 1. Bilan des forces
Forces appliquées au point M :

  • Poids : \(\vec{P} = m\vec{g} = mg\vec{i}\)
  • Tension du fil : \(\vec{T}\) (dirigée selon \(-\vec{OM}\))
  • Frottement fluide : \(\vec{f} = -\alpha \vec{v}\)

Étape 2. Projection en coordonnées polaires
Base polaire \((\vec{e}_r, \vec{e}_{\theta})\) :

\[ \begin{align*} \vec{OM} &= l\vec{e}_r \\ \vec{v} &= l\dot{\theta}\vec{e}_{\theta} \\ \vec{a} &= -l\dot{\theta}^2\vec{e}_r + l\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta} \end{align*} \]

Étape 3. Application du principe fondamental de la dynamique

\[ m\vec{a} = \vec{P} + \vec{T} + \vec{f} \]

Projection selon \(\vec{e}_{\theta}\) :

\[ ml\ddot{\theta} = -mg\sin\theta - \alpha l\dot{\theta} \]

Étape 4. Équation pour les petits angles
Approximation des petits angles : \(\sin\theta \approx \theta\)

\[ \ddot{\theta} + \frac{\alpha}{m}\dot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0 \]

En posant :

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \quad \text{et} \quad \tau = \frac{2m}{\alpha} \]

On obtient la forme canonique :

\[ \boxed{\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{2}{\tau}\frac{d\theta}{dt} + \omega_0^2\theta = 0} \]

2. Condition pour un régime pseudo-périodique

L'équation caractéristique associée est :

\[ r^2 + \frac{2}{\tau}r + \omega_0^2 = 0 \]

Le discriminant réduit est :

\[ \Delta' = \left(\frac{1}{\tau}\right)^2 - \omega_0^2 \]

Pour avoir un régime pseudo-périodique (oscillations amorties), il faut \(\Delta' < 0\), soit :

\[ \boxed{\frac{1}{\tau} < \omega_0 \quad \text{ou} \quad \tau > \frac{1}{\omega_0}} \]

Cette condition correspond à un amortissement faible.

3. Pseudo-période \(T\) et signification de \(\tau\)

Dans le régime pseudo-périodique, la solution s'écrit :

\[ \theta(t) = \theta_0 e^{-t/\tau} \cos(\omega t + \varphi) \] avec \(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{1}{\tau^2}}\)

La pseudo-période est :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{1}{\tau^2}}} \]
\[ \boxed{T = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{1}{\tau^2}}}} \]

Signification de \(\tau\) : Le temps \(\tau\) représente le temps de relaxation. C'est le temps au bout duquel l'amplitude des oscillations est divisée par \(e \approx 2,718\).

4. Décrément logarithmique \(\delta\)

Le décrément logarithmique est défini par :

\[ \delta = \ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(t+T)}\right) \]

Avec \(\theta(t) = \theta_0 e^{-t/\tau} \cos(\omega t + \varphi)\), on obtient :

\[ \frac{\theta(t)}{\theta(t+T)} = \frac{e^{-t/\tau}}{e^{-(t+T)/\tau}} = e^{T/\tau} \]

Donc :

\[ \boxed{\delta = \frac{T}{\tau}} \]

5. Calculs numériques

Données expérimentales

Point A B C D
\(t\) (s) 0,53 1,10 2,20 8,25
\(\theta\) (°) 0,00 8,95 8,02 0,00

a) Calcul de la pseudo-période \(T\)

Entre les points B et C : \(t_C - t_B = 2,20 - 1,10 = 1,10 \text{ s}\)

Les points B et C correspondent à deux maxima successifs :

  • En B : \(\theta_B = 8,95^\circ\) (maximum)
  • En C : \(\theta_C = 8,02^\circ\) (maximum suivant)

Donc :

\[ \boxed{T \approx 1,10 \text{ s}} \]

b) Calcul du décrément logarithmique \(\delta\)

\[ \delta = \ln\left(\frac{\theta_B}{\theta_C}\right) = \ln\left(\frac{8,95}{8,02}\right) = \ln(1,116) \]

\[ \boxed{\delta \approx 0,109} \]

c) Calcul du temps \(\tau\)

D'après la relation \(\delta = \frac{T}{\tau}\) :

\[ \tau = \frac{T}{\delta} = \frac{1,10}{0,109} \]
\[ \boxed{\tau \approx 10,1 \text{ s}} \]

d) Calcul de la constante \(\alpha\)

D'après la définition \(\tau = \frac{2m}{\alpha}\) :

\[ \alpha = \frac{2m}{\tau} = \frac{2 \times 0,47}{10,1} \]
\[ \boxed{\alpha \approx 0,093 \text{ kg.s}^{-1}} \]

e) Calcul de la pulsation propre \(\omega_0\)

Calcul de la période sans amortissement \(T_0\) :

\[ T_0 = \frac{T}{\sqrt{1 - \left(\frac{T}{2\pi\tau}\right)^2}} \] \[ \frac{T}{2\pi\tau} = \frac{1,10}{2\pi \times 10,1} \approx 0,0173 \] \[ T_0 \approx \frac{1,10}{\sqrt{1 - 0,0173^2}} \approx 1,100 \text{ s} \]

Pulsation propre :

\[ \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} \approx \frac{2\pi}{1,100} \]
\[ \boxed{\omega_0 \approx 5,71 \text{ rad.s}^{-1}} \]

Longueur du fil :

\[ l = \frac{g}{\omega_0^2} = \frac{9,8}{5,71^2} \] \[ \boxed{l \approx 0,301 \text{ m}} \]

6. Trajectoire de phase

Avec frottement :

\[ \theta(t) = \theta_0 e^{-t/\tau} \cos(\omega t) \] \[ \dot{\theta}(t) = -\theta_0 e^{-t/\tau} \left[\frac{1}{\tau}\cos(\omega t) + \omega\sin(\omega t)\right] \]

La trajectoire de phase est une spirale qui converge vers l'origine.

Sans frottement :

\[ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t) \] \[ \dot{\theta}(t) = -\theta_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t) \]

C'est une ellipse d'équation :

\[ \left(\frac{\theta}{\theta_0}\right)^2 + \left(\frac{\dot{\theta}}{\theta_0\omega_0}\right)^2 = 1 \]

Description : La trajectoire avec frottement (spirale) converge vers l'origine \((0,0)\), tandis que la trajectoire sans frottement (ellipse) reste une courbe fermée.

Portrait de phase

Conclusion

Cette étude du pendule simple amorti a permis de :

  • Établir l'équation différentielle du mouvement pour les petits angles
  • Déterminer la condition d'existence d'un régime pseudo-périodique
  • Exprimer la pseudo-période et le décrément logarithmique
  • Effectuer des calculs numériques à partir de données expérimentales
  • Décrire la trajectoire de phase avec et sans frottement

Cette correction illustre parfaitement la méthode d'étude d'un oscillateur harmonique amorti, essentielle en physique des oscillations.

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Correction détaillée de l'exercice 1 - Pendule simple amorti

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