- Sélectionner une partie de l'information contenue dans un signal
- Éliminer les fluctuations parasites dans un signal
Un filtre linéaire est un circuit linéaire réalisant l'opération de filtrage.
I) Généralités
1) Fonction de transfert
On considère le circuit suivant :
Signal d'entrée : \( v_e(t) = E \cos(\omega t) \)
Signal de sortie : \( v_s(t) = S \cos(\omega t + \varphi) \)
On définit la fonction de transfert complexe :
\( H(j\omega) = \frac{\underline{v}_s}{\underline{v_e(t)}} = H e^{j\varphi} \)
Avec :
\( \underline{H} \)
- \( H = |\underline{H}| = \frac{S}{E} \) : module de la fonction de transfert (gain)
- \( \varphi = \arg(\underline{H}) \) : déphasage entre sortie et entrée
2) Gain
- Le gain en tension : \( G = H = |\underline{H}| \)
- L'intervalle de variation de \( \omega \) étant très grand, on préfère utiliser une échelle logarithmique : \( G_{dB} = 20 \log G = 20 \log(|\underline{H}|) \)
3) Diagramme de Bode
C'est l'ensemble de deux graphes :
- Diagramme de gain : \( G = f(\omega) \) ou \( G_{dB} = f(\log\omega) \)
- Diagramme de phase : \( \varphi = f(\omega) \)
4) Bande passante à -3 dB
C'est l'ensemble des pulsations pour lesquelles :
\( G \geq \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} \)
Ou en décibels :
\( G_{dB} \geq G_{dB,max} - 3 \, dB \)
La largeur de la bande passante :
\( \Delta \omega = \omega_h - \omega_b \)
Un signal dont la fréquence est hors bande passante sera fortement atténué par rapport à un signal de même amplitude si la fréquence est dans la bande passante.
Un filtre coupe les composantes du signal dont la fréquence est hors bande passante et laisse passer celles dont la fréquence est dans la bande passante.
II) Filtres de 1er ordre
1) Filtre passe-bas
Circuit RC série avec sortie aux bornes du condensateur
b) Étude rapide
- En BF (Basses Fréquences) : \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} \to \infty \)
Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert : \( H \approx 1 \) - En HF (Hautes Fréquences) : \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} \to 0 \)
Le condensateur se comporte comme un fil : \( H \approx 0 \)
Conclusion : il s'agit d'un filtre passe-bas (il laisse passer les basses fréquences).
c) Calcul de la fonction de transfert
Le module :
\( G = H = \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} \)
Comportements limites :
- \( \omega \to 0 \) : \( H \to 1 \)
- \( \omega \to \infty \) : \( H \to 0 \)
\( H_{max} = 1 \) lorsque \( \omega \to 0 \)
d) Pulsation de coupure
On cherche \( \omega_c \) tel que :
\( \underline{H}(\omega_c) = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Soit :
\( \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega_c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
D'où :
\( 1 + (RC\omega_c)^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad \omega_c = \frac{1}{RC} \)
- Bande passante : \( [0, \omega_c] \)
- Largeur de la bande passante : \( \Delta \omega = \omega_c - 0 = \omega_c = \frac{1}{RC} \)
e) Forme canonique
Expression générale de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 1er ordre :
\( \underline{H}(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\,\dfrac{\omega}{\omega_c}} \)
Avec :
- \( H_0 \) : fonction de transfert statique (gain en BF)
- \( \omega_c \) : pulsation de coupure
On pose \( x = \frac{\omega}{\omega_c} \) :
\( H(jx) = \frac{H_0}{1 + jx} \)
f) Étude du gain en dB
Le gain en décibels :
\( G_{dB} = 20 \log |H(jx)| = 20 \log |H_0| - 10 \log(1 + x^2) \)
Soit :
\( G_{dB} = G_0 - 10 \log(1 + x^2) \) avec \( G_0 = 20 \log |H_0| \)
Comportement asymptotique :
- En BF : \( \omega \ll \omega_c \Rightarrow x \ll 1 \)
\( G_{dB}^{a1} = G_0 \) (asymptote horizontale) - En HF : \( \omega \gg \omega_c \Rightarrow x \gg 1 \)
\( G_{dB}^{a2} = G_0 - 20 \log x \) (droite de pente -20 dB/décade)
Les deux asymptotes se croisent en \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_c \))
g) Étude de la phase
\( \underline{H} = \frac{H_0}{1 + jx} \)
- En BF : \( \omega \ll \omega_c \Rightarrow x \to 0 \)
\( H \approx H_0 \Rightarrow \varphi = \arg(H_0) = \begin{cases} 0 & \text{si } H_0 > 0 \\ \pi & \text{si } H_0 < 0 \end{cases} \) - En HF : \( \omega \gg \omega_c \Rightarrow x \to \infty \)
\( H \approx \frac{H_0}{jx} = -j\frac{H_0}{x} \)
\( \varphi = -\frac{\pi}{2} + \arg(H_0) \)
• Dans le cas général :
\[ \underline{H} = \dfrac{H_0}{1 + j x} \]
\[ \varphi = \arg(\underline{H}) = \arg(H_0) - \arg(1 + jx) \]
Si : \( H_0 > 0 \quad \Rightarrow \quad \varphi = -\arg(1 + jx) \)
On en déduit que : \( \tan\varphi = -x < 0 \)
Pour déterminer l’intervalle précis de \(\varphi\) :
\[ \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} > 0 \qquad\text{ou}\qquad \sin\varphi = \frac{-x}{\sqrt{1 + x^2}} < 0 \]
\( \varphi = -\arctan(x) \)
- \( \omega \to 0 \) : \( \varphi \to 0 \)
- \( \omega \to \infty \) : \( \varphi \to -\frac{\pi}{2} \)
- \( \omega = \omega_c \) (\( x = 1 \)) : \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \)
h) Comportement intégrateur
En HF (\( \omega \gg \omega_c \)) :
\( \underline{H}(j\omega) \approx \frac{H_0 \omega_c}{j\omega} \)
Dans le domaine temporel :
\( v_s(t) = H_0 \omega_c \int v_e(t) dt \)
Conclusion : Un filtre ayant une asymptote de pente -20 dB/décade se comporte dans la zone HF comme un montage intégrateur.
2) Filtres Passe-haut
a) Exemple
Circuit RC série avec sortie aux bornes de R
b) Étude rapide
- En BF : \( \underline{Z}_C \to \infty \)
Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert : \( H \approx 0 \) - En HF : \( \underline{Z}_C \to 0 \)
Le condensateur se comporte comme un fil : \( H \approx 1 \)
C'est un filtre passe-haut (il laisse passer les hautes fréquences).
c) Fonction de transfert
\( \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = \frac{R}{R + \frac{1}{jC\omega}} = \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \)
Le module :
\( |\underline{H}| = \frac{RC\omega}{\sqrt{1 + (RC\omega)^2}} \)
- \( \omega \to 0 \) : \( H \to 0 \)
- \( \omega \to \infty \) : \( H \to 1 \)
- \( H_{max} = 1 \)
d) Pulsation de coupure
On cherche \( \omega_c \) tel que :
\( \underline{H}(\omega_c) = \frac{H_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \quad \Rightarrow \quad \omega_c = \frac{1}{RC} \)
- Bande passante : \( [\,\omega_c , \infty ) \)
e) Forme canonique
Expression générale d'un filtre passe-haut du 1er ordre :
\( \underline{H}(j\omega) = \frac{H_0 j\frac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \)
On pose \( x = \frac{\omega}{\omega_c} \) :
\( H(jx) = \frac{H_0 jx}{1 + jx} \)
Avec \( \omega_c = \frac{1}{RC} \)
f) Étude du gain en dB
\( G_{dB} = 20 \log |H(jx)| = G_0 + 20 \log \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)
Soit :
\( G_{dB} = G_0 - 10 \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \)
Comportement asymptotique :
- En BF : \( x \ll 1 \)
\( G_{dB}^{a1} = G_0 + 20 \log x \) (droite de pente +20 dB/décade) - En HF : \( x \gg 1 \)
\( G_{dB}^{a2} = G_0 \) (asymptote horizontale)
Les asymptotes se croisent en \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_c \))
g) Étude de la phase
On suppose dans la suite que \( H_0 > 0 \):
\[ \underline{H} = \frac{H_0}{1 - j\frac{1}{x}} \]
\[ \Rightarrow \varphi = \arg(\underline{H}) = \arg(H_0) - \arg\left(1 - j\frac{1}{x}\right) \]
\[ \Rightarrow \varphi = -\arg\left(1 - j\frac{1}{x}\right) \]
On aura donc
\[ \Leftrightarrow \tan\varphi = \frac{1}{x} > 0 \]
On peut déterminer le domaine de φ en calculant \(\sin\varphi\) et \(\cos\varphi\):
\[ \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} > 0 \]
\[ \cos\varphi = \frac{1}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} > 0 \]
\[ \Rightarrow \varphi \in [0, \pi/2] \]
\[ \varphi = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \]
- Quand \( x \to 0^+ \) : \[ \varphi = \frac{\pi}{2} \]
- Quand \( x = 1 \) : \[ \varphi = \frac{\pi}{4} \]
- Quand \( x \to +\infty \) : \[ \varphi = 0 \]
II) Filtre passe-haut du 2ème ordre
Un circuit est dit filtre de deuxième ordre si la tension d’entrée et la tension de sortie sont liées par une équation différentielle du second ordre.
1) Filtre passe - bas de deuxième ordre
a) Exemple
b) Étude rapide des limites :
En très basse fréquence (T.B.F.) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to +\infty \)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to 0 \)
Fonction de transfert : \( \underline{H} \to 1 \)
En très haute fréquence (T.H.F.) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to 0 \)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to +\infty \)
Fonction de transfert : \( \underline{H} \to 0 \)
Conclusion : il s'agit d'un filtre passe bas
c) Calcul de la fonction de transfert :
Pour un filtre RLC série typique (entrée sur R+L, sortie sur C) :
\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega}} \]
Après simplification :
\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega} \]
Vérification des limites :
- Quand \( \omega \to 0 \) : \( \underline{H} \to 1 \)
- Quand \( \omega \to +\infty \) : \( \underline{H} \to 0 \)
On retrouve le comportement limite d’un filtre passe-bas.
On pose :
- \( \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (pulsation propre)
- Facteur de qualité : \( Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0} \)
On a les relations :
\[ LC\omega^2 = \left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 \quad \text{et} \quad RC\omega = \frac{\omega}{\omega_0 Q} \]
La fonction de transfert devient sous forme canonique :
\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 - \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^2 + j\dfrac{\omega}{\omega_0 Q}} \]
Forme générale d’un filtre passe-bas du 2ème ordre :
\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{H_0}{1 - \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^2 + j\dfrac{\omega}{\omega_0 Q}} \]
avec \( H_0 \) le gain à fréquence nulle (ici \( H_0 = 1 \)).
La forme canonique reste inchangée, mais les valeurs de \( \omega_0 \) et \( Q \) dépendent du circuit RLC réalisé (leurs expressions changent selon la configuration).
d) Étude du gain :
On pose \( x = \dfrac{\omega}{\omega_0} \).
Le gain en décibels s’écrit :
\[ G_{\text{dB}} = 20 \log |\underline{H}| = G_0 + 20 \log \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2 + \left(\dfrac{x}{Q}\right)^2}} \]
avec
\[ G_0 = 20 \log |H_0| \]
Comportement asymptotique :
-
En T.B.F. (\( \omega \ll \omega_0 \Rightarrow x \ll 1 \)) :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as1}} = G_0 \]
Asymptote horizontale à \( G_0 \).
-
En T.H.F. (\( \omega \gg \omega_0 \Rightarrow x \gg 1 \)) :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as2}} = G_0 - 20 \log(x^2) \]
\[ = G_0 - 40 \log(x) \]
Asymptote de pente : -40 dB/décade.
Les deux asymptotes se croisent lorsque :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as1}} = G_{\text{dB}}^{\text{as2}} \]
c'est-à-dire pour \( x = 1 \) ou \( \omega = \omega_0 \).
Remarque sur la résonance :
Comme vu dans le chapitre précédent sur le circuit RLC série, il y a résonance si :
\[ Q > \frac{1}{\sqrt{2}} \]
La pulsation de résonance est alors :
\[ \omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} < \omega_0 \]
e) Étude de la phase :
On suppose \( H_0 = 1 \) réel positif.
On a :
\[ \underline{H} = \frac{1}{1 - x^2 + j \frac{x}{Q}} \quad \text{avec} \quad x = \frac{\omega}{\omega_0} \]
-
En T.B.F. (\( \omega \ll \omega_0 \Rightarrow x \ll 1 \)) :
\[ \underline{H} \simeq 1 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varphi = 0} \]
-
En T.H.F. (\( \omega \gg \omega_0 \Rightarrow x \gg 1 \)) :
\[ \underline{H} \simeq -\frac{1}{x^2} \quad \text{(réel négatif)} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varphi = -\pi} \]
Cas général où \( H_0 \neq 1 \) :
- Si \( H_0 > 0 \) → les résultats précédents ne sont pas modifiés.
- Si \( H_0 < 0 \) → il faut ajouter \( \pi \) (ou \( -\pi \)) au déphasage précédent.
2 -ème méthode :
Pour \( H_0 = 1 \) :
\[ \underline{H} = \frac{1}{1 - x^2 + j \frac{x}{Q}} \]
Le déphasage \( \varphi = \arg(\underline{H}) \) est donné par :
\[ \varphi = -\arg\left( 1 - x^2 + j \frac{x}{Q} \right) \]
On a :
\[ \tan \varphi = \frac{-\frac{x}{Q}}{1 - x^2} = \frac{-x}{Q(1 - x^2)} \]
On peut aussi écrire :
\[ \sin \varphi = \frac{-\frac{x}{Q}}{\sqrt{(1 - x^2)^2 + \left( \frac{x}{Q} \right)^2}} < 0 \]
Ainsi \( -\pi < \varphi < 0 \) (déphasage toujours négatif pour un filtre passe-bas).
-
En T.B.F. (\( x \to 0 \)) :
\( \tan \varphi \to 0^- \) ⇒ \( \varphi \to 0^- \) (approche par valeurs négatives)
-
En T.H.F. (\( x \to +\infty \)) :
\( \tan \varphi \to 0^+ \) ⇒ \( \varphi \to -\pi \) (approche par valeurs positives)
-
Pour \( \omega = \omega_0 \). (\( x = 1 \)) :
\( \tan \varphi \to -\infty \) ⇒ \( \varphi \to -\dfrac{\pi}{2} \)
2) Filtre passe-haut du deuxième ordre :
a) Exemple :
b) Étude des comportements limites :
1. En très basse fréquence (T.B.F. : ω → 0) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to +\infty \) (circuit ouvert)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to 0 \) (court-circuit)
La sortie est prélevée aux bornes d’un court-circuit → \( \underline{V_s} = 0 \).
\[ \underline{H} = 0 \]
2. En très haute fréquence (T.H.F. : ω → +∞) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to 0 \) (court-circuit)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to +\infty \) (circuit ouvert)
La sortie est prélevée aux bornes d’un circuit ouvert → \( \underline{V_s} = \underline{V_e} \).
\[ \underline{H} = 1 \]
Conclusion :
Le filtre :
- Bloque les basses fréquences (\( H = 0 \))
- Laisse passer les hautes fréquences (\( H = 1 \))
→ Il s’agit d’un filtre passe-haut du deuxième ordre.
c) Calcul de la fonction de transfert :
En utilisant le diviseur de tension :
\[ \underline{H} = \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} = \frac{jL\omega}{R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega}} \]
Après simplification :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{-LC\omega^2}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega}} \]
Vérification des limites :
- Si \( \omega \to 0 \) : \( \underline{H} \to 0 \)
- Si \( \omega \to +\infty \) : \( \underline{H} \to 1 \)
On confirme le comportement passe-haut.
Forme canonique :
On pose :
- \( \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (pulsation propre)
- \( Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0} \) (facteur de qualité)
- \( x = \dfrac{\omega}{\omega_0} \) (pulsation normalisée)
On obtient :
\[ \underline{H} = \frac{-\left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^2}{1 - \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^2 + j\dfrac{\omega}{\omega_0 Q}} \]
Soit :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{-x^2}{1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q}}} \]
Dans le cas général :
La fonction de transfert d'un filtre passe-haut du deuxième ordre s'écrit sous forme canonique :
\[ \underline{H} = \frac{-x^2 H_0}{1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q}} \]
où \( H_0 \) est le gain à fréquence infinie (ici \( H_0 = 1 \)).
Étude du gain :
Le gain en décibels s'écrit :
\[ G_{\text{dB}} = 20 \log |\underline{H}(x)| = G_0 + 20 \log \frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2 + \left( \dfrac{x}{Q} \right)^2}} \]
avec \( G_0 = 20 \log H_0 \).
Comportement asymptotique :
En T.B.F. (\( \omega \ll \omega_0 \Rightarrow x \ll 1 \)) :
\[ (1-x^2)^2 + \left( \frac{x}{Q} \right)^2 \simeq 1 \]
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as1}} = G_0 + 20 \log(x^2) = G_0 + 40 \log(x) \]
Asymptote de pente : +40 dB/décade.
En T.H.F. (\( \omega \gg \omega_0 \Rightarrow x \gg 1 \)) :
\[ (1-x^2)^2 + \left( \frac{x}{Q} \right)^2 \simeq x^4 \]
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as2}} = G_0 + 20 \log \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = G_0 \]
Asymptote horizontale à \( G_0 \).
Les deux asymptotes se croisent lorsque :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as1}} = G_{\text{dB}}^{\text{as2}} \]
c'est-à-dire pour \( x = 1 \) ou \( \omega = \omega_0 \).
Remarque sur la résonance :
Il y a résonance (surélévation du gain) si :
\[ Q > \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Dans ce cas, la pulsation de résonance \( \omega_r \) vérifie :
\[ \omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} < \omega_0 \]
e) Étude de la phase :
On suppose \( H_0 = 1 \) réel positif.
\[ \underline{H} = \frac{-x^2}{1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q}} \quad \text{avec} \quad x = \frac{\omega}{\omega_0} \]
On décompose :
\[ \varphi = \arg(\underline{H}) = \arg(-x^2) - \arg\left( 1 - x^2 + j\frac{x}{Q} \right) \]
Or \( \arg(-x^2) = \pi \) (pour \( x > 0 \)).
Soit \( \varphi_0 = \arg\left( 1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q} \right) \).
Alors :
\[ \boxed{\varphi = \pi - \varphi_0} \]
Avec :
\[ \tan \varphi_0 = \frac{\dfrac{x}{Q}}{1 - x^2} = \frac{x}{Q(1 - x^2)} \]
Comme \( \sin \varphi_0 > 0 \), on a \( 0 < \varphi_0 < \pi \).
Donc \( 0 < \varphi < \pi \).
Comportement aux limites :
-
Si \( x \to 0 \) (T.B.F.) :
\( \tan \varphi_0 \to 0^+ \) ⇒ \( \varphi_0 \to 0 \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to \pi} \)
-
Si \( x \to +\infty \) (T.H.F.) :
\( \tan \varphi_0 \to 0^- \) ⇒ \( \varphi_0 \to \pi \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to 0} \)
-
Si \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_0 \)) :
\( \tan \varphi_0 \to +\infty \) ⇒ \( \varphi_0 \to \dfrac{\pi}{2} \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to \dfrac{\pi}{2}} \)
3) Filtre passe-bande du deuxième ordre
a) Exemple :
b) Étude des comportements limites :
1. En très basse fréquence (T.B.F. : ω → 0) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to +\infty \) (circuit ouvert)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to 0 \) (court-circuit)
La sortie est aux bornes de R, mais le courant est nul car C est ouvert → \( \underline{V_s} = 0 \).
\[ \boxed{H = 0} \]
2. En très haute fréquence (T.H.F. : ω → +∞) :
- \( \underline{Z_C} = \dfrac{1}{jC\omega} \to 0 \) (court-circuit)
- \( \underline{Z_L} = jL\omega \to +\infty \) (circuit ouvert)
La sortie est aux bornes de R, mais le courant est nul car L est ouvert → \( \underline{V_s} = 0 \).
\[ \boxed{H = 0} \]
3. À la pulsation propre (ω = ω₀) :
À la résonance, les impédances de L et C se compensent :
\( \underline{Z_L} + \underline{Z_C} = 0 \) (circuit résonant série)
L'impédance totale se réduit à R, et \( \underline{V_s} = \underline{V_e} \).
\[ \boxed{H = 1} \]
Conclusion :
Le filtre :
- Bloque les basses fréquences (\( H = 0 \))
- Bloque les hautes fréquences (\( H = 0 \))
- Laisse passer la fréquence de résonance \( \omega_0 \) (\( H = 1 \))
→ Il s'agit d'un filtre passe-bande du deuxième ordre.
c) Calcul de la fonction de transfert :
On applique le diviseur de tension :
\[ \underline{H} = \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} = \frac{R}{R + jL\omega + \dfrac{1}{jC\omega}} \]
Après simplification, on obtient deux formes équivalentes :
Première forme :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{1}{1 + j\left( \dfrac{L\omega}{R} - \dfrac{1}{RC\omega} \right)}} \]
Deuxième forme :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{jRC\omega}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega}} \]
Forme canonique :
On pose :
- \( \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (pulsation propre)
- \( Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0} \) (facteur de qualité)
La fonction de transfert devient :
Forme 1 :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{1}{1 + jQ\left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)}} \]
Forme 2 :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{j\dfrac{\omega}{\omega_0}Q}{1 - \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^2 + j\dfrac{\omega}{\omega_0}Q}} \]
Forme générale d'un filtre passe-bande du 2ème ordre :
Forme 1 :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{H_0}{1 + jQ\left( x - \dfrac{1}{x} \right)}} \]
Forme 2 :
\[ \boxed{\underline{H} = \frac{j\dfrac{x}{Q} H_0}{1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q}}} \]
avec \( x = \dfrac{\omega}{\omega_0} \) et \( Q \) le facteur de qualité.
Module de la fonction de transfert :
\[ |\underline{H}| = H = \frac{|H_0|}{\sqrt{1 + Q^2 \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)^2}} \]
Le gain maximum est atteint à la résonance (\( \omega = \omega_0 \)) :
\[ H_{\text{max}} = |H_0| \]
Le gain chute de part et d'autre de \( \omega_0 \), caractéristique d'un filtre passe-bande.
d) Étude du gain :
Le gain en décibels s'écrit :
\[ G_{\text{dB}} = 20 \log |\underline{H}(x)| = G_0 + 20 \log \frac{\dfrac{x}{Q}}{\sqrt{(1-x^2)^2 + \left( \dfrac{x}{Q} \right)^2}} \]
avec \( G_0 = 20 \log |H_0| \).
On peut aussi l'exprimer sous la forme :
\[ G_{\text{dB}} = G_0 - 20 \log \sqrt{1 + Q^2\left( x - \dfrac{1}{x} \right)^2} \]
Comportement asymptotique :
En T.B.F. (\( x \ll 1 \)) :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as1}} \simeq G_0 + 20 \log \frac{x}{Q} = G_0 + 20 \log x - 20 \log Q \]
Asymptote de pente : +20 dB/décade.
En T.H.F. (\( x \gg 1 \)) :
\[ G_{\text{dB}}^{\text{as2}} \simeq G_0 + 20 \log \frac{1}{Qx} = G_0 - 20 \log x - 20 \log Q \]
Asymptote de pente : -20 dB/décade.
À la résonance :
Pour \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_0 \)) :
\[ |\underline{H}| = |H_0| \quad \Rightarrow \quad G_{\text{dB}}(x=1) = G_0 \]
Le gain maximum est atteint à la pulsation propre, quelle que soit la valeur de \( Q \).
e) Étude de la phase :
On suppose \( H_0 = 1 \) réel positif.
\[ \underline{H} = \frac{j\dfrac{x}{Q}}{1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q}} \quad \text{avec} \quad x = \frac{\omega}{\omega_0} \]
On décompose :
\[ \varphi = \arg(\underline{H}) = \arg\left( j\dfrac{x}{Q} \right) - \arg\left( 1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q} \right) \]
Or \( \arg\left( j\dfrac{x}{Q} \right) = \dfrac{\pi}{2} \).
Soit \( \varphi_p = \arg\left( 1 - x^2 + j\dfrac{x}{Q} \right) \).
Alors :
\[ \boxed{\varphi = \frac{\pi}{2} - \varphi_p} \]
Avec :
\[ \tan \varphi_p = \frac{\dfrac{x}{Q}}{1 - x^2} = \frac{x}{Q(1 - x^2)} \]
Comme \( \sin \varphi_p > 0 \), on a \( 0 < \varphi_p < \pi \).
Donc \( -\dfrac{\pi}{2} < \varphi < \dfrac{\pi}{2} \).
Comportement aux limites :
-
Si \( x \to 0 \) (T.B.F.) :
\( \tan \varphi_p \to 0 \) ⇒ \( \varphi_p \to 0 \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to \dfrac{\pi}{2}} \)
-
Si \( x \to +\infty \) (T.H.F.) :
\( \tan \varphi_p \to 0 \) ⇒ \( \varphi_p \to \pi \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to -\dfrac{\pi}{2}} \)
-
Si \( x = 1 \) (\( \omega = \omega_0 \)) :
\( \tan \varphi_p \to +\infty \) ⇒ \( \varphi_p \to \dfrac{\pi}{2} \)
⇒ \( \boxed{\varphi \to 0} \)
Le déphasage est nul à la résonance.
