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Théorème du moment cinétique

Cours du mécanique du point matériel

Théorème du moment cinétique

I) Moment d'une force

1) Moment en un point

Définition : Le moment en un point O de la force \(\overrightarrow{F}\) appliquée en M est :

\[ \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F} \quad \text{(en N.m)} \]
\[ \|\overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F})\| = \|\overrightarrow{OM}\| \cdot \|\overrightarrow{F}\| \cdot \sin\alpha \]

Exemple : Moment du poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\)

\[ \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{P}) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} = -mgy\,\overrightarrow{e}_x + mgx\,\overrightarrow{e}_y \]

Remarque :

  • Si \(\overrightarrow{F}\) passe par O : \(\overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{0}\)

2) Moment par rapport à un axe

Définition : Soit (Δ) un axe orienté par le vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\). Le moment par rapport à (Δ) est :

\[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \]

Cas particuliers :

1. Si \(\overrightarrow{F}\) est parallèle à (Δ) :

\[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = (\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} = 0 \]

Car \(\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{F}\) donc à \(\overrightarrow{u}\).

2. Si \(\overrightarrow{F}\) coupe (Δ) en I :

\[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = \left( (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IM}) \wedge \overrightarrow{F} \right) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = (\overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{IM} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = 0 + 0 = 0 \]

Car :

  • \(\overrightarrow{OI} \parallel \overrightarrow{u}\) ⇒ premier produit vectoriel perpendiculaire à \(\overrightarrow{u}\)
  • \(\overrightarrow{IM} \parallel \overrightarrow{F}\) ⇒ second produit vectoriel nul

3. Si \(\overrightarrow{F}\) est orthogonale à (Δ) :

\[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = (\overrightarrow{H_1M} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = \left( \overrightarrow{H_1H_2} + \overrightarrow{H_2M} \right) \wedge \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = (\overrightarrow{H_1H_2} \wedge \overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u} \]

Car \(\overrightarrow{H_2M} \wedge \overrightarrow{F}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{u}\).

\[ \|M_\Delta\| = \|\overrightarrow{H_1H_2}\| \cdot \|\overrightarrow{F}\| \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \|\overrightarrow{F}\| \cdot d \]

où \(d\) est la distance entre (Δ) et la ligne d'action de \(\overrightarrow{F}\).


Signe du moment :

\[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = +F \cdot d > 0 \quad \text{si } \overrightarrow{F} \text{ fait tourner dans le sens positif} \] \[ M_\Delta(\overrightarrow{F}) = -F \cdot d < 0 \quad \text{si } \overrightarrow{F} \text{ fait tourner dans le sens négatif} \]

Remarque : Pour une force quelconque, on peut la décomposer en composante parallèle (\(\overrightarrow{F}_{\parallel}\)) et normale (\(\overrightarrow{F}_{\perp}\)) à (Δ). Seule \(\overrightarrow{F}_{\perp}\) contribue au moment.

II) Moment cinétique

1) Moment cinétique en un point

Définition : Le moment cinétique en O du point matériel M de masse m dans un référentiel galiléen R est :

\[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p}(M/R) = m \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{v}(M/R) \]

Cas particuliers :

  • Si (Δ) passe par M à distance d de O :                                                                                             \[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = m d v \overrightarrow{e}_z \]
  •                                               
  • Mouvement circulaire (rayon r, vitesse angulaire ω) :
    \[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = m r^2 \omega \overrightarrow{e}_z \]

Remarque :

  • Si M se dirige vers O : \(\overrightarrow{L}_O = \overrightarrow{0}\) (vecteurs colinéaires)

2) Moment cinétique par rapport à un axe

Définition : Soit (Δ) un axe défini par O et \(\overrightarrow{u}\). Le moment cinétique axial est :

\[ L_\Delta(M/R) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O(M/R) \]

Démonstration d'indépendance :

\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_{O'} = m[(\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{v}) - (\overrightarrow{O'M} \wedge \overrightarrow{v})] \cdot \overrightarrow{u} \] \[ = m(\overrightarrow{OO'} \wedge \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{u} = 0 \]

Car \(\overrightarrow{OO'}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{u}\). Donc \(L_\Delta\) est indépendant du point choisi sur (Δ).

Propriétés :

  • \(L_\Delta = 0\) si \(\overrightarrow{v}\) est parallèle à (Δ) ou passe par (Δ)
  • Pour un solide en rotation : \(L_\Delta = I_\Delta \omega\) où \(I_\Delta\) est le moment d'inertie

III) Théorème du moment cinétique

1) Application à un point fixe

Théorème : Dans un référentiel galiléen R, pour un point fixe O :

\[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt}(M/R) = \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) \]

La dérivée temporelle du moment cinétique est égale au moment résultant des forces extérieures.

Démonstration :

\[ \frac{d}{dt}(\overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v}) = \underbrace{\overrightarrow{v} \wedge m\overrightarrow{v}}_{=\overrightarrow{0}} + \overrightarrow{OM} \wedge m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \] \[ = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F} = \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) \]

2) Application à un axe fixe

Théorème : Pour un axe fixe (Δ) dans un référentiel galiléen R :

\[ \frac{dL_\Delta}{dt}(M/R) = M_\Delta(\overrightarrow{F}) \]

La dérivée temporelle du moment cinétique par rapport à un axe fixe (Δ) est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe.

Démonstration :

\[ \frac{dL_\Delta}{dt} = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{L}_O) \] \[ = \overrightarrow{u} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} \quad \text{(car } \overrightarrow{u} \text{ est constant)} \] \[ = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{F}) \] \[ = M_\Delta(\overrightarrow{F}) \]

3) Application : Pendule simple


Système : Masse m suspendue à un fil de longueur l

\[ \overrightarrow{OM} = l\overrightarrow{e}_r \] \[ \overrightarrow{v} = l\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta \] \[ \overrightarrow{L}_O = ml^2\dot{\theta}\overrightarrow{e}_z \] \[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_z \]

Moment cinétique :

\[ \overrightarrow{L}_O(M/R) = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v} = l\overrightarrow{e}_r \wedge ml\dot{\theta}\overrightarrow{e}_\theta = ml^2\dot{\theta}\,\overrightarrow{e}_z \]

Moments des forces :

\[ \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{T}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{T} = \overrightarrow{0} \quad \text{(car } \overrightarrow{T} \text{ est colinéaire à } \overrightarrow{OM}) \] \[ \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{g} = -mgl\sin\theta\,\overrightarrow{e}_z \]

Application du TMC :

\[ \frac{d\overrightarrow{L}_O}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\,\overrightarrow{e}_z = \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{T}) + \overrightarrow{M}_O(\overrightarrow{P}) \] \[ ml^2\ddot{\theta} = -mgl\sin\theta \] \[ \Rightarrow \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 \]

Approximation des petits angles : (\(\sin\theta \approx \theta\) pour θ ≪ 1)

\[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0 \]

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de période \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

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