Correction de l'accélération et de la réaction au point C
Dans votre texte : Il y a plusieurs erreurs de notation et de calcul dans l'expression de l'accélération.
Correction de l'accélération au point C :
En coordonnées polaires \((r_1, \theta_1)\), l'accélération s'écrit :
\[ \overrightarrow{a} = (\ddot{r}_1 - r_1\dot{\theta}_1^2) \overrightarrow{e}_{r_1} + (r_1\ddot{\theta}_1 + 2\dot{r}_1\dot{\theta}_1) \overrightarrow{e}_{\theta_1} \]
Au point C, on a :
- \( r_1 = \text{constant} \) ⇒ \( \dot{r}_1 = 0 \) et \( \ddot{r}_1 = 0 \)
- Point de rebroussement ⇒ \( \ddot{\theta}_1 = 0 \)
\[ \Rightarrow \overrightarrow{a}_c = -r_1 \dot{\theta}_1^2 \overrightarrow{e}_{r_1} \]
Avec \( v_c = r_1 \dot{\theta}_1 \) ⇒ \( \dot{\theta}_1^2 = \frac{v_c^2}{r_1^2} \)
\[ \Rightarrow \overrightarrow{a}_c = -\frac{v_c^2}{r_1} \overrightarrow{e}_{r_1} \]
Correction de votre expression :
\( \vec{a}_c = \vec{r} \cdot \vec{v}_c \) ⇒ \( \overrightarrow{a}_c = -\dfrac{v_c^2}{r_1} \overrightarrow{e}_{r_1} \)
Projection du PFD sur \( \overrightarrow{e}_{r_1} \) :
\[ m \overrightarrow{a}_c = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R}_c \]
\[ -m\frac{v_c^2}{r_1} \overrightarrow{e}_{r_1} = -mg \overrightarrow{e}_{r_1} + R_c \overrightarrow{e}_{r_1} \]
En projetant sur \( \overrightarrow{e}_{r_1} \) :
\[ -m\frac{v_c^2}{r_1} = -mg + R_c \]
\[ \Rightarrow R_c = mg - m\frac{v_c^2}{r_1} \]
Expression correcte de la réaction : \[ \boxed{R_c = mg - m\frac{v_c^2}{r_1}} \]
Corrections des erreurs dans votre texte :
\( \vec{a}_c = \vec{r} \cdot \vec{v}_c \)⇒ Cette expression n'a pas de sens physique\( \vec{a}_c = r_1 \vec{e}_1 \cdot \vec{u}_{r_1} \)⇒ Produit scalaire inapproprié\( \vec{a}_c = r_1 \vec{e}_2 \cdot \vec{u}_{r_1} - r_2 \vec{e}_2 \cdot \vec{u}_{r_2} \)⇒ Confusion de notations\( \vec{a}_c = m \frac{2 \vec{e}_2}{r_1} - m g + R_c \)⇒ Mélange d'accélération et de forces
Utilisation du TEC pour trouver \( v_c^2 \) :
Application du Théorème de l'Énergie Cinétique entre le point de départ A et le point C :
\[ \frac{1}{2} m v_c^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = W(\overrightarrow{P}) \]
Si \( v_A = 0 \) (départ sans vitesse) :
\[ \frac{1}{2} m v_c^2 = mg(h_A - h_C) \]
\[ \Rightarrow v_c^2 = 2g(h_A - h_C) \]
Expression finale de \( R_c \) en fonction des hauteurs :
\[ R_c = mg - m\frac{2g(h_A - h_C)}{r_1} \]
\[ R_c = mg \left( 1 - \frac{2(h_A - h_C)}{r_1} \right) \]
Condition de non-décolllement \( R_c > 0 \) : \[ 1 - \frac{2(h_A - h_C)}{r_1} > 0 \] \[ \Rightarrow \boxed{h_A - h_C < \frac{r_1}{2}} \]