Systèmes Optiques Centrés : Stigmatisme, Miroirs Sphériques et Lentilles Minces
Guide complet sur les systèmes optiques centrés : découvrez les principes fondamentaux du stigmatisme rigoureux et approché, l'étude des miroirs sphériques, des lentilles minces, et les formules de conjugaison essentielles en optique géométrique. Cet article détaillé couvre tous les concepts clés pour comprendre la formation des images et le comportement de la lumière.
I) Généralités sur les Systèmes Optiques
1) Classification des systèmes optiques
Système optique dioptrique : ne contenant que des dioptres (surfaces de séparation entre deux milieux transparents).
Système optique catoptrique : ne contenant que des miroirs.
Système optique catadioptrique : contenant à la fois des dioptres et des miroirs.
2) Système optique centré
C’est un système optique admettant un axe de symétrie de révolution appelé axe optique principal.
3) Stigmatisme rigoureux : définition et exemples
Un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points (A, A') si tout rayon issu de A et traversant le système optique passe exactement par A'. Ce concept est essentiel pour la formation d'images parfaites.
\( A \xrightarrow{S.O.} A' \)
En appliquant le principe de retour inverse de la lumière, si on inverse le sens de propagation, A devient l'image de A' par le même système optique.
Exemple : miroir plan
Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point de l’espace.
4) Aplanétisme
Un (S.O) centré est aplanétique si tout objet perpendiculaire à l’axe optique admet une image perpendiculaire à l’axe optique.
5) Stigmatisme approché
— À l’exception du miroir plan, la réalisation du stigmatisme rigoureux pour tous points de l’espace est très difficile dans la pratique.
— Un (S.O) est approximativement stigmatique pour un couple du point (A, A’), si tous rayons issus de A sortent du (S.O) en passant près de A’. (A’ est donc une petite tache).
— Les récepteurs usuels (œil, plaque photographique, barrette CCD…) perçoivent A’ comme une petite tâche. L’effet du stigmatisme approché est donc identique à celui du stigmatisme rigoureux vis-à-vis de la netteté de l’image.
6) Types d'objets et d'images en optique géométrique
a) Objet réel (A)
Les rayons lumineux proviennent effectivement de A. C'est le cas le plus courant dans les applications pratiques (objets physiques éclairés).
b) Objet virtuel (A)
Les rayons lumineux ne passent pas réellement par A, mais semblent converger en A. Situation fréquente dans les systèmes optiques complexes.
c) Image réelle (A')
Après passage par le système optique, les rayons lumineux convergent effectivement en A'. On peut projeter cette image sur un écran.
d) Image virtuelle (A')
Les rayons lumineux ne proviennent pas effectivement de A', mais semblent diverger à partir de A'. C'est le cas des images vues dans un miroir.
7) Foyers d'un système optique
a) Foyer objet principal (F)
Point de l'axe optique principal dont l'image est rejetée à l'infini par le système optique.
\( F \xrightarrow{S.O.} \infty \)
F peut être réel ou virtuel selon la nature du système optique.
b) Foyer image principal (F')
Point de l'axe optique principal dont l'objet est à l'infini.
\( \infty \xrightarrow{S.O.} F' \)
c) Plans focaux
- Plan focal objet : plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F.
- Plan focal image : plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F'.
Ces plans sont essentiels pour comprendre le comportement des rayons lumineux hors axe.
d) Foyers secondaires
- Foyer secondaire objet : Point appartenant au plan focal objet, différent de F.
- Foyer secondaire image : Point appartenant au plan focal image, différent de F’.
e) Système optique afocal : cas particulier
Lorsque les foyers objet et image d'un système optique sont rejetés à l'infini, le système est dit afocal. Dans ce cas particulier, F et F' sont conjugués par le système optique. Exemple : les lunettes astronomiques.
8) Caractéristiques d’un système optique
Considérons un S.O centré de centre O, et A’ l’image de A par le système optique.
• La relation de conjugaison : C'est la relation liant la position de l’objet à la position de l’image.
• Le grandissement : est une grandeur caractérisant le système et qui quantifie l’effet du système sur l’objet. On distingue entre trois types de grandissement :
1/ Grandissement transversal défini par : \[ \gamma_t = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} \]
2/ Grandissement longitudinal défini par : \[ \gamma_L = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]
3/ Grandissement angulaire (Grossissement) défini par : \[ \gamma_\alpha = \frac{\alpha'}{\alpha} \]
Avec \(\alpha\) la taille angulaire de l’objet et \(\alpha'\) la taille angulaire de l’image.
Pour caractériser l’image obtenue par rapport à l’objet, on utilise le tableau suivant :
| Image | Droite | Inversée | Agrandie | Rétrécie |
|---|---|---|---|---|
| \(\gamma_t\) | \(>0\) | \(<0\) | \(>1\) | \(<1\) |
| \(\gamma_L\) | – | – | – | – |
| \(\gamma_\alpha\) | \(<0\) | \(>0\) | – | – |
II) Miroirs Sphériques : Théorie et Applications
1) Définition et types de miroirs sphériques
Un miroir sphérique est une surface réfléchissante de centre C, de sommet S et de rayon \( R = SC \).
Types de miroirs sphériques :
- Miroir sphérique concave : la surface réfléchissante est à l'intérieur de la sphère. Ces miroirs sont convergents.
- Miroir sphérique convexe : la surface réfléchissante est à l'extérieur de la sphère. Ces miroirs sont divergents.
📐 Approximation importante : Dans l'approximation de Gauss, les miroirs sont utilisés au voisinage de leurs sommets. On peut alors les confondre avec leur plan tangent, ce qui simplifie considérablement les calculs.
2) Stigmatisme des miroirs sphériques
a) Stigmatisme rigoureux
Pour un miroir sphérique, il y a stigmatisme rigoureux uniquement pour le centre C et le sommet S. Pour tous les autres points, on doit se contenter du stigmatisme approché.
b) Stigmatisme approché
Pour les points distincts de S et C, il y a stigmatisme approché si on travaille dans les conditions de Gauss. C'est le cas d'utilisation normal des miroirs sphériques en pratique.
3) Formules de conjugaison
a) Formule de conjugaison avec origine au sommet
\( \frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{2}{R} \)
Cette formule fondamentale relie les positions de l'objet A et de son image A' par rapport au sommet S du miroir.
b) Foyers principaux objet et image
✳️ d'après la relation précédente :
si \( A' \equiv \infty \) ⟹ \( A \equiv F \) ⟹ foyer principal objet : \( f = \overline{SF} = \dfrac{\overline{SC}}{2} \)
si \( A \equiv \infty \) ⟹ \( A' \equiv F' \) ⟹ foyer principal image : \( f' = \overline{SF'} = \dfrac{\overline{SC}}{2} \)
📘 donc : pour les miroirs sphériques :
\( F \equiv F' \) et \( f = f' = \dfrac{\overline{SC}}{2} \)
Nature des foyers
Pour un miroir sphérique, les foyers objet \(F\) et image \(F'\) sont confondus. Leur position est donnée par la formule ci-dessus. Selon le type de miroir, ils peuvent être réels ou virtuels.
\( \overline{SF} = \overline{SF'} = \frac{R}{2} \)
- ✔️ \(F\) et \(F'\) sont réels pour un miroir concave (convergent).
- ✔️ \(F\) et \(F'\) sont virtuels pour un miroir convexe (divergent).
c) Vergence
\( V = \frac{1}{f'} \quad (\text{s'exprime en dioptrie } \text{m}^{-1}) \)
- Si \( V < 0 \) : le miroir est convergent "concave".
- Si \( V > 0 \) : le miroir est divergent "convexe".
d) Construction géométrique
e) Formule de conjugaison avec origine au centre
\( \frac{2}{\overline{CS}} = \frac{1}{\overline{CA}} + \frac{1}{\overline{CA'}} \)
f) Formule de conjugaison avec origine au foyer : Formule de Newton
\( \overline{FA'} \cdot \overline{FA} = \overline{SF'} \cdot \overline{SF} = \overline{SF'}^2 = f^2 = f'^2 \)
g) Grandissement transversal avec origine au centre
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}} = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} \)
Le grandissement γ indique si l'image est agrandie (|γ| > 1) ou réduite (|γ| < 1), et si elle est droite (γ > 0) ou renversée (γ < 0).
h) Grandissement transversal avec origine aux foyers
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{FA'}}{f'} = -\frac{f'}{\overline{FA}} \)
4) Miroir plan : cas particulier important
Un miroir plan peut être considéré comme un miroir sphérique dont le rayon de courbure \( R = SC \to \infty \). C'est le système optique le plus simple et le plus courant.
a) Relation de conjugaison du miroir plan
D'après la formule des miroirs sphériques avec \( R \to \infty \) :
\( \overline{SA'} = -\overline{SA} \)
A et A' sont symétriques par rapport au miroir. L'image est virtuelle, droite et de même taille que l'objet.
b) Grandissement transversal du miroir plan
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = 1 \)
L'image formée par un miroir plan est toujours droite (γ = 1) et de même taille que l'objet. C'est la seule caractéristique optique où l'image est parfaite.
III) Lentilles sphériques minces
1) Définition
Une lentille est un milieu transparent d’indice n limitée par deux dioptres sphériques.
Remarque : Une lentille est dite mince lorsque son épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure des deux dioptres. Dans ce cas, les sommets \(S_1\) et \(S_2\) sont confondus en un point unique \(O\) appelé centre optique.
2) Foyers principaux
Pour une lentille mince, le foyer principal objet (F) et le foyer principal image (F’) sont symétriques par rapport au centre optique de la lentille :
\( \overline{OF} = -\overline{OF'} \)
Distance focale objet : \( f = \overline{OF} \)
Distance focale image : \( f' = \overline{OF'} \)
\( f = -f' \)
Vergence :
\( V = \frac{1}{f'} = -\frac{1}{f} \)
3) Formules de conjugaison
Les deux triangles \(AOB\) et \(A'O'B'\) sont semblables :
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \)
Les deux triangles \(AFB\) et \(FOI\) sont semblables :
\( \frac{\overline{OI}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{OF}}{\overline{FA}} = -\frac{f}{\overline{FA}} = \frac{f'}{\overline{FA}} \)
De (1) et (2), on obtient :
\( \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{f'}{\overline{FA}} = \frac{f'}{f' + \overline{OA}} \)
D'où :
\( \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \)
Les deux triangles \(AFB\) et \(FOI\) sont semblables :
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OI}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{OF}}{\overline{FA}} = -\frac{f}{\overline{FA}} \)
Les deux triangles \(A'F'B'\) et \(F'OJ\) sont semblables :
\( \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{OJ}} = -\frac{\overline{F'A'}}{\overline{OF'}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} \)
De (3) et (4), on déduit :
\( \overline{F'A'} \cdot \overline{FA} = f \cdot f' = -f^{2} \) (Formule de Newton)