TD : Régime sinusoïdale forcé

1) L'amplitude complexe u de la tension u,

2) L'amplitude réelle U de la tension u,

3) La phase φ de la tension u.

1) Exprimer r en fonction des données de cette question. Calculer r avec U_R = 0,56 V.

2) Déterminer l'amplitude U_e de la tension u_e et l'amplitude U_R de la tension u_R.

3) Déterminer l'amplitude I du courant i.

4) Rappeler l'expression générale de l'impédance Z d'un dipôle quelconque (module de l'impédance complexe). Calculer alors l'impédance Z_AM du dipôle AM.

5) En utilisant l'oscillogramme, déterminer laquelle des tensions, u_R(t) et u_e(t), est en avance sur l'autre. Justifier la réponse.

6) Déterminer à partir de l'oscillogramme, le déphasage φ_u/i entre u_e et i, c'est-à-dire entre u_e et u_R.

7) Écrire l'expression générale de l'impédance complexe Z_AM en fonction de r, R, L, C et ω.

8) Écrire l'expression générale de l'impédance complexe Z_AM en fonction de son module Z_AM et du φ_u/i.

9) Exprimer r en fonction de R, Z_AM et φ_u/i. Calculer sa valeur.

10) Exprimer L en fonction de C, ω, Z_AM et φ_u/i. Calculer sa valeur.

1) Donner l'expression complexe de la tension s aux bornes de l'association en parallèle R, L, C.

2) Établir qu'il y a un phénomène de résonance pour la tension s. On précisera la pulsation à laquelle ce phénomène se produit.

3) Déterminer la bande passante correspondante.

4) En déduire l'expression du facteur de qualité.

5) Que peut-on dire du déphasage à la résonance de la tension s ?

6) Comparer cette résonance avec la résonance en intensité d'un circuit R, L, C série.

1) Rappeler les expressions des impédances complexes de la bobine, du résistor et du condensateur puis déterminer l'impédance complexe Z du circuit.

2) L'écrire sous la forme \[\bar{Z} = R_{0}\left( 1 + jQ\left( \frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega} \right) \right).\] On précisera les expressions de R₀, Q et ω₀.

3) Exprimer l'amplitude complexe I associée à l'intensité du courant traversant le circuit en fonction de R₀, ω, Q, ω₀ et E.

4) En déduire l'intensité efficace I_e sous la forme \[ I_{e}(\omega) = \frac{A}{\sqrt{1 + B^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega}\right)^{2}}}. \] Préciser A et B en fonction de Q, E et R₀.

5) Montrer que I_e(ω) présente un extremum pour ω = ω_r et qu'il s'agit d'un maximum. Préciser ω_r et la valeur du maximum I_max.

6) On appelle bande passante l'intervalle de pulsations Δω = ω_max − ω_min pour lesquelles \[ I_{e}(\omega) > \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}. \] Établir que \[ \Delta\omega = \frac{\omega_{0}}{Q}. \]

7) On donne ci-dessous à gauche le graphe de I_e(f) où f est la fréquence du générateur. Déterminer à partir de cette courbe la fréquence propre f₀, le facteur de qualité Q du circuit, les limites de la bande passante et la valeur de I_max.

8) En déduire les valeurs de r et de L.

9) Dans les questions qui suivent, on utilise une bobine différente de la précédente caractérisée par des valeurs L' et r'. Préciser le déphasage ψ entre i(t) et e(t) ainsi que la valeur ψ(ω₀).

10) Comment peut-on accéder expérimentalement à la mesure de i(t) avec un oscilloscope ?

11) À l'aide d'un oscilloscope, on mesure la tension e(t) sur la voie X et la tension u_R(t) aux bornes de la résistance R sur la voie Y. On fait varier la fréquence du générateur sinusoïdal et on constate que la voie Y passe par un maximum. Interpréter ces observations.

12) À la résonance, l'oscillogramme est celui donné ci-dessous. Peut-on en déduire les valeurs de L' et de r' ?

1) Calculer les valeurs efficaces des courants traversant le moteur et la résistance ainsi que la puissance moyenne totale P reçue par l'ensemble.

2) On désire déterminer le facteur de puissance cos φ de l'ensemble.

a) En utilisant la loi des nœuds, établir une expression reliant les valeurs efficaces des intensités. En déduire une expression reliant les puissances et U.

b) Montrer que le facteur de puissance est donné par : \[ \cos\varphi = \frac{P_{1} + P_{2}}{\sqrt{(P_{1} + P_{2})^{2} + P_{1}^{2}\tan^{2}\varphi_{1}}}. \]

3) Calculer la valeur de cos φ.

1) Soit un dipôle d'impédance Z_u branché aux bornes d'un générateur de f.e.m. e_g et d'impédance interne Z_g. Déterminer les conditions (sur les parties réelle et imaginaire de Z_u) pour que la puissance reçue par l'impédance Z_u soit maximale.

2) Soit une installation modélisée par un résistor de résistance R. On souhaite assurer un transfert maximal de puissance du générateur (f.e.m. e_g et résistance interne R_g) vers le dispositif. On fait l'hypothèse que R > R_g. Pour cela, on intercale entre le générateur et le dispositif un circuit réalisé avec une inductance L et un condensateur C.

Calculer L et C en fonction de R_g, R et de la pulsation ω pour que la puissance reçue par R soit maximale. On dit alors qu'il y a adaptation d'impédance.

3) Dans le cas où R < R_g, le montage précédent ne convient pas. On se propose de placer L avant C. Calculer de nouveau L et C pour réaliser l'adaptation d'impédance.