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Théorème du moment cinétique

Introduction

En mécanique du point matériel, le théorème du moment cinétique constitue un outil fondamental pour l'étude des mouvements de rotation. Complémentaire au principe fondamental de la dynamique, ce théorème offre une perspective différente et souvent plus efficace pour analyser les systèmes en rotation ou les mouvements orbitaux.

Objectifs du chapitre :

  • Comprendre la notion de moment d'une force et ses propriétés
  • Définir le moment cinétique d'un point matériel
  • Établir et appliquer le théorème du moment cinétique
  • Résoudre des problèmes de mécanique faisant intervenir des rotations
    Théorème du moment cinétique

Théorème du moment cinétique

I) Moment d'une force

1) Moment en un point

Définition : Le moment en un point O de la force \(\overrightarrow{F}\) appliquée en M est :

\[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F} \quad \text{(en N·m)} \]
\[ \|\overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F})\| = \|\overrightarrow{OM}\| \cdot \|\overrightarrow{F}\| \cdot \sin\alpha \]
Représentation du moment d'une force

Exemple : Moment du poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\)

\[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{P}) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} = -mgy\,\overrightarrow{e}_x + mgx\,\overrightarrow{e}_y \]
Moment du poids

Remarque :

  • Si \(\overrightarrow{F}\) passe par O : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{0}\)

2) Moment par rapport à un axe

Définition : Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\). Le moment par rapport à (Δ) est :

\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \]

Cas particuliers :

1. Si \(\overrightarrow{F}\) est parallèle à (Δ) :

\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = (\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} = 0 \]

Car \(\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{F}\) donc à \(\overrightarrow{u}\).

2. Si \(\overrightarrow{F}\) coupe (Δ) en I :

Force coupant l'axe
\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = \left( (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IM}) \wedge \overrightarrow{F} \right) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = (\overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{IM} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = 0 + 0 = 0 \]

Car :

  • \(\overrightarrow{OI} \parallel \overrightarrow{u}\) ⇒ premier produit vectoriel perpendiculaire à \(\overrightarrow{u}\)
  • \(\overrightarrow{IM} \parallel \overrightarrow{F}\) ⇒ second produit vectoriel nul

3. Si \(\overrightarrow{F}\) est orthogonale à (Δ) :

Force orthogonale à l'axe
\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = (\overrightarrow{H_1M} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = \left( \overrightarrow{H_1H_2} + \overrightarrow{H_2M} \right) \wedge \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = (\overrightarrow{H_1H_2} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \]

Car \(\overrightarrow{H_2M} \wedge \overrightarrow{F}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{u}\).

\[ \|\mathcal{M}_\Delta\| = \|\overrightarrow{H_1H_2}\| \cdot \|\overrightarrow{F}\| \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \|\overrightarrow{F}\| \cdot d \]

où \(d\) est la distance entre (Δ) et la ligne d'action de \(\overrightarrow{F}\).

Signe du moment :

\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = +F \cdot d > 0 \quad \text{si } \overrightarrow{F} \text{ fait tourner dans le sens positif} \] \[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = -F \cdot d < 0 \quad \text{si } \overrightarrow{F} \text{ fait tourner dans le sens négatif} \]

Remarque : Pour une force quelconque, on peut la décomposer en composante parallèle (\(\overrightarrow{F}_{\parallel}\)) et normale (\(\overrightarrow{F}_{\perp}\)) à (Δ). Seule \(\overrightarrow{F}_{\perp}\) contribue au moment.

II) Moment cinétique

1) Moment cinétique en un point

Définition : Le moment cinétique en O du point matériel M de masse m dans un référentiel galiléen R est :

\[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p}(M/R) = m \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{v}(M/R) \]

Cas particuliers :

  • Si (Δ) passe par M à distance d de O : \[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = m d v \overrightarrow{e}_z \]
    Moment cinétique à distance
  • Mouvement circulaire (rayon r, vitesse angulaire ω) :
    \[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = m r^2 \omega \overrightarrow{e}_z \]
    Mouvement circulaire

Remarque :

  • Si M se dirige vers O : \(\overrightarrow{L}_O = \overrightarrow{0}\) (vecteurs colinéaires)

2) Moment cinétique par rapport à un axe

Définition : Soit (Δ) un axe défini par O et \(\overrightarrow{u}\). Le moment cinétique axial est :

\[ L_\Delta(M/R) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O(M/R) \]

Démonstration d'indépendance :

\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_{O'} = m[(\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{v}) - (\overrightarrow{O'M} \wedge \overrightarrow{v})] \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = m(\overrightarrow{OO'} \wedge \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{u} = 0 \]

Car \(\overrightarrow{OO'}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{u}\). Donc \(L_\Delta\) est indépendant du point choisi sur (Δ).

Propriétés :

  • \(L_\Delta = 0\) si \(\overrightarrow{v}\) est parallèle à (Δ) ou passe par (Δ)
  • Pour un solide en rotation : \(L_\Delta = I_\Delta \omega\) où \(I_\Delta\) est le moment d'inertie

III) Théorème du moment cinétique

1) Application à un point fixe

Théorème : Dans un référentiel galiléen R, pour un point fixe O :

\[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt}(M/R) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) \]

La dérivée temporelle du moment cinétique est égale au moment résultant des forces extérieures.

Démonstration :

\[ \frac{d}{dt}(\overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v}) = \underbrace{\overrightarrow{v} \wedge m\overrightarrow{v}}_{=\overrightarrow{0}} + \overrightarrow{OM} \wedge m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \] \[ = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) \]

2) Application à un axe fixe

Théorème : Pour un axe fixe (Δ) dans un référentiel galiléen R :

\[ \frac{dL_\Delta}{dt}(M/R) = \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) \]

La dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à un axe fixe (Δ) est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe.

Démonstration :

\[ \frac{dL_\Delta}{dt} = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O) \] \[ = \overrightarrow{u} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} \quad \text{(car } \overrightarrow{u} \text{ est constant)} \] \[ = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}) \] \[ = \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) \]

3) Application : Pendule simple

Pendule simple, équation différentielle

Système : Masse m suspendue à un fil de longueur l

\[ \overrightarrow{OM} = l\overrightarrow{e}_r \] \[ \overrightarrow{v} = l\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta \] \[ \overrightarrow{L}_O = ml^2\dot{\theta}\overrightarrow{e}_z \] \[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_z \]

Moment cinétique :

\[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v} = l\overrightarrow{e}_r \wedge ml\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta = ml^2\dot{\theta}\,\overrightarrow{e}_z \]

Moments des forces :

\[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{T}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{T} = \overrightarrow{0} \quad \text{(car } \overrightarrow{T} \text{ est colinéaire à } \overrightarrow{OM}) \] \[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{g} = -mgl\sin\theta\,\overrightarrow{e}_z \]

Application du TMC :

\[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\,\overrightarrow{e}_z = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{T}) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{P}) \] \[ ml^2\ddot{\theta} = -mgl\sin\theta \] \[ \Rightarrow \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 \]

Approximation des petits angles : (\(\sin\theta \approx \theta\) pour θ ≪ 1)

\[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0 \]

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de période \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

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