Problème 1 : Fonctionnement d'une lampe

Remarque : Les trois parties de ce problème sont indépendantes.

Une lampe de résistance \( R_L \) (on rappelle que la caractéristique d'une lampe est assimilable à celle d'un conducteur ohmique) est insérée dans le circuit présenté figure 1. Pour les applications numériques, on prendra \( e = 1,00 \, \text{V} \), \( \eta = 100,0 \, \text{mA} \), \( R_1 = 300,0 \, \Omega \), \( R_2 = 200,0 \, \Omega \) et \( R_L = 50,0 \, \Omega \).

A. Recherche du point de fonctionnement par plusieurs méthodes

1. Déterminer l'expression de \( U_{AB} \) en fonction des données de l'énoncé sans simplifier le circuit, à l'aide uniquement des lois de Kirchhoff et de la loi d'Ohm. Faire l'application numérique.
2. Déterminer l'expression de \( U_{AB} \) en fonction des données de l'énoncé grâce au théorème de Millman ou à la loi des nœuds en termes de potentiel, vérifier la concordance avec la méthode précédente.
3. Réduire le circuit à l'aide des équivalences Thévenin-Norton et déterminer l'expression de \( U_{AB} \) à l'aide d'un pont diviseur de tension, vérifier la concordance avec la méthode précédente.

B. Étude énergétique

Le circuit précédent est équivalent au circuit présenté figure 2, avec \( \eta_{eq} = 95,0 \, \text{mA} \) et \( R_{eq} = 120,0 \, \Omega \).

4. Exprimer la puissance reçue par la lampe en fonction de \( \eta_{eq} \), \( R_{eq} \) et \( R_L \). (L'utilisation d'un pont diviseur de courant peut être bienvenue).
5. Calculer l'énergie reçue par cette lampe pendant un intervalle de temps \( \Delta t = 10,0 \, \text{min} \).
6. Calculer l'énergie fournie par le générateur équivalent pendant \( \Delta t \).
7. Par un bilan énergétique calculer l'énergie reçue par le conducteur ohmique de résistance \( R_{eq} \).

Le générateur utilisé est maintenant un variateur. \( \eta_{eq} \) dépend du temps de la manière suivante :

• pour \( t < 0, \eta_{eq}(t) = 0 \)
• pour \( 0 \leq t \leq t_1, \eta_{eq}(t) = \frac{\eta_0}{t_1} t \)
• pour \( t \geq t_1, \eta_{eq}(t) = \eta_0 \)

où \( \eta_0 = 95,0 \, \text{mA} \).

8. Tracer l'allure du graphe \( \eta_{eq}(t) \) en fonction du temps.
9. Calculer l'énergie reçue par la lampe entre les instants \( t_0 = 0 \, \text{et} \, 2t_1 \). Faire l'application numérique pour \( t_1 = 5,00 \, \text{min} \).

C. Caractéristique de la lampe

On voudrait pouvoir vérifier que la caractéristique courant-tension de la lampe est bien de la forme \( U_{AB} = R_L i_{AB} \). Pour cela on utilise le montage de la figure 3. Le voltmètre et le multimètre ont les mêmes caractéristiques que des conducteurs ohmiques de résistances respectives \( R_V \) et \( R_A \).

10. L'ampèremètre mesure-t-il l'intensité qui circule dans la lampe ? Le voltmètre mesure-t-il la tension aux bornes de la lampe ? Si ce n'est pas le cas que mesurent-ils ?
11. Quel autre circuit peut-on imaginer ? Que mesureraient les multimètres ?
12. En utilisant le montage de la figure 3, à quelle condition sur \( R_A \) par rapport à \( R_L \) a-t-on \( U_V \approx U_{AB} \) ?

La notice des appareils de mesure indique que l'ampèremètre réalise une mesure avec une incertitude de 0,7 % et le voltmètre 0,4 %. Ces appareils indiquent une mesure de \( I_A = 202,3 \, \text{mA} \) et \( U_V = 10,3 \, \text{V} \). En déduire le résultat à donner pour \( R_L \). On rappelle la formule de propagation des incertitudes suivante :

Problème 2 : Études des régimes transitoires en électrocinétique

Remarque : la question 1 est une question de cours et doit donc être traitée rapidement.

A. Étude d'un circuit

Un dipôle \( AB \) est constitué d'un conducteur ohmique de résistance \( R \) en série avec un condensateur de capacité \( C \). On place ce dipôle aux bornes d'un générateur réel, modélisé par un générateur idéal de tension continue de \( f.e.m. E \) et de résistance interne \( R_g \) avec un interrupteur \( K \) (voir figure 1).

Initialement le circuit est ouvert, et le condensateur est déchargé. À l'instant \( t = 0 \), on ferme l'interrupteur \( K \). On note \( U_s(t) \) la tension aux bornes du condensateur à l'instant \( t \).

1. Que vaut \( U_s(t) \) pour \( t < 0 \) ?
2. Vers quelle limite tend \( U_s(t) \) quand \( t \) tend vers \( +\infty \) ? Justifier.
3. Pour \( t \geq 0 \), établir l'équation différentielle à laquelle obéit \( U_s(t) \).
4. Donner l'expression de \( U_s(t) \) pour \( t \geq 0 \).
5. Déterminer la constante de temps \( \tau \) du circuit, et donner son interprétation physique.

Application numérique : calculer \( \tau \) pour \( R = 1,0 \, \text{k}\Omega, \, R_g = 150 \, \Omega, \, E = 12 \, \text{V} \) et \( C = 4,7 \, \mu\text{F} \).

6. Tracer l'allure du graphe \( U_s \) en fonction de \( t \).
7. Au bout de combien de temps à partir de la fermeture du circuit le condensateur est-il chargé à 99 % ? Donner le résultat sous forme d'un multiple entier de \( \tau \), puis faire l'application numérique.
8. Donner l'expression de \( i(t) \) pour \( t < 0 \) et pour \( t \geq 0 \).
9. Tracer le graphe \( i \) en fonction de \( t \). Quelle particularité met-il en évidence ?

B. Étude expérimentale du circuit

Afin de tracer à l'oscilloscope le graphe \( U_s(t) \), on branche en parallèle du condensateur un oscilloscope. L'appareil n'étant pas parfait, il introduit dans le circuit un conducteur ohmique supplémentaire de résistance \( R_e \) et un condensateur de capacité \( C_e \), tel que cela est représenté sur la figure 2.

10. Quelle relation a-t-on entre \( i \) et \( q \) puis entre \( i \) et \( U_s \) ? Quelle relation a-t-on entre \( i_e \) et \( q_e \) puis entre \( i_e \) et \( U_s \) ?
11. Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par \( U_s(t) \) pour \( t > 0 \).
12. Quelle est la nouvelle constante de temps \( \tau' \) ?
13. À quelle condition sur \( R_e \) et \( C_e \) va-t-on pouvoir négliger l'influence de l'oscilloscope sur les mesures ?

C. Décharge du condensateur dans un autre condensateur

On retire l'oscilloscope de la question 2. Le condensateur de capacité \( C \), une fois chargé, est débranché et placé aux bornes d'un condensateur de capacité \( C' \), initialement déchargé (figure 3), ce qui revient à déplacer l'interrupteur de la position (1) à la position (2).

14. Quelle relation a-t-on entre \( i \) et \( q \) ? entre \( i \) et \( q' \), charge du deuxième condensateur ? En déduire une relation entre \( q \) et \( q' \).
15. Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge \( q \) du condensateur de capacité \( C \).
16. Résoudre cette équation différentielle afin de donner l'expression de \( q \) en fonction du temps.
17. Calculer les valeurs limites de \( q \) et \( q' \) au bout d'un temps infini, qu'on notera \( q_{\infty} \) et \( q'_{\infty} \).

Problème 3 : Étude d'un filtre RLC série

A. Bobine idéale

On étudie le circuit \( R,L,C \) série présenté figure 1.

Dans la première partie du problème, la bobine d'inductance \( L \) est supposée idéale, c'est-à-dire sans résistance. On note \( u_c(t) \) la tension aux bornes du conducteur ohmique (dite tension de sortie). Le circuit fonctionne en régime sinusoïdal forcé, de pulsation \( \omega \) (ou fréquence angulaire). On choisit pour la tension d'entrée \( u_c(t) \) une phase à l'origine nulle.

A.1. Amplitudes complexes

1. On note \( u_{s,m} \) et \( u_{e,m} \) les amplitudes respectivement des tensions \( u_s(t) \) et \( u_e(t) \). On note \( \varphi \) la phase à l'origine de \( u_c(t) \). Donner les expressions de \( u_c(t) \) et \( u_e(t) \) en fonction de leurs amplitudes respectives et en fonction du temps.
2. Donner les expressions des amplitudes complexes \( \underline{u}_{s,m} \) et \( \underline{u}_{e,m} \) en fonction de leurs amplitudes respectives et de leurs phases à l'origine respectives et en notant j le nombre complexe tel que \( j^2 = -1 \).
3. Donner l'expression de l'impédance complexe \( \underline{Z} \) du dipôle \( AB \) en le mettant sous la forme \( \underline{Z} = a + bj \) où \( a \) et \( b \) sont des réels.
4. Exprimer en fonction de \( R,L,C \) et \( \omega \) le rapport complexe \( \underline{H}(\omega) = \underline{u}_{s,m}/\underline{u}_{e,m} \), appelée fonction de transfert complexe.

On pose pour toute la suite du problème :

• \( \omega_0 = 1/\sqrt{LC} \), appelée pulsation propre du circuit
• \( x = \omega/\omega_0 \), la pulsation réduite, sans dimension
• \( Q = (L/R) \cdot \omega_0 \), le facteur de qualité du circuit

5. Donner l'expression du facteur de qualité en fonction de \( R,C \) et \( \omega_0 \)
6. Montrer que la fonction de transfert complexe peut se mettre sous la forme :

où \( k \) est une constante à déterminer. Si la relation n'est pas démontrée, continuer le problème en l'admettant, et en conservant la lettre \( k \).

A.2. Analyse du déphasage

7. Donner l'expression du déphasage \( \varphi \) de \( u_c(t) \) par rapport à \( u_c(t) \) en fonction de \( Q \) et de \( x \).
8. Calculer la valeur de \( x \), puis de \( \omega \) pour laquelle le déphasage entre \( u_c(t) \) et \( u_e(t) \) est nul.
9. Calculer les limites de \( \varphi \) lorsque \( x \to 0 \) et \( x \to +\infty \).

10. Déduire des questions précédentes l'allure de la courbe \(\varphi\) en fonction de \(x\), variable proportionnelle à la pulsation.

A.3. Analyse du gain

On note \( G(x) = |\underline{H}(x)| = u_{s,m}/u_{e,m} \), appelée gain en amplitude.

11. Donner l'expression de \( G(x) \) et calculer ses limites lorsque \( x \to 0 \) et \( x \to +\infty \).
12. Montrer que \( G(x) \) passe par un maximum, noté \( G_{\max} \), et indépendant du facteur de qualité \( Q \) du circuit.
13. Déduire des questions précédentes l'allure de la courbe \( G \) en fonction de \( x \).

A.4. Bande passante

On appelle bande passante du circuit l'intervalle \( [x_1 ; x_2] \) tel que \( \forall x \in [x_1 ; x_2], G(x) \geq G_{\max}/\sqrt{2} \).

14. Donner l'expression de \( x_1 \) puis de \( x_2 (x_1 < x_2) \).
15. Calculer la largeur de la bande passante \( \Delta x = x_2 - x_1 \) en fonction de \( Q \), puis la largeur de la bande passante en pulsation \( \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \) en fonction de \( Q \) et \( \omega_0 \), ainsi qu'en fonction de \( L \) et \( R \).
16. Expliquer qualitativement que cette bande passante détermine la valeur des pulsations avec lesquelles il faut travailler pour que le courant « passe » dans le circuit.
17. Montrer que l'on fait une forte sélection des fréquences qui autorisent le passage du courant si le facteur de qualité \( Q \) est élevé.
18. Un premier circuit a un facteur de qualité \( Q_1 = 5 \) et un second \( Q_2 = 10 \). Tracer sur un même graphe l'allure des courbes \( G_1(x) \) et \( G_2(x) \) en faisant apparaître précisément les bandes passantes correspondantes.

B. Détermination des caractéristiques de la bobine

Le filtre précédent ne donne pas entière satisfaction. La cause est attribuée à une résistance \( r \) non nulle de la bobine, hypothèse qu'on se propose de vérifier.

Un oscilloscope bicourbe permet d'étudier :

• Sur la voie I, la tension \( u_i(t) = V_M - V_B \) aux bornes du conducteur chimique,
• Sur la voie II, la tension \( u_{II}(t) = V_A - V_B \) aux bornes du générateur basse fréquence.

19. Reproduire sur votre copie le schéma du circuit, en indiquant clairement les branchements à effectuer pour visualiser effectivement ces tensions. Préciser en particulier le branchement des différentes masses des appareils utilisés.

B.1. Analyse de l'oscillogramme

L'oscillogramme obtenu, ainsi que les indications sur l'échelle commune utilisée pour les deux voies sont reproduites sur la figure 2.

Les données numériques sont \( R = 20 \, \Omega \) et \( C = 10 \, \mu F \).

20. En analysant l'oscillogramme, donner les valeurs numériques la période \( T \) des oscillations, ainsi que de la fréquence \( f \) et de la fréquence angulaire (pulsation) \( \omega \).
21. En analysant l'oscillogramme, donner les valeurs numériques des amplitudes \( u_{e,m} \) de la tension et \( i_m \) de l'intensité dans le circuit. Donner la valeur numérique de l'impédance réelle \( Z = u_{e,m}/i_m \).
22. Des deux tensions \( u_i(t) \) et \( u_{ii}(t) \), préciser celle qui est en avance de phase sur l'autre.
23. Calculer alors le déphasage \( \varphi \) de l'intensité dans le circuit par rapport à la tension d'entrée \( u_e(t) \).
24. Montrer que dans l'hypothèse de la bobine idéale de résistance nulle, les valeurs numériques de \( Z, \varphi \) et \( R \) (donnée dans l'énoncé) sont incohérentes.
25. Il est donc nécessaire de prendre en compte la résistance \( r \) de la bobine. Calculer numériquement \( r \).
26. En déduire la valeur numérique de l'inductance \( L \) de la bobine.