Réaction entre acide méthanoïque et ion éthanoate
Données :
- $V = 50.0\ \text{mL} = 5.0 \times 10^{-2\ \text{L}$
- $n_1 = 2.50 \times 10^{-3}\ \text{mol}$ (acide méthanoïque : $\ce{HCOOH}$)
- $n_2 = 5.00 \times 10^{-3}\ \text{mol}$ (éthanoate de sodium : $\ce{CH3COONa}$)
- Conductivité mesurée : $\sigma = 0.973\ \text{S·m}^{-1}$
- $\lambda^\circ(\ce{HCOO^-}) = 5.46\times10^{-3}\ \text{S·m}^2\text{·mol}^{-1}$
- $\lambda^\circ(\ce{CH3COO^-}) = 4.09\times10^{-3}\ \text{S·m}^2\text{·mol}^{-1}$
- $\lambda^\circ(\ce{Na^+}) = 5.01\times10^{-3}\ \text{S·m}^2\text{·mol}^{-1}$
Remarque : dans le calcul de la conductivité, les concentrations doivent être exprimées en $\text{mol·m}^{-3}$.
1) Équation de la réaction
L’acide méthanoïque $\ce{HCOOH}$ (acide faible) réagit avec l’ion éthanoate $\ce{CH3COO^-}$ (base conjuguée d’un acide faible). Il se produit une réaction acide–base entre deux couples :
\[\ce{HCOOH + CH3COO^- <=> HCOO^- + CH3COOH}\]
Les ions sodium $\ce{Na^+}$ ne participent pas à la réaction, mais ils interviennent dans la conductivité.
2) Tableau d’avancement
| État | $\ce{HCOOH}$ | $\ce{CH3COO^-}$ | $\ce{HCOO^-}$ | $\ce{CH3COOH}$ |
|---|---|---|---|---|
| Initial | $n_1$ | $n_2$ | 0 | 0 |
| Équilibre | $n_1 - \xi_{eq}$ | $n_2 - \xi_{eq}$ | $\xi_{eq}$ | $\xi_{eq}$ |
3) Relation entre les concentrations à l’équilibre
On a, à l’équilibre :
\[[\ce{HCOOH}] = \frac{n_1 - \xi_{eq}}{V},\quad [\ce{CH3COO^-}] = \frac{n_2 - \xi_{eq}}{V},\quad [\ce{HCOO^-}] = \frac{\xi_{eq}}{V}\]
En éliminant $\xi_{eq}$, on établit une relation simple entre les ions formiate et éthanoate :
\[[\ce{CH3COO^-}] = \frac{n_2}{V} - [\ce{HCOO^-}]\]
Autrement dit, la somme des concentrations de ces deux anions reste constante :
\[[\ce{HCOO^-}] + [\ce{CH3COO^-}] = \frac{n_2}{V}\]
Interprétation : l’anion éthanoate initial se transforme partiellement en ion formiate ; la conservation de la matière impose que la somme des deux concentrations reste égale à la concentration initiale de l’anion éthanoate.
4) Expression de la conductivité en fonction de [HCOO⁻]
Les ions présents à l’équilibre sont $\ce{Na^+}$, $\ce{CH3COO^-}$ et $\ce{HCOO^-}$. La conductivité totale s’écrit :
\[\sigma = \lambda_{\ce{Na^+}}[\ce{Na^+}] + \lambda_{\ce{CH3COO^-}}[\ce{CH3COO^-}] + \lambda_{\ce{HCOO^-}}[\ce{HCOO^-}]\]
Or $\ce{[Na^+]} = \dfrac{n_2}{V}$ (constante) et $\ce{[CH3COO^-]} = \dfrac{n_2}{V} - [\ce{HCOO^-}]$. En remplaçant, on obtient :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \lambda_{\ce{Na^+}}\frac{n_2}{V} + \lambda_{\ce{CH3COO^-}}\Big(\frac{n_2}{V} - [\ce{HCOO^-}]\Big) + \lambda_{\ce{HCOO^-}}[\ce{HCOO^-}] \\ &= (\lambda_{\ce{Na^+}} + \lambda_{\ce{CH3COO^-}})\frac{n_2}{V} + (\lambda_{\ce{HCOO^-}} - \lambda_{\ce{CH3COO^-}})[\ce{HCOO^-}] \end{aligned} \]
Cette relation montre que la conductivité dépend linéairement de la concentration en ions formiate :
\[\boxed{\sigma = \sigma_0 + \Delta\lambda\,[\ce{HCOO^-}]}\]
avec $\sigma_0 = (\lambda_{\ce{Na^+}}+\lambda_{\ce{CH3COO^-}})\frac{n_2}{V}$ et $\Delta\lambda = (\lambda_{\ce{HCOO^-}}-\lambda_{\ce{CH3COO^-}})$.
Conclusion : La mesure de la conductivité permet donc de déterminer directement la concentration de l’ion formiate à l’équilibre.
5) Détermination de $\xi_{eq}$ et des concentrations (calcul détaillé)
Étape A — passages d'unités et valeurs utiles :
- Volume en m³ (pour utiliser les $\lambda$ en S·m²·mol⁻¹) : \(V_m = 5{,}0\times10^{-2}\ \text{L} = 5{,}0\times10^{-5}\ \text{m}^3\).
- Concentration initiale en éthanoate (mol·m⁻³) : \(\dfrac{n_2}{V_m}=\dfrac{5{,}00\times10^{-3}}{5{,}0\times10^{-5}}=100{,}0\ \text{mol·m}^{-3}.\)
- Sommation des conductivités molaires limites : \(\lambda_{\ce{Na^+}}+\lambda_{\ce{CH3COO^-}} = 5{,}01\times10^{-3}+4{,}09\times10^{-3}=9{,}10\times10^{-3}\ \text{S·m}^2\text{·mol}^{-1}.\)
- Pente liée au remplacement des anions : \(\Delta\lambda=\lambda_{\ce{HCOO^-}}-\lambda_{\ce{CH3COO^-}}=5{,}46\times10^{-3}-4{,}09\times10^{-3}=1{,}37\times10^{-3}\ \text{S·m}^2\text{·mol}^{-1}.\)
Étape B — calcul de $\sigma_0$ :
\[ \sigma_0 = (\lambda_{\ce{Na^+}}+\lambda_{\ce{CH3COO^-}})\frac{n_2}{V_m} = 9{,}10\times10^{-3}\times100{,}0 = 0{,}910\ \text{S·m}^{-1}. \]
Étape C — résolution pour $c_{\mathrm{HCOO}}$ (en mol·m⁻³) :
On a la relation linéaire : \(\sigma = \sigma_0 + \Delta\lambda\; c_{\mathrm{HCOO}}\). Donc
\[ c_{\mathrm{HCOO}} = \frac{\sigma - \sigma_0}{\Delta\lambda} = \frac{0{,}973 - 0{,}910}{1{,}37\times10^{-3}} = \frac{0{,}063}{1{,}37\times10^{-3}} \approx 45{,}99\ \text{mol·m}^{-3}. \]
Conversion en mol·L⁻¹ :
\[ [\ce{HCOO^-}] = \frac{45{,}99}{1000} \approx 0{,}0460\ \text{mol·L}^{-1}. \]
Étape D — calcul de l’avancement $\xi_{eq}$ :
\[ \xi_{eq} = [\ce{HCOO^-}]\times V = 0{,}0460\ \text{mol·L}^{-1}\times 0{,}050\ \text{L} = 2{,}299\times10^{-3}\ \text{mol}. \]
Étape E — concentrations à l’équilibre (mol·L⁻¹) :
- \([\ce{HCOOH}]_{eq} = \dfrac{n_1 - \xi_{eq}}{V} = \dfrac{2{,}50\times10^{-3} - 2{,}299\times10^{-3}}{0{,}050} = \dfrac{2{,}0075\times10^{-4}}{0{,}050} \approx 0{,}004015\ \text{mol·L}^{-1}.\)
- \([\ce{CH3COO^-}]_{eq} = \dfrac{n_2 - \xi_{eq}}{V} = \dfrac{5{,}00\times10^{-3} - 2{,}299\times10^{-3}}{0{,}050} = \dfrac{2{,}701\times10^{-3}}{0{,}050} \approx 0{,}05402\ \text{mol·L}^{-1}.\)
- \([\ce{HCOO^-}]_{eq} \) (déjà obtenu) \( \approx 0{,}0460\ \text{mol·L}^{-1}.\)
\([\ce{HCOO^-}]_{eq}\approx 0{,}0460\ \text{mol·L}^{-1},\quad [\ce{CH3COO^-}]_{eq}\approx 0{,}0540\ \text{mol·L}^{-1},\quad [\ce{HCOOH}]_{eq}\approx 0{,}00402\ \text{mol·L}^{-1}.\)
6) Constante d’équilibre (calcul détaillé)
Expression générale :
\[ K \;=\; \frac{[\ce{HCOO^-}][\ce{CH3COOH}]}{[\ce{HCOOH}][\ce{CH3COO^-}]}. \]
Observons que $[\ce{CH3COOH}] = [\ce{HCOO^-}] = 0{,}0460\ \text{mol·L}^{-1}$ (mêmes moles $\xi_{eq}$ dans le même volume). On obtient donc :
\[ K = \dfrac{(0{,}0460)\times(0{,}0460)}{(0{,}004015)\times(0{,}05402)}. \]Calcul numérique (étape par étape)
- Donc \(K \approx \dfrac{0{,}002116}{0{,}00021681} \approx 9{,}76.\)
Interprétation : \(K\approx 9{,}8 > 1\) confirme que la réaction est clairement déplacée vers les produits (mais pas strictement quantitative) — une petite quantité d’acide méthanoïque subsiste (≈0,0040 mol·L⁻¹).
Remarque :
- Attention aux unités : les $\lambda$ sont en S·m²·mol⁻¹, les concentrations en mol·m⁻³ pour obtenir σ en S·m⁻¹ ; la conversion finale en mol·L⁻¹ est pratique pour l’interprétation chimique.