TD corrigé : Filtres linéaires

Exercice 1

Soit le circuit suivant où R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ, C₁ = 0,20 μF et C2 = 50 nF. On applique en entrée une tension sinusoïdale e(t) et on recueille en sortie une tension s(t), les grandeurs E, S, ω et φ étant indépendantes du temps.

$e(t) = E \cos(\omega t)$
$s(t) = S\cos(\omega t + \varphi)$

1. Déterminer la fonction de transfert du filtre.
2. En déduire la nature et l’ordre du filtre.
3. Calculer la pulsation de coupure $ \omega_c $ à −3 dB.
4. Déduire la fréquence de coupure $f_c$.
5. Déterminer le déphasage à $ \omega = 2\omega_c $.

Correction des exercices : 1

Exercice 2

Soit le circuit suivant alimenté par une source idéale de tension $e(t) = E\sqrt{2}\cos(\omega t)$ où E est la tension efficace.

1)     Déterminer la fonction de transfert H et l’écrire sous la forme  :  $H = \dfrac{H_0}{1 + j\, \dfrac{\omega}{\omega_0}}$

2)    Préciser le gain H et le déphasage  introduit par ce filtre.

3)     Etablir l’expression littérale de la fréquence de coupure f_c en fonction de R et C.

Le diagramme de Bode en gain a été tracé en échelle semi-log.

4)     Déterminer la valeur de fréquence de coupure f_c en détaillant la réponse.

5)     En déduire la valeur de la capacité C sachant que R = 1,0 kΩ.

Exercice 3

On dispose d’une bobine assimilée à l’association en série d’une inductance L et d’une résistance r (r et L sont des constantes positives indépendantes du temps). On place la bobine en série avec un résistor de résistance R = 40 Ω et un condensateur de capacité C = 10 μF et on alimente l’ensemble avec un générateur basses fréquences délivrant une tension sinusoïdale de pulsation ω.

1)     Rappeler la définition de la fonction de transfert H du filtre ainsi formé avec u_e la tension d’entrée délivrée par le générateur et u_s la tension de sortie aux bornes de la résistance R.

2)     Proposer un schéma équivalent du circuit en basses puis en hautes fréquences et en déduire la nature probable du filtre.

4)     Rappeler la définition du diagramme de Bode.

5)     Le diagramme de Bode en gain de ce filtre est le suivant :

Exercice 4

1)     Préciser sans calcul la nature du filtre.

2)     Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

    Tracer le diagramme de Bode de ce filtre en fonction de log₁₀(x).

 On s’intéresse maintenant au circuit suivant composé de deux cellules (R, L) en cascade :

3)     Peut-on écrire que la fonction de transfert de ce filtre H = H₁.H₂ ?

$H = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{x^2} - j\dfrac{3}{x}}, \qquad x = \dfrac{\omega}{\omega_0}$

On déterminera la valeur de ω₀ en fonction de R et L et on précisera l’ordre du filtre.

4)     Tracer alors l’allure du diagramme de Bode en gain en fonction de log₁₀(x).

5)     Calculer ω_c la pulsation de coupure à –3 dB. On pourra se ramener à une équation du 4ème degré et poser X = x² pour résoudre l’équation. Montrer alors que ω_c ≈ 2,7 ω₀.

6)     On souhaite réaliser un filtre ADSL. Les signaux téléphoniques utilisent des fréquences comprises entre 25 Hz et 3,4 kHz et les signaux informatiques relatifs à Internet des fréquences généralement comprises entre 68 kHz et 1,0 MHz. Le filtre ADSL est ici utilisé dans le but de récupérer les signaux Internet. On possède une bobine d’inductance 4, 0 mH. Quelle pulsation ω₀ et quelle valeur de résistance doit-on choisir pour réaliser le filtre souhaité avec une fréquence de coupure à 10 kHz ?

7)     Donner l’allure du diagramme de Bode en phase en fonction de log₁₀(x). Comment le diagramme de Bode aurait-il été changé si on avait demandé de le tracer en fonction de log₁₀(ω) ?

8)     On envoie en entrée un signal de la forme e(t) = e_mcos(ωt) avec e_m = 6,0 V et une fréquence f₁ = 1 kHz. Déterminer numériquement en fonction de la seule variable de temps t la valeur du signal de sortie. Que se passe-t-il si on rajoute un offset au signal d’entrée ?