Instructions générales : Dans les circuits étudiés, les générateurs sont sauf mention contraire idéaux, et on désigne, toujours sauf mention contraire, par \(t=0\) le moment où l'on ferme l'interrupteur.
On prolonge par continuité et par valeurs supérieures les fonctions en 0, c'est-à-dire qu'on note \(f(0)\) la valeur de la limite de \(f\) quand \(t \rightarrow 0^{+}\)
Exercice 1: Circuit RC
Dans le circuit représenté figure 11, on ferme l'interrupteur à la date \(t=0\), le condensateur étant déchargé. On note \(q\) la charge du condensateur.
1 ⨀ Établir les valeurs en \(t=0^{+}\), \(q(0^{+})\), \(i(0^{+})\), \(i_{R}(0^{+})\) et \(i_{C}(0^{+})\).
2 ⨀ Déterminer la valeur de \(q\) en régime permanent (\(t \rightarrow +\infty\))
3 ⨀ Déterminer l'équation différentielle vérifiée par \(q(t)\)
4 ⨀ Établir l'expression de \(q(t)\)
5 ⨀ En déduire \(i\), \(i_{R}\), \(i_{C}\) en fonction du temps.
6 ⨀ Calculer à la date \(t_{1}\) l'énergie stockée dans le condensateur.
7 ⨀ Calculer l'énergie dissipée par les résistances entre 0 et \(t_{1}\), et celle fournie par le générateur durant le même temps. Vérifier la conservation de l'énergie.
Indications : Pour l'exercice 1, penser à utiliser les lois des mailles et des nœuds, ainsi que les relations caractéristiques du condensateur \(i_C = \frac{dq}{dt}\) et \(u_C = \frac{q}{C}\).
Exercice 2 : Circuit RLC
On considère le circuit de la figure 2 où à t<0 l'interrupteur est ouvert depuis suffisamment longtemps pour pouvoir considérer que tous les grandeurs sont nuls.
1 ⨀ Déterminer \(u(0)\) et \(\frac{du}{dt}(0)\)
2 ⨀ Déterminer l'équation différentielle vérifiée par \(u\)
3 ⨀ À quelle condition sur \(R\) a-t-on un régime pseudo-périodique ?
4 ⨀ En déduire \(u(t)\) dans ce cas
À \(t=t_{1}>0\), on ouvre l'interrupteur. On suppose qu'à \(t_{1}\) on a largement dépassé la fin du régime transitoire, ce qui implique que les grandeurs ont une valeur assimilable à leur limite en l'infini.
5 ⨀ Déterminer \(u(t_{1}^{-})\) ainsi que les diverses intensités en \(t_{1}^{-}\)
6 ⨀ En déduire \(u(t1)\) et \(\frac{du}{dt}(t_{1})\)
7 ⨀ Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par \(u\), et la résoudre dans le cas d'un régime critique.
