Cavités Résonnantes
Pour atteindre des énergies supérieures, en gardant une longueur de tubes raisonnable, il faut augmenter la fréquence du générateur. À haute fréquence, les tubes se comportent comme des antennes dipolaires et rayonnent énormément d'énergie. La solution, pour éviter ces pertes, consiste à enfermer les tubes dans une cavité résonnante dont les parois réfléchissent le rayonnement.
Les cavités, pour les ondes radio-fréquences (RF), peuvent être modélisées par un circuit électrique simple. L'excitation est modélisée par un générateur idéal de tension. On se place en régime sinusoïdal forcé à la pulsation \(\omega\) et on adopte la notation complexe :
\[\underline{u}(t) = \mathcal{R}e[\underline{u}(t)] \quad \text{et} \quad \underline{u}(t) = U_m \exp(j\omega t)\]
avec \(j^2 = -1\) et \(\mathcal{R}e[\underline{u}(t)]\) désigne la partie réelle du nombre complexe \(u(t)\).
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1) Modèle électrique d'une cavité parfaite
Une cavité parfaite peut être modélisée par un condensateur de capacité \(C\) mis en parallèle avec une bobine d'inductance \(L\). Le faisceau est modélisé par une résistance de charge \(R\) (figure-1).
a) Donner l'impédance complexe équivalente de la cavité résonnante parfaite.
b) Donner les expressions réelles du courant \(i_1(t)\) traversant la résistance \(R\) et \(i_2(t)\) traversant la cavité, en fonction de \(U_m\), \(R\), \(L\), \(C\), \(\omega\) et \(t\).
c) Pour quelle valeur particulière \(\omega_0\) de \(\omega\), \(i_2(t)\) est-il nul ?
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2) Modèle électrique d'une cavité réelle
Dans une cavité réelle, les courants surfaciques sur les bords de la cavité induisent des pertes. On modélise ces pertes par une résistance \( r \) placée en série avec la bobine.
Dans la suite on note \( x = \frac{\omega}{\omega_0} \) où \( \omega_0 \) a été définie à la question précédente.
a) Calculer l'impédance complexe équivalente \( \underline{Z} \) de la cavité résonante réelle.
b) Montrer que le module au carré de cette impédance peut s'écrire sous la forme :
\[|\underline{Z}|^2 = r^2 \frac{1 + Q^2 x^2}{(1 - x^2)^2 + \frac{x^2}{Q^2}}\]
On exprimera \( Q \) en fonction de \( L \), \( \omega_0 \) et \( r \).
c) Soit \( i_L(t) = I_0 \cos (\omega t + \alpha) \) le courant circulant dans la branche contenant la bobine et la résistance \( r \). Exprimer \( I_0 \), tant \( \alpha \) et \( \sin \alpha \) en fonction de \( L \), \( U_m \), \( \omega \) et \( r \).
d) Dans la suite de l'énoncé, on se place dans une situation où \( L\omega \gg r \). Que vaut alors \( \alpha \) ? Que peut-on alors dire du courant circulant dans la bobine et de la tension aux bornes du condensateur ?
e) On suppose que \( \omega = \omega_0 \). En déduire une expression de l'énergie \( U \) totale stockée dans la cavité résonnante en fonction de \( L \) et \( I_0 \).
f) Exprimer la puissance moyenne \( P \) dissipée dans \( r \). Montrer que l'on trouve la relation suivante :
\[Q = \frac{\omega_0 U}{P}\]
g) Lorsque la cavité est à température ambiante, le facteur de qualité vaut \( Q = 3,00.10^4 \). À la température de 4 K, \( Q = 10^{10} \) et la puissance dissipée vaut 16 W.
Que vaudrait la puissance dissipée dans une cavité fonctionnant à température ambiante et ayant la même énergie stockée ? Justifier alors l'intérêt d'utiliser des cavités supraconductrices.
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3) Modèle électrique pour deux cavités idéales couplées
On considère deux cavités idéales identiques couplées par un condensateur \( C_c \). On note \( V_1 \) et \( V_2 \) les tensions aux bornes des condensateurs, avec la convention décrite sur la figure-3.
On pose :
\[D = \frac{C_c}{C}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{et} \quad x = \frac{\omega}{\omega_0}\]
a) Soit \( i \) l'intensité du courant dans la branche du condensateur \( C_c \). Exprimer \( i \) en fonction de \( C_c \), \( \frac{dV_1}{dt} \) et \( \frac{dV_2}{dt} \).
b) En déduire le système d'équations différentielles couplées vérifiées par \( V_1 \) et \( V_2 \).
c) En régime sinusoïdal forcé, montrer que le système d'équation revient à résoudre :
\[(1 - (1 + D)x^2)^2 - D^2x^4 = 0\]
d) Trouver les deux pulsations propres et commenter.
e) Si le système comprend \( N \) cavités couplées, combien trouvera-t-on de modes propres ?
4) Application numérique
On étudie une cavité, fonctionnant avec une source radio-fréquence délivrant la tension :
\[V(t) = -V_{\text{max}} \sin (2\pi f_{RF}t + \phi)\]
On prendra les valeurs numériques suivantes : fréquence \( f_{RF} = 700 \, \text{MHz} \) et \( V_{\text{max}} = 1,00.10^6 \, \text{V} \).
Calculer la période du champ radio-fréquence.
Conclusion
Les cavités résonnantes jouent un rôle essentiel dans les accélérateurs de particules modernes, permettant d'atteindre des énergies élevées tout en minimisant les pertes par rayonnement. L'utilisation de cavités supraconductrices, fonctionnant à basse température, permet de réduire considérablement les pertes énergétiques et d'augmenter le facteur de qualité, rendant ces systèmes plus efficaces pour la recherche en physique des particules.