FILTRAGE LINÉAIRE
Notations complexes : Si \( x : t \mapsto X_m \cos(\omega t + \varphi) \), \( \underline{x} \) correspond à sa représentation complexe, et \( \underline{X}_m \) ou simplement \( \underline{X} \) correspond à son amplitude complexe. \( j \) désigne le complexe tel que \( j^2 = -1 \).
Conventions : Les générateurs sont considérés, sauf mention contraire, comme idéaux. Sans indications particulières, on considère que \( e : t \mapsto E_m \cos(\omega t) \).
Rappel : \( 20 \log(2) \approx 6 \, \text{dB} \)
Entraînement
On considère les circuits de la figure 1, considérés comme des filtres caractérisés par leur fonction de transfert \( \underline{H} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{e}} \).. Trouver par analyse à haute et basse fréquence la nature de ces filtres.
Pour les circuits de la figure 2, trouver par analyse à haute et basse fréquence la valeur des limites de \( |\underline{H}| \) quand \( \omega \) tend vers 0 et \( +\infty \), avec \( \underline{H} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{e}} \).
On considère le circuit 1 de la figure 1.
03.1 Trouver \( \underline{H} \), puis les résultats du 01.
03.2 En déduire la pulsation de coupure de ce filtre.
On considère le circuit 2 de la figure 1.
04.1 Trouver \( \underline{H} \), puis les résultats du 01.
04.2 En déduire la pulsation de coupure de ce filtre.
04.3 Déduire également l'équation différentielle régissant u.
On considère le filtre 1 de la figure 2.
05.1 Déterminer sa fonction de transfert, et en déduire sa pulsation de coupure.
05.2 On donne r = 500Ω, R = 10kΩ et C = 10nF. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre. On précisera les valeurs numériques caractérisant les diverses asymptotes.
05.3 Déterminer l'équation différentielle régissant u.
On remplace, dans le filtre 1 de la figure 2, le condensateur par une bobine d'inductance \( L \). Donner la valeur qu'il faut donner à la bobine pour avoir une fréquence de coupure de 40kHz, avec \( r = 500Ω \), \( R = 10kΩ \).
Pour les diagrammes de 1 à 5 de l'annexe, donner la nature du filtre et l'ordre probable, ainsi que la borne supérieure sur \([0, +\infty]\) du module de la fonction de transfert \( H_{max} \).
On utilise le filtre dont le diagramme de Bode est représenté à l'annexe 1. On lit sur un oscilloscope que \(\frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = 0.01\). En déduire la fréquence à laquelle on a fait cette mesure, ainsi que le déphasage \( \varphi_s - \varphi_e \).
On utilise le filtre dont le diagramme de Bode est représenté à l'annexe 4. On lit sur un oscilloscope que \(\frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = 0.05\). En déduire la fréquence à laquelle on a fait cette mesure, ainsi que le déphasage \( \varphi_s - \varphi_e \).
On dispose d'un filtre parmi ceux décrits entre l'annexe 1 et l'annexe 5. On lit sur un oscilloscope que \(\frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = 0.1\), et que \( v_s \) est en quadrature retard par rapport à \( v_e \). Quel est ce filtre?
On observe pour divers filtres les oscilloscopes donnés en annexe 6. La voie 1 correspond à l'entrée, et la voie 2 à la sortie. Pour chaque observation, donner le ou les diagrammes de Bode compatibles dans les annexes 1 à 5.
On utilise le filtre de l'annexe 5, dans lequel on envoie un signal \( e(t) = E_m \cos(\omega t) \).
12.1 Déterminer \( \omega_c \), pulsation de coupure de ce filtre.
12.2 Donner une expression approximative en fonction de \( E_m \), \( \omega \) et \( t \) de \( s(t) \) pour \( \omega < \frac{\omega_c}{15} \) et \( \omega > 15\omega_c \).
Dans le circuit 1 de la figure 2, on trouve le diagramme de Bode de l'annexe 7. Sachant que \( r = 5k\Omega \), déterminer \( R \) et \( C \).
On utilise le filtre de l'annexe 3, avec un signal sinusoïdal de fréquence \( f = 240Hz \). Donner une expression approchée de \( s(t) \).
On utilise le filtre de l'annexe 3, avec un signal sinusoïdal de fréquence \( f = 20kHz \). Donner une expression approchée de \( s(t) \).
On s'intéresse au filtre de l'annexe 2, dont la fonction de transfert est donnée par :
16.1 Vérifier par analyse aux limites que cette fonction de transfert correspond bien aux graphiques représentés.
16.2 Déterminer \( H_0 \), \( Q \) et \( \omega_0 \).
16.3 En déduire la largeur de la bande passante.
On considère les circuits 3 et 4 de la figure 1.
17.1 Expliquer pourquoi ces deux circuits auront le même facteur de qualité et la même pulsation propre.
17.2 Déterminer la fonction de transfert \( \underline{H}_3 \) du circuit 3.
17.3 En déduire la fonction de transfert \( \underline{H}_4 \) du circuit 4, soit directement, soit en s'inspirant de l'exercice et en utilisant les formes canoniques.
17.4 Discuter pour ces deux circuits de l'existence d'une résonance éventuellement en fonction d'une valeur \( R_0 \) de la résistance que l'on exprimera en fonction de \( L \) et \( C \).
Soit un filtre dont le diagramme de Bode est donné à l'annexe 9. Déterminer la nature du filtre, la valeur du facteur de qualité et celle de la pulsation de résonance.
On considère un filtre dont le diagramme de Bode est donné à l'annexe 8.
On injecte dans ce filtre un signal \( e(t) = E_1 \cos(2\pi f_1 t) + E_2 \cos(2\pi f_2 t) \), avec \( E_1 = E_2 = 5V \), \( f_1 = 3kHz \) et \( f_2 = 50kHz \). Donner l'expression de \( s(t) \).
On injecte en entrée du filtre dont le diagramme de Bode est donné annexe 11 un signal constitué de la somme de deux tensions sinusoïdales de même amplitude \( E \), l'une à \( f_1 = 400Hz \), l'autre à une fréquence \( f_2 \).
20.1 Expliquer pourquoi on obtient en sortie un signal \( s(t) = S_1 \cos(2\pi f_1 t + \varphi_1) + S_2 \cos(2\pi f_2 t + \varphi_2) \).
20.2 Déterminer \( S_1 \).
20.3 Déterminer la valeur minimale à donner à \( f_2 \) pour qu'en sortie, \( S_2 \) soit au moins 100 fois plus petite que \( S_1 \).
20.4 Que faudrait-il utiliser comme filtre pour avoir un filtrage plus efficace (i.e. une valeur minimale de \( f_2 \) plus petite)?
On considère un signal \( e(t) = A[\cos(\Omega t) + \cos(\omega t)] \), avec \( \frac{\Omega}{2\pi} = 50kHz \) et \( \frac{\omega}{2\pi} = 3kHz \). On souhaite construire un filtre tel qu'en sortie, la composante à \( \Omega \) soit d'une amplitude au moins 100 fois plus petite que celle à \( \omega \). Donner un exemple de filtre réalisant cela.
On dispose d'une série de signaux à des fréquences \( f_i \), toutes séparées par au moins \( \Delta f = 100kHz \), dont l'ordre de grandeur est de qq GHz. Quelles doit être le facteur de qualité minimal d'un filtre passe-bande centré en \( f_i = 2GHz \) pour que \( f_{i+1} \) et \( f_{i-1} \) soient hors de la bande passante de ce filtre?
Les suspensions d'une voiture constituent un filtre linéaire dont l'entrée \( e \) est la hauteur de la route et la sortie \( s_c \) la hauteur du châssis. On pose \( s_c = h_0 + s \), où \( h_0 \) est la hauteur du châssis au repos (et donc la valeur moyenne de \( s_c \)), et on a donc \( \langle s \rangle = 0 \). Dans un premier temps, on modélise la route comme une grandeur sinusoïdale : \( e(t) = A\cos(\omega t) \).
23.1 Expliquer pourquoi on aura nécessairement \( s(t) = S\cos(\omega t + \varphi) \).
23.2 On souhaite qu'à basse fréquence (profil de route "régulier"), le châssis et la route restent en permanence à \( h_0 \). Que valent alors \( S \) et \( \varphi \) en fonction de \( A \)? En déduire la nature obligatoire du filtre. On souhaite néanmoins ne pas ressentir les pavés ou autres inégalités de la route. On considère des pavés distants de \( a = 10cm \).
23.3 Donner la fréquence d'oscillation de \( e \) sur les pavés sur la voiture roule à une vitesse \( v \).
23.4 En déduire la fréquence de coupure minimale du filtre. Application numérique pour \( v = 10km/h \) et \( v = 100km/h \).
23.5 On peut modéliser un dos d'âne comme un signal triangle d'amplitude \( h = 10cm \), sur une demi-période spatiale de \( 1m \). En déduire la fréquence correspondant à la montée d'un dos d'âne à la vitesse \( v \).
23.6 Que se passe-t-il si cette fréquence est au-dessus de la coupure?
Un multiplieur est un composant électronique admettant en entrée deux signaux \( e_1(t) \) et \( e_2(t) \) et donnant en sortie \( s = ke_1(t)e_2(t) \), avec en général \( k = 1V^{-1} \).
24.1 Déterminer le spectre de \( s \) si \( e_1 \) et \( e_2 \) sont deux signaux de pulsations respectives \( \omega_1 \) et \( \omega_2 \).
24.2 En déduire que si \( e_1 = e_2 = E\cos(\omega t) \), alors le multiplieur permet d'avoir accès à l'amplitude \( E \) via un filtre dont on précisera la nature et les caractéristiques par rapport à \( \omega \).
Note : Les exercices suivants nécessitent l'utilisation du programme filtrage_n_composantes.py. Ce programme contient la machinerie, puis en fin de programme les paramètres à rentrer. Un exemple est donné.
On s'intéresse à un signal d'entrée \( e(t) = E_1\left[\cos(\omega t) + \frac{1}{2}\cos(10\omega t) + \frac{1}{4}\cos(50\omega t)\right] \), avec \( \omega = 10000 \, \text{rd/s} \) et \( E_1 = 1V \). On utilise un filtre passe-bas d'ordre 2 de caractéristique \( H_0 = \frac{1}{2} \), \( \omega_0 = 15000 \, \text{rd/s} \), \( Q = 2 \). Utiliser le programme pour déterminer le spectre en amplitude du signal de sortie.
On dispose en entrée d'un signal comportant quatre composantes à respectivement 5000, 10000, 15000 et 30000 Hz. On cherche un filtre, de \( H_0 = 1 \) permettant de conserver les deux fréquences du milieu dans la bande passante, mais d'exclure les deux fréquences extrêmes. Proposer un filtre ainsi que les valeurs de \( f_0 \) et de \( Q \) permettant de faire cela, puis le vérifier avec la simulation.
La simulation fournie permet de générer le spectre avec les 50 premières composantes d'un signal triangle de pulsation \( \omega \). Pour cela, il suffit de définir params_e = triangle(w,1), où 1 est l'amplitude et w la pulsation. On utilise alors un passe-bande de pulsation \( \omega_0 = 50000 \, \text{rd/s} \) et de facteur de qualité \( Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
27.1 Afficher le comportement pour \( \omega = \frac{\omega_0}{50} \). Interpréter l'allure du signal de sortie.
27.2 Afficher le comportement pour \( \omega = 50\omega_0 \). Interpréter l'allure du signal de sortie.
On utilise un signal triangle avec un offset en définissant params_e = triangle(w,1,4) (offset de 4V).
28.1 On utilise alors un passe-bas d'ordre 2, avec \( \omega_0 = 10000 \, \text{rd/s} \), \( Q = 1 \) et \( H_0 = 1 \), et \( \omega = 10\omega_c \). Interpréter la sortie obtenue. Comment appelle-t-on ce comportement?
28.2 On passe à un passe-bas d'ordre 1, avec \( \omega_c = \omega_0 \) et le même \( H_0 \). Expliquer la différence obtenue pour \( s \).
