Exercice 1 : Circuit RC
Circuit étudié :
\[ \begin{array}{c} r \\ \downarrow i \\ E \uparrow \\ R \quad C \\ u_c \end{array} \]
1) Conditions initiales
À \( t = 0 \), l'interrupteur est fermé. Le condensateur est initialement déchargé :
\[ u_c(0) = 0 \]
Par continuité de la tension aux bornes du condensateur :
\[ u_c(0^+) = 0 \]
Loi des mailles : \( E - r i - u_c = 0 \)
À \( t = 0^+ \) :
\[ E - r i(0^+) - u_c(0^+) = 0 \]
\[ i(0^+) = \frac{E}{r} \]
La charge initiale du condensateur :
\[ q(0^+) = C u_c(0^+) = 0 \]
Le courant dans la résistance R :
\[ u_R(0^+) = R i_R(0^+) = 0 \Rightarrow i_R(0^+) = 0 \]
Loi des nœuds : \( i = i_R + i_C \)
\[ i(0^+) = i_R(0^+) + i_C(0^+) \]
\[ \frac{E}{r} = 0 + i_C(0^+) \]
\[ i_C(0^+) = \frac{E}{r} \]
2) Régime permanent
En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert :
\[ i_C(\infty) = 0 \]
Circuit équivalent :
\[ E = (r + R)i \Rightarrow i = \frac{E}{R + r} \]
\[ u_c = R i_R = R i \]
\[ u_c(\infty) = \frac{R}{R + r} E \]
Charge finale du condensateur :
\[ q(\infty) = C u_c(\infty) = \frac{C R}{R + r} E \]
3) Équation différentielle
Loi des mailles : \( E - r i - u_c = 0 \)
Loi des nœuds : \( i = i_R + i_C = \frac{u_c}{R} + C \frac{du_c}{dt} \)
\[ E - r \left( \frac{u_c}{R} + C \frac{du_c}{dt} \right) - u_c = 0 \]
\[ E - \frac{r}{R} u_c - r C \frac{du_c}{dt} - u_c = 0 \]
\[ r C \frac{du_c}{dt} + \left( 1 + \frac{r}{R} \right) u_c = E \]
En utilisant \( q = C u_c \) :
\[ r C \frac{d}{dt} \left( \frac{q}{C} \right) + \left( 1 + \frac{r}{R} \right) \frac{q}{C} = E \]
\[ r \frac{dq}{dt} + \frac{R + r}{R C} q = E \]
\[ \frac{dq}{dt} + \frac{R + r}{R r C} q = \frac{E}{r} \]
On pose \( \tau = \frac{R r C}{R + r} \) :
\[ \frac{dq}{dt} + \frac{1}{\tau} q = \frac{E}{r} \]
4) Solution de l'équation différentielle
Solution générale :
\[ q(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + B \]
En régime permanent (\( t \to \infty \)) :
\[ q(\infty) = B = \frac{C R}{R + r} E \]
À \( t = 0^+ \) : \( q(0^+) = 0 = A + B \Rightarrow A = -B \)
\[ q(t) = \frac{C R E}{R + r} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \]
Expressions des courants et tensions :
\[ u_c(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{R E}{R + r} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \]
\[ i_R(t) = \frac{u_c}{R} = \frac{E}{R + r} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \]
\[ i_C(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{C R E}{R + r} \cdot \frac{1}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} = \frac{E}{r} e^{-\frac{t}{\tau}} \]
\[ i(t) = i_R(t) + i_C(t) = \frac{E}{R + r} + E \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R + r} \right) e^{-\frac{t}{\tau}} \]
\[ i(t) = \frac{E}{R + r} + \frac{E R}{r(R + r)} e^{-\frac{t}{\tau}} \]
6) Énergie stockée dans le condensateur
\[ E_c(t) = \frac{1}{2} C u_c^2(t) \]
\[ E_c(t) = \frac{1}{2} C \left( \frac{R E}{R + r} \right)^2 \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)^2 \]
Pour \( t > \tau \) :
\[ E_c(t) \approx \frac{1}{2} C \left( \frac{R E}{R + r} \right)^2 \]
7) Puissance fournie par le générateur
Puissance fournie par le générateur : \( P = E i(t) \)
Énergie fournie entre 0 et \( t_1 \) :
\[ W = \int_{0}^{t_1} E i(t) dt \]
\[ W = \int_{0}^{t_1} E \left( \frac{E}{R + r} + \frac{E R}{r(R + r)} e^{-\frac{t}{\tau}} \right) dt \]
\[ W = \frac{E^2 t_1}{R + r} + \frac{E^2 R}{r(R + r)} \tau \left( 1 - e^{-\frac{t_1}{\tau}} \right) \]
Énergie dissipée dans les résistances entre 0 et \( t_1 \) :
\[ W' = \int_{0}^{t_1} \left( i^2 r + i_R^2 R \right) dt \]
On vérifie que \( W = W' \) (conservation de l'énergie).
Exercice 2 : Circuit RLC
Circuit étudié :
\[ \begin{array}{c} r \\ \downarrow i \\ E \uparrow \\ R \quad L \quad C \\ u \end{array} \]
1) Conditions initiales
L'interrupteur est ouvert depuis longtemps :
\[ i_C(0^-) = 0 \quad \text{et} \quad u(0^-) = 0 \]
Continuité de la tension aux bornes du condensateur :
\[ u(0^+) = u(0^-) = 0 \]
Loi des nœuds : \( i = i_R + i_L + i_C \)
À \( t = 0^+ \) : \( u(0^+) = R i_R(0^+) \Rightarrow i_R(0^+) = \frac{u(0^+)}{R} = 0 \)
Continuité du courant dans la bobine : \( i_L(0^+) = i_L(0^-) = 0 \)
Donc :
\[ i(0^+) = i_R(0^+) + i_L(0^+) + i_C(0^+) = i_C(0^+) \]
Loi des mailles :
\[ E - r i - u = 0 \Rightarrow i = \frac{E - u}{r} \]
\[ i(0^+) = \frac{E - u(0^+)}{r} = \frac{E}{r} \]
\[ i_C(0^+) = \frac{E}{r} \]
On sait que : \( i_C = C \frac{du}{dt} \)
\[ i_C(0^+) = C \frac{du}{dt}(0^+) \Rightarrow \frac{du}{dt}(0^+) = \frac{i_C(0^+)}{C} = \frac{E}{r C} \]
2) Équation différentielle pour u(t)
Loi des mailles : \( E - r i - u = 0 \)
\[ E - r(i_R + i_L + i_C) - u = 0 \]
\[ E - r\left( \frac{u}{R} + i_L + C \frac{du}{dt} \right) - u = 0 \]
Pour la bobine : \( u = L \frac{di_L}{dt} \Rightarrow i_L = \frac{1}{L} \int u dt \)
En dérivant l'équation :
\[ 0 - \frac{r}{R} \frac{du}{dt} - r \frac{di_L}{dt} - r C \frac{d^2u}{dt^2} - \frac{du}{dt} = 0 \]
\[ \frac{r}{R} \frac{du}{dt} + \frac{du}{dt} + r C \frac{d^2u}{dt^2} + r \frac{di_L}{dt} = 0 \]
Or \( \frac{di_L}{dt} = \frac{u}{L} \) :
\[ r C \frac{d^2u}{dt^2} + \left( \frac{r}{R} + 1 \right) \frac{du}{dt} + \frac{r}{L} u = 0 \]
\[ \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{1}{C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \frac{du}{dt} + \frac{1}{L C} u = 0 \]
3) Condition pour un régime pseudo-périodique
Équation caractéristique :
\[ r^2 + \frac{1}{C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) r + \frac{1}{L C} = 0 \]
Discriminant :
\[ \Delta = \left[ \frac{1}{C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \right]^2 - \frac{4}{L C} \]
Pour un régime pseudo-périodique, il faut \( \Delta < 0 \) :
\[ \left[ \frac{1}{C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \right]^2 < \frac{4}{L C} \]
\[ \frac{1}{C^2} \left( \frac{R + r}{R r} \right)^2 < \frac{4}{L C} \]
\[ \left( \frac{R + r}{R r} \right)^2 < \frac{4 C}{L} \]
\[ R + r < 2 R r \sqrt{\frac{C}{L}} \]
\[ R > \frac{r}{2 r C \sqrt{\frac{C}{L}} - 1} \]
4) Solution pour u(t)
L'équation caractéristique possède deux racines complexes :
\[ r_{1,2} = -\frac{1}{2C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \pm j \sqrt{ \frac{1}{L C} - \left[ \frac{1}{2C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \right]^2 } \]
On pose :
\[ \lambda = -\frac{1}{2C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \]
\[ \omega = \sqrt{ \frac{1}{L C} - \left[ \frac{1}{2C} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{R} \right) \right]^2 } \]
Solution de l'équation différentielle :
\[ u(t) = e^{\lambda t} (A \cos \omega t + B \sin \omega t) \]
Conditions initiales : \( u(0) = 0 \) et \( \frac{du}{dt}(0) = \frac{E}{r C} \)
\[ u(0) = 0 = A \Rightarrow u(t) = B e^{\lambda t} \sin \omega t \]
\[ \frac{du}{dt} = B (\lambda e^{\lambda t} \sin \omega t + \omega e^{\lambda t} \cos \omega t) \]
\[ \frac{du}{dt}(0) = \frac{E}{r C} = B \omega \Rightarrow B = \frac{E}{r C \omega} \]
\[ u(t) = \frac{E}{r C \omega} e^{\lambda t} \sin \omega t \]