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Résumé : Eléments de circuits linéaires en ARQS

Résumé : Eléments de circuits linéaires en ARQS

I. Dipôles linéaires passifs, R, L et C

1) Résistor

En convention récepteur :

Loi d'ohm : u = R.i

b) Conductance

\[ G = \frac{1}{R} \quad \text{(Siemens, S)} \]

c) Associations

Série :

\[ R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_N} \]

d) Puissance dissipée

\[ P = u(t) i(t) = R i^2 = \frac{u^2}{R} \]

III. Bobine d'Inductance L

Modélisation d'une bobine réelle :

\[ u(t) = L \frac{di}{dt} + r i \]

Pour une bobine idéal (r = 0) : \[ u(t) = L \frac{di}{dt}\]

En régime continu (\( \frac{di}{dt} = 0 \)) :          \( u = r.i \),

b) Associations

Série :

\[ L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_N \]

Parallèle :

\[ \frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots + \frac{1}{L_N} \]

c) Puissance instantanée

\[p(t) = u(t) \cdot i(t) = L \cdot i(t) \cdot \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} L i^2(t) \right) = \frac{dE}{dt}\]
\[E = \frac{1}{2} L i^2 : \text{énergie instantanée.}\]
\( E : \) une fonction continue \( \Rightarrow \) \( i(t) \) est une fonction continue
si i augmente, l'énergie E augmente  \[ \Rightarrow p(t) > 0 : \] La bobine se comporte comme récepteur.

Si i diminue, l'énergie E diminue \[\Rightarrow p(t) < 0 :\] La bobine se comporte comme générateur.

IV. Condensateur

a) Définition

Composé de deux armatures conductrices séparées par un diélectrique.

b) Relation courant-tension

\[ i = \frac{dq}{dt} \]
\[ u = \frac{q}{C} \]
\[ i = C \frac{du}{dt} \]

En régime continu (\( \frac{du}{dt} = 0 \)) : \( i = 0 \), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

e) Associations

Série :

\[ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_N} \]

Parallèle :

\[ C_{eq} = C_1 + C_2 + \cdots + C_N \]

c) Puissance instanténnée

\[p(t) = u(t) \cdot i(t) = C \cdot u(t) \cdot \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} C u^2(t) \right) = \frac{dE}{dt}\]
\[E = \frac{1}{2} L u^2 : \text{énergie instantanée.}\]
\( E : \) une fonction continue \( \Rightarrow \) \( u(t) \) est une fonction continue
si u augmente, l'énergie E augmente  \[ \Rightarrow p(t) > 0 : \] Le condensateur se comporte comme récepteur.

Si u diminue, l'énergie E diminue \[\Rightarrow p(t) < 0 :\] Le condensateur se comporte comme générateur.

V. Diviseurs de Tension et de Courant

a) Diviseur de tension

Pour N résistances en série :

\[ u_k = \frac{R_k}{\sum_{j=1}^N R_j} u_{total} \]

b) Diviseur de courant

Pour N résistances en parallèle

\[ i_k = \frac{G_k}{\sum_{j=1}^N G_j} i_{total} \]

V) dipôle actifs

1) source de tension idéale

c'est un dispositif qui impose une différence de potentiel constante, quelle que soit l'intensité du courant qui le traverse.
représentation en convention générateur:
Caractéristique courant - tension
E : force électromotrice (f.e.m) ou tension à vide

2) Source de courant idéal

C'est un dispositif qui impose un courant d'intensité constante, quelle que soit la tension à ses bornes.
représentation en convention générateur:
Caractéristique courant - tension
I0  : Courant électromoteur (C.e;m), ou courant de court-circuit 

3) modèle de Thévenin - Modèle de Norton

Modèle de Thévenin : on peut donc modéliser un générateur par la représentation.

\[E : f.e.m. \] \[R : résistance interne.\]

Modèle de Norton :
\[u = E - R i \quad \Rightarrow \quad i = \frac{E}{R} - \frac{u}{R} = I_0 - G u\]
\[I_0 : Courant électromoteur (c.e.m). \] \[R : résistance interne\]

5) Transformation Thévenin - Norton

Les deux modèles sont équivalents si :
\[E_{Th} = R_N I_N\]
\[R_{Th} = R_N\]

6) Théorème de Millman

Considérons le circuit suivant : 
\[v_A = \frac{ \frac{v_0}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{e_1}{R_1} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} }\]

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