1) Calculez la fonction de transfert H = V_ₛ/Vₑ. Posez : f₁ = μ₀·f₀ et f₂ = 1/2πRC.

2) En se plaçant dans le cas où R >> R’, f2 >> f0 et μ0 >> 1. Montrez que H s'écrit : \( \underline{H} = \frac{Ajx}{1 + j\frac{x}{Q} - x^2} \)

Avec : \[ x = \frac{f}{f_c}, \quad A = \frac{f_c}{f_2}, \quad f_c = \sqrt{f_1 f_2} \quad \text{et} \quad Q = \frac{1}{f_c\left(\frac{R'}{R f_2} + \frac{1}{f_1}\right)} \]

3) Calculez \( f_c \) , Q et A

4) Construisez le diagramme de Bode asymptotique GdB en fonction de log(x).

5) Interprétez le fait que le montage n’est pas dérivateur aux fréquences voisines de 10 kHz. Commentez.

1) Etablir la fonction de transfert de ce montage T.

2) Quelle valeur doit-on donner à \( R_2 \) pour que le gain soit indépendant de la pulsation ω sachant que \( R_1 \) = 1 kΩ ? Donner la valeur de ce gain dans ces conditions dans lesquelles on se placera dans la suite.

3) On note φ le déphasage entre s et e. Déterminer l'expression de \( \tan\frac{\varphi}{2} \).

4) Quelle valeur de r pour φ = -π/2 ? sachant que ω = 1000 rad.s−1 et C = 1 μF ?

5) Calculer dans ces conditions l’impédance d’entrée du circuit

1) Déterminer qualitativement la nature du filtre

2) Etablire la fonction de transfert du filtre \( \underline{H} = \dfrac{\underline{V_{s}}}{\underline{V_{e}}} \) La mettre sous la forme canonique en précisant les expressions de \( H_0 \) , \( ω_0 \) et Q. .

3) On branche la sortie du filtre à un amplificateur opérationnel idéal (Figure 2), Déterminer la fonction de transfert totale \( \underline{H'} = \dfrac{\underline{V'_{s}}}{\underline{V_{e}}} \).

4) On relie maintenant l’entrée et la sortie du filtre global :

• Construire le schéma correspondant
• A l’aide de l’expression de H’, établir l’équation différentielle vérifier par la tension \( V_e \), en fonction de \( H_0 \), \( ω_0 \), Q, \( R_1 \) et \( R_2 \).
• En déduire que sous certaines conditions qu’en explicitera portant sur les paramètres de \( R_1 \) et \( R_2 \), il peut exister dans le circuit une tension Ve sinusoïdale à la pulsation ω. On précisera l’expression de ω en fonction de \( L_0 \) et \( C_0 \)

1) Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme : \( \underline{H} = \frac{\underline{v_2}}{\underline{v_1}} = \frac{H_0}{1 + 2jmx - x^2} \)

Avec \( x = \frac{\omega}{\omega_0} \). On précisera les valeurs de H₀, m, ω₀. en fonction de R, \( C_1 \) et \( C_2 \).

2) On applique à l’entrée une tension constante à t > 0 : \( V_1 \)(t) = \( E_0 \). Les deux condensateurs étant déchargés à l’instant t = 0, déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit \( v_2 \)(t).

Calculer \( v_2 \)(0+) et \( v_2 \)(∞) , valeur de la tension de sortie en régime permanent.

3) On veut obtenir m = √2/2 , Calculer la valeur qu’il faut donner à \( C_2 \) sachant que \( C_1 \) =10 nF..

On veut faire varier f₀ entre : 1 kHz et 4 kHz. Entre quelles limites doit-on choisir R ?

4) On choisit R pour obtenir un filtre de fréquence f₀ = 2 kHz. Donner le diagramme de Bode asymptotique.

5) Le circuit peut-il être utilisé en circuit dérivateur ? en circuit intégrateur ?

6) On envoie à l’entrée un signal de fréquence f =1,5 kHz. Le signal est donné par v₁(t) = a cos(2πft). Donner sans calcul le signal \( v_2 \) observé en sortie.

La valeur de la tension v₀ > 0 est arbitraire et telle que :

• Si vₛ = +vₛₐₜ → alors le réverbère est allumé
• Si vₛ = -vₛₐₜ → alors le réverbère est éteint

1) Tracer la caractéristique de transfert vₛ = f(vₑ) de l’amplificateur opérationnel. A quelle heure de la journée s’effectue le basculement ?

2) Que se passe-t-il si les phares d’une voiture éclairent le capteur la nuit ?

3) Pour éviter ces inconvénients, on utilise le comparateur à hystérésis ci-dessous :

Tracer la caractéristique de transfert \( v_s \)=f(\( v_e \)) de l’amplificateur opérationnel.

4) Expliquer en quoi une surintensité lumineuse la nuit ne provoquera pas l’extinction du réverbère.

1) Etablir la relation entre la tension u entre les points A et B et l’intensité du courant i, en fonction de \( R_1 \), \( R_2 \) et \( R_3 \). Commenter le résultat.

2) On réalise un montage série contenant une bobine d’inductance L et de résistance r, et un condensateur idéal de capacité C, que l’on place entre les points A et B du montage précédent.

Montrer que ce système peut être le siège d’oscillations sinusoïdales, à une certaine condition que l’on explicitera. Quelle est la fréquence des oscillations ?

3) Quel phénomène contrôle l’amplitude des oscillations ?

1) Donner la relation entre la tension de sortie v et la tension d’entrée u du montage à amplificateur opérationnel seul.

2) Déterminer la fonction de transfert \( \underline{H} = \dfrac{\underline{W}}{\underline{V}} \) du filtre de Wien seul. Quelle valeur ω₀ de la pulsation rend son gain maximum ? Que vaut le gain maximum ?

3) La résistance R₂ est réglable, pour quelle valeur minimale R₂ₘ de R₂ ce système est-il un oscillateur ? Quelle est la fréquence des oscillations ?

1) Supposons qu’à l’instant initial t = 0, vₛ = +vₛₐₜ, et que le condensateur soit déchargé. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par \( u_c \) (t) la tension aux bornes du condensateur

2) Ce régime dure jusqu’à l’instant t₁ à partir duquel \( v_s \) (t) bascule en -vₛₐₜ.

Exprimer t₁ en fonction de α = R₁/(R₁+R₂) et τ = RC.

3) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension \( u_c \)(t) pour t>t₁. Ce régime dure jusqu’à l’instant t₂ à partir duquel \( v_s \) bascule en +vₛₐₜ. Exprimer t₂ en fonction de t₁, α et τ.

4) Tracer le graphe \( u_c \)(t).

5) Quel est la forme du signal délivré par la tension de sortie \( v_s \). Tracer le graphe \( v_s \) (t). Exprimer sa période T en fonction de \( R_1 \), \( R_2 \), R et C

6) Proposer un montage qui transforme le signal précédent en signal triangulaire.

7) Comment obtenir un signal sinusoïdal à partir du signal triangulaire ? La période du signal sinusoïdal peut-elle être différente de T ?

L’AO est un amplificateur de différence, la tension de sortie \( v_s \) est proportionnelle à la tension différentielle d’entrée : vₛ = A·ε avec ε = E⁺ - E⁻, est la différence de potentiels entre les tensions appliquées respectivement aux entrées non inverseuse E⁺ et inverseuse E⁻. Le coefficient A est l’amplification différentielle, il dépend de la fréquence du signal d’entrée et sa valeur en régime continu est notée \( A_d \). La valeur absolue de la tension de saturation en sortie vaut : \( v_{\text{sat}} \) = 15 V.

1) Rappeler les hypothèses de l’AO idéal.

2) Préciser ses deux régimes de fonctionnement et les conditions sur ε et \( v_s \) associées. Expliquer comment les reconnaître simplement, en visualisant à l’oscilloscope simultanément les signaux d’entrée et de sortie du montage.

Comparateur à hystérésis : Considérons le montage de la figure 2 ci-dessus. L’amplificateur opérationnel est idéal. Dans son comportement intrinsèque, l’AO est un système linéaire du premier ordre. La tension de sortie \( v_s \) de l’AO est liée à la tension différentielle d’entrée ε par une équation différentielle linéaire du premier ordre qui s’écrit :

\( \tau \frac{dv_S}{dt} + v_S = A_d \cdot \varepsilon \)

\( \tau \approx 10^{-2}\, \text{s} \) : constante de temps de l’amplificateur opérationnel ;

\( A_d \approx 10^{5} \) : coefficient d’amplification statique (ou gain en régime continu).

3) Etablir l’équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle obéit \( v_s \) en fonction de \( A_d \), ε et \( V_E \)(t). Le système est-il stable ou instable ? En déduire le mode de fonctionnement de l’AO.

4) Evaluer numériquement la constante de temps \( τ_B \) caractéristique de l’évolution de vₛ(t). Commenter.

5) Justifier qu’il y a basculement à ±Vₛₐₜ pour deux valeurs seuils de \( V_E \) à préciser ?

6) La tension d’entrée est sinusoïdale de pulsation \( V_{\text{EM}} \) = 15 V. Représenter la caractéristique statique de transfer \( V_s \) = f(\( V_E \) du montage. Préciser le sens d’orientation du cycle obtenu. Justifier le nom donné au montage : « comparateur non inverseur à hystérésis ».

1) Identifier les fonctions réalisées par chacun des montages associés à chacun des amplificateurs opérationnels AO1 et AO2. Expliquer pourquoi le dispositif est qualifié d’«astable».

La condition initiale imposée est q(t=0) = 0. A cet instant, \( V_s \) bascule en saturation positive : vₛ(0⁺) = +Vₛₐₜ. La saturation négative correspond à un signal de sortie -\( v_{\text{sat}} \).

2) Déterminer l’évolution de vₑ(t) au cours du temps en fonction de R, C, Vₛₐₜ et t. Pour quelle valeur de \( v_E \) et à quel instant \( t_0 \) le premier basculement de \( V_s \) vers -\( v_{\text{sat}} \) se produit-il ?

3) En choisissant t₀ comme origine des temps, déterminer la nouvelle évolution de \( v_E \)(t). Pour quelle valeur de \( v_E \) le basculement de \( v_s \) en saturation positive se produit-il ? Quelle est la durée Δt₁ de la phase de saturation négative de \( v_s \) ? Quelle est la durée Δt₂ de la phase suivante correspondant à une saturation positive de \( v_s \) ? Exprimer la période T des oscillations en fonction de R, \( R_1 \), \( R_2 \) et C.

4) Représenter, les évolutions de vₛ(t) et \( v_E \)(t) au cours du temps, pour R₂ = 2R₁. Quels types de signaux sont générés par un tel dispositif ?

5) Compléter la caractéristique statique de transfert vₛ = f(vₑ) du montage. Préciser le sens d’orientation du cycle obtenu.

1) Etablir les équations différentielles auxquelles satisfont i(t) et \( v_c \)(t).

2) Les résoudre lorsque m < 1.

Un enregistrement du courant pendant la décharge du condensateur est donné à la figure ci-dessous.

3) Montrer comment la connaissance du rapport des amplitudes I₁ et I₂ et de la durée NT₁ (voir figure ci-dessus) permet de trouver les valeurs de ω₀ et de m, puis de L et R.

4) Application numérique : C₀ = 22 nF, N = 3, T₁ = 0,4 ms. Déterminer m, L et R.

Le circuit oscillant de la partie précédente est utilisé dans le montage électronique où figure un amplificateur opérationnel idéal, fonctionnant en régime linéaire, et trois résistances, dont une réglable (R₃).

5) Etablir la relation entre i(t), v(t), R₁, R₂ et R₃.

6) En déduire l’équation différentielle vérifiée par \( i(t) \). On posera \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C_0}} \qquad m = \frac{R}{2 L \omega_0} \qquad m' = \frac{R_3 R_1}{2 R_2 L \omega_0}. \]

7) Etudier qualitativement le fonctionnement du montage lorsque m’ < m et lorsque m’ > m.

8) Que se passe-t-il théoriquement si m’ = m ? Cette condition est-elle réalisable ? Quel est le rôle de la résistance réglable R₃ ?

9) Application numérique : C₀ = 22 nF, L = 20mH. A quelle fréquence peut fonctionner cet oscillateur ?

La tolérance sur la valeur de la capacité du condensateur est donnée à 5%. Quel écart relatif de fréquence pourra en découler ?