Filtrage linéaire

Le filtrage est une forme de traitement de signal qui consiste à :

sélectionner une partie de l'information contenue dans un signal
éliminer les fluctuations parasites dans un signal

Un filtre linéaire : circuit linéaire réalisant l'opération de filtrage.

1) Fonction de transfert

On considère le circuit suivant :

\[ \begin{array}{c} v_{e}(t) = E \cos(\omega t) \\ v_{s}(t) = S \cos(\omega t + \varphi) \end{array} \]

On définit la fonction de transfert :

\[ H = \frac{\underline{v_s}}{\underline{v_e}} = H e^{j\varphi} \quad H = |H| = \frac{S}{E} \] \[ \varphi = \arg(H) \]

2) Gain

Le gain en tension : \( G = H = |H| \)
L'intervalle de variation de \( \omega \) étant très grand, on préfère utiliser une échelle logarithmique

\[ G_{dB} = 20 \log G = 20 \log (H) \]

3) Diagramme de Bode

C'est l'ensemble de deux graphes :

Diagramme de gain : \( G = f(\omega) \) ; \( G = f(\log\omega) \)
\( G_{dB} = f(\omega) \) ; \( G_{dB} = f(\log\omega) \)
Diagramme de phase : \( \varphi = f(\omega) \)

4) Bande passante à -3 dB

C'est l'ensemble des pulsations pour lesquelles :

\[ G \geq \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} \]

\[ G_{dB} \geq G_{dB,max} - 3 \, dB \]

Exemple :

\( G_{dB,max} = 3 \, dB \)

La largeur de la bande passante :

\[ \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \]

Remarque

Un signal dont la fréquence est hors bande passante sera fortement atténué, par rapport à un signal de même amplitude si la fréquence est dans la bande passante.

➔ Un filtre coupe les composantes du signal dont la fréquence est hors bande passante et laisse passer celles de fréquences dans la bande passante.

5) Filtre passe-bas

a) Exemple

Circuit RC série avec sortie aux bornes du condensateur

b) Étude rapide

En BF (basses fréquences) :

\[ Z_C = \frac{1}{jC\omega} \rightarrow +\infty \] \[ H = 1 \]

En HF (hautes fréquences) :

\[ Z_C \rightarrow 0 \] \[ H = 0 \]

Conclusion : il s'agit d'un filtre passe-bas (il laisse passer les signaux de basses fréquences).

c) Calcul de la fonction de transfert

Les deux dipôles (R et C) sont en série parcourus par le même courant.

\[ H = \frac{\underline{v_s}}{\underline{v_e}} = \frac{Z_C}{Z_C + Z_R} = \frac{1}{1 + jRC\omega} \]

D'où :

\[ |H| = H = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} \]

On peut voir ici rapidement que :

\[ \begin{cases} \text{si } \omega \to 0 & \implies H \to 1 \\ \text{si } \omega \to \infty & \implies H \to 0 \end{cases} \]

\( H \) est maximum : \( H = H_{max} = 1 \) lorsque \( \omega \to 0 \)

d) Pulsation de coupure

\[ H(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} \quad \Rightarrow \quad H_{max} = 1 \]

On cherche la pulsation de coupure, c'est-à-dire que \( H(\omega) = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\[ \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 1 + (RC\omega)^2 = 2 \] \[ \Rightarrow (RC\omega)^2 = 1 \Rightarrow \omega_c = \frac{1}{RC} \quad (\omega_c > 0) \]

Il s'agit d'une pulsation de coupure haute.

Bande passante : \([0, \omega_c]\)
La largeur de la bande passante : \( \Delta \omega = \omega_c - 0 = \omega_c = \frac{1}{RC} \)

e) Forme canonique

De manière générale, l'expression de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 1er ordre :

\[ H(j\omega) = \frac{H_0}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]

Avec :

\( H_0 \) : fonction de transfert statique (dans le cas étudié précédemment \( H_0 = 1 \))
\( \omega_c \) : pulsation de coupure (haute)

On pose \( x = \frac{\omega}{\omega_c} \Rightarrow \)

\[ \boxed{H(jx) = \frac{H_0}{1 + jx}} \]

Forme canonique du filtre passe-bas du 1er ordre

f) Étude du gain en dB

\[ |H(jx)| = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \]

⇒ Le gain en décibel :

\[ G_{dB} = 20 \log |H(jx)| = 20 \log \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \] \[ G_{dB} = 20 \log H_0 - 10 \log (1+x^2) \] \[ = G_0 - 10 \log (1+x^2) \]

Comportement asymptotique

En BF : \( \omega \ll \omega_c \Rightarrow x \ll 1 \) : \( \log(1+x^2) \approx 0 \)
L'équation de la 1ère asymptote :
\[ \boxed{G_{dB}^{a_1} = G_0} \]
En HF : \( \omega \gg \omega_c \Rightarrow x \gg 1 \) : \( \log(1+x^2) \approx \log x^2 \)
L'équation de la 2ème asymptote : \( G_{dB}^{a_2} = G_0 - 10 \log x^2 \)
\[ \Rightarrow \boxed{G_{dB}^{a_2} = G_0 - 20\log x} \]

Traçage de \( G_{dB}^{a_2} = f(\log x) \)

Soit deux pulsations \( \omega_1 \) et \( \omega_2 = 10 \omega_1 \implies x_2 = 10x_1 \)

\[ \begin{cases} G_{dB}^{a_2}(x_1) = G_0 - 20\log x_1 \\ G_{dB}^{a_2}(x_2) = G_0 - 20\log 10 - 20\log x_1 \end{cases} \]

\[ \Rightarrow G_{dB}^{a_2}(x_2) - G_{dB}^{a_2}(x_1) = -20\log 10 = -20 \, dB \]

Rappel : quand la pulsation est multipliée par 10, on parle d'une décade.

⇒ Le gain diminue de 20 dB

⇒ L'asymptote a une pente de -20 dB/décade

(noté -20 dB/dec)

L'intersection entre les deux asymptotes : \( G_{dB}^{a_1} = G_{dB}^{a_2} \)

\[ \Rightarrow 20 \log x = 0 \implies x = \frac{\omega}{\omega_c} = 1 \] \[ \Rightarrow [\omega = \omega_c] \]

g) Étude de la phase

On a : \( H = \frac{H_0}{1 + jx} \)

En T.B.F. : \( \omega < \omega_c \) ⇒ \( x < 1 \) : \( H \approx H_0 \)
\[ \varphi = \arg(H) = \arg(H_0) = \begin{cases} 0 & \text{si } H_0 > 0 \\ \pi & \text{si } H_0 < 0 \end{cases} \]
En T.H.F. : \( H = \frac{H_0}{jx} \) (\( \omega > \omega_c \) : \( x > 1 \))
\[ = -j \frac{H_0}{x} \] \[ \varphi = \arg(H) = -\frac{\pi}{2} + \arg(H_0) = \begin{cases} -\frac{\pi}{2} & \text{si } H_0 > 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{si } H_0 < 0 \end{cases} \]
Dans le cas général : \( H = \frac{H_0}{1 + jx} \)
\[ \varphi = \arg(H) = \arg(H_0) - \arg(1 + jx) \] Si \( H_0 > 0 \Rightarrow \varphi = -\arg(1 + jx) \)
On déduit que \( \tan \varphi = -x < 0 \)
Pour déterminer l'intervalle précis de \( \varphi \)
\[ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} > 0 \\ \sin \varphi = \frac{-x}{\sqrt{1 + x^2}} < 0 \end{cases} \]

Donc \( \varphi \in [-\frac{\pi}{2}, 0] \implies \varphi = -\arctan x \)

T.B.F : \( \omega \to 0 \) : \( \varphi \to 0 \)
T.H.F : \( \omega \to \infty \) : \( \varphi \to -\frac{\pi}{2} \)
Pour \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_c \))
\[ \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{4} \]

h) Comportement intégrateur

\[ \text{On a } \quad \underline{H} = \frac{\underline{v_s}}{\underline{v_e}} = \frac{H_0}{1 + j \frac{\omega}{\omega_c}} \]

En THF : \( \underline{H} = \frac{\underline{v_s}}{\underline{v_e}} \approx \frac{H_0}{j \frac{\omega}{\omega_c}} = \frac{H_0 \omega_c}{j \omega} \)

\[ \Rightarrow \quad \underline{v_s} = H_0 \omega_c \cdot \frac{\underline{v_e}}{j \omega} \]

⇒ En relation réelle : \( (j\omega \rightarrow \frac{d}{dt}) \)

\[ v_s = H_0 \omega_c \int v_e \, dt \]

CQFD : un filtre possédant une asymptote -20 dB/dec se comporte dans la zone de l'asymptote comme un montage intégrateur.

6) Filtre passe-haut du 1er ordre

a) Étude rapide

En T.B.F : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} \rightarrow +\infty \) : les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts
Pas de courant dans R
\( H = 0 \)
En T.H.F : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} \rightarrow 0 \) : les condensateurs se comportent comme des fils (court-circuits)
\( H = 1 \)

Conclusion : le filtre laisse passer les hautes fréquences et atténue les basses fréquences → filtre passe-haut.

b) Fonction de transfert

\[ H = \frac{R}{R + \frac{1}{jC\omega}} = \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \]

Le module de \( H \) :

\[ |H| = \frac{RC\omega}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} \]

\( \omega \rightarrow +\infty \) : \( H \rightarrow 1 \)
\( H \) fonction croissante de \( \omega \)
\( \omega \rightarrow 0 \) : \( H \rightarrow 0 \)
\( H \) maximum \( H = H_{max} = 1 \)

c) Pulsation de coupure

On cherche \( \omega_c \) telle que : \( H(\omega_c) = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\[ \frac{RC\omega_c}{\sqrt{1 + (RC\omega_c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \Rightarrow \omega_c = \frac{1}{RC} \]

d) Forme canonique

L'expression générale de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du 1er ordre :

\[ H(j\omega) = \frac{H_0 j \frac{\omega}{\omega_c}}{1 + j \frac{\omega}{\omega_c}} \]

Forme canonique des filtres passe-haut du 1er ordre

En posant \( x = \frac{\omega}{\omega_c} \Rightarrow \)

\[ H(jx) = \frac{H_0 j x}{1 + j x} \]

\( H_0 \) : dépend de la nature du filtre

e) Étude du gain en dB

\[ |H(jx)| = \frac{H_0 x}{\sqrt{1 + x^2}} \Rightarrow G_{dB} = 20 \log |H(jx)| = 20 \log \frac{H_0 x}{\sqrt{1 + x^2}} \]

\[ G_{dB} = 20 \log H_0 - 10 \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \] \[ = G_0 - 10 \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \]

Comportement asymptotique :

En T.B.F : \( \omega < \omega_c \) : \( x \ll 1 \) → L'équation de la 1ère asymptote :
\[ G_{dB}^{a} = G_0 - 10 \log \frac{1}{x^2} = G_0 + 20 \log x \]
En T.H.F : \( \omega > \omega_c \) : \( x \gg 1 \) → \( G_{dB}^{a} = G_0 - 10 \log 1 = G_0 \)

Analyse des deux asymptotes : \( G_{dB}^{a_1} = G_{dB}^{a_2} \)

\[ 20 \log x = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \omega = \omega_c \]

Pour tracer \( G_{dB} = f(\log x) \) : on détermine la position de \( G_{dB}(x) \) par rapport aux deux asymptotes :

\[ G_{dB}(x) - G_{dB}^{a} < 0 \quad \text{et} \quad G_{dB}(x) - G_{dB}^{a} < 0 \]

→ La courbe se trouve au-dessous des asymptotes

f) Étude de la phase

On suppose dans la suite que \( H_0 > 0 \) :

\[ H = \frac{H_0 j x}{1 + j x} \] \[ \Rightarrow \varphi = \arg(H) = \arg(H_0) + \arg(jx) - \arg(1 + jx) \] \[ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2} - \arg(1 + jx) \]

On aura donc que \( \tan \varphi = \frac{1}{x} > 0 \)

Pour déterminer le domaine de \( \varphi \) on calcule :

\[ \begin{cases} \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \\ \cos \varphi = \frac{1}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \end{cases} \]

⇒ \( \varphi \in [0, \frac{\pi}{2}] \)

On peut vérifier que \( \varphi = \arctan \frac{1}{x} \)

Phase \( \varphi = f(\log x) \) : diagramme de Bode en phase

\( \omega \to 0 \) : \( \varphi \to \frac{\pi}{2} \)
\( \omega \to \infty \) : \( \varphi \to 0 \)
\( \omega = \omega_c \) : \( \varphi = \frac{\pi}{4} \)

g) Comportement dérivateur

\[ \text{On a } \quad H = \frac{H_0 j \frac{\omega}{\omega_c}}{1 + j \frac{\omega}{\omega_c}} \]

Pour \( \omega \ll \omega_c \) on a :

\[ H \approx \frac{H_0 j \omega}{\omega_c} = j \frac{H_0}{\omega_c} \omega \]

Donc \( \frac{\underline{v_s}}{\underline{v_e}} = j \frac{H_0}{\omega_c} \omega \)

Puisque \( j\omega \leftrightarrow \frac{d}{dt} \) (relation complexe)

\[ \Rightarrow \left[ v_s = \frac{H_0}{\omega_c} \frac{d v_e}{dt} \right] \]

CQFD : un filtre possédant une asymptote +20 dB/dec se comporte dans la zone de l'asymptote comme un montage dérivateur.