Exercice 1

Le circuit ci-dessous est alimenté par un générateur de Thévenin, dipôle actif linéaire de résistance interne R_g et de force électromotrice e(t). Dans ce circuit, l'intensité i(t) fournie par le générateur se divise entre une inductance pure L (bobine de résistance négligeable) et un résistor (résistance R).

1. En respectant les notations du schéma, donner trois expressions de u(t) en régime quelconque, en fonction de i(t), i₁(t) et des données.
2. La tension e(-∞ < t < 0) est égale à une valeur constante notée E ; déterminer rapidement la tension u(t = 0^-) ainsi que les intensités i(t = 0^-) et i₁(t = 0^-).
3. À t = 0, on éteint le générateur (e(t > 0) = 0), établir l'équation différentielle régissant l'évolution ultérieure de u(t), et faire apparaître la constante de temps τ du circuit.
4. En utilisant une propriété remarquable d'une grandeur (propriété à préciser), déterminer u(t = 0⁺).
5. Déterminer complètement u(t > 0) puis donner l'allure de la représentation graphique de u pour t ∈ [−10τ; 10τ].

Exercice 2

Soit le circuit suivant :

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par s(t).
2. L'écrire sous la forme $\tau\frac{ds}{dt} + s = GE$. On précisera les expressions de τ et G.
3. Déterminer l'expression de s(t).
4. En déduire la valeur maximale de s en précisant quand elle est atteinte.
5. Déterminer l'instant t₀ pour lequel s(t₀) correspond à 90 % de la valeur maximale.

Exercice 3

Un générateur de tension continue E et de résistance interne R_g alimente un circuit R, L, C constitué d'un condensateur de capacité C = 0,10 μF, d'une bobine réelle d'inductance L et de résistance r inconnues placés en série avec une résistance R = 480 Ω.

1. On attend que le régime permanent soit établi. Préciser alors les valeurs de i, u_L, u_R et u_C.
2. Une fois le régime permanent atteint, on remplace l'alimentation (E, R_g) par un fil. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de u_C(t) et la mettre sous forme canonique : $\frac{d^{2}u_{c}}{{dt}^{2}} + \ \frac{\omega_{0}}{Q}\frac{{du}_{c}}{dt} + \ \omega_{0}^{2}u_{c} = 0$
3. Rappeler les conditions de continuité à l'intérieur d'une bobine et d'un condensateur. En déduire les valeurs de u_C(0) et $\frac{{du}_{c}}{dt}$(0).
4. Montrer que le régime pseudopériodique n'est possible que pour une valeur de résistance inférieure à une valeur maximale R_max dont on donnera l'expression en fonction de L, r et C.
5. Montrer que la solution physique s'écrit sous la forme $u_{c}(t) = \ e^{- \lambda t}(A.\cos(\omega t) + \ B.\sin(\omega t))$.
   
6. Préciser les expressions de λ et ω en fonction de ω₀ et Q ainsi que les valeurs des constantes A et B.
7. À partir des valeurs des deux premiers maximas pour t ≠ 0, en déduire les valeurs expérimentales de la pseudopériode T et de la pseudo-pulsation ω.
   
8. On pose $\delta = \ ln\frac{u_{1}}{u_{2}}$. Montrer que $\delta = \ \frac{\omega_{0}T}{2Q}$. En déduire l'expression de Q en fonction de δ.
9. Pour δ = 1,28 et $(\frac{\pi}{\delta})^{2} \approx 6$, évaluer Q et ω₀.
10. À quelle condition peut-on assimiler la pseudopériode à la période propre ? Cette approximation est-elle vérifiée ici ?
11. Déterminer la valeur numérique de L.

Exercice 4

1. À l'instant initial, on ferme l'interrupteur K. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par u_C(t).
2. Résoudre cette équation dans le cas où un régime permanent est établi pour t < 0.
3. Déterminer l'instant t₁ où le régime permanent est établi à 1,0 % près.
4. Application numérique : R = 15 kΩ et C = 100 μF. Donner la valeur de t₁.

Exercice 5

1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par u₂(t).
2. La résoudre en supposant qu'initialement les deux capacités sont déchargées.

Exercice 6

On étudie la réponse d'un circuit (RL) à une tension en créneaux délivrée par un G.B.F. Le circuit comporte une bobine parfaite d'inductance L, un résistor de résistance R et un G.B.F. délivrant une tension en créneaux u.

1. Par analyse dimensionnelle, déterminer la constante de temps τ = L^αR^β du circuit (RL). déterminer la valeur des exposants α et β
2. Pour 0 < t < T/2 :
   • Établir l'équation différentielle régissant les variations de l'intensité i dans le circuit.
   • En déduire l'expression de u_L(t).
   • Tracer l'allure des courbes représentatives de i(t) et de u_L(t).
3. Déterminer complètement l'expression de i(t) et u_L(t) pour T/2 < t < T.
4. Pour f = 1,0 kHz, L = 1,0 H et R = 1,0×10³ Ω, comparer la période T et la constante de temps τ. Tracer qualitativement l'évolution des graphes de i(t) et u_L(t) sur quelques périodes.

Exercice 7

L'ouverture d'un appareil photo jetable présente un risque d'électrocution dû à la présence d'un condensateur pouvant conserver une charge de 300V. Le circuit du flash, bien que simplifié, repose sur une conversion astucieuse : une pile de 1,5V alimente d'abord un oscillateur RLC produisant un signal alternatif, ensuite amplifié à 300V par un transformateur. Lors de l'armement (t=0), l'interrupteur se ferme, permettant la charge progressive du condensateur initialement déchargé, tandis que la résistance interne de la pile (Ri) limite le courant.

Ce montage illustre parfaitement comment une tension modeste peut être transformée en haute tension pour le flash, tout en démontrant la nécessité de manipuler ces appareils avec précaution. La présence de composants sous tension, même hors utilisation, exige une vigilance particulière lors de toute intervention sur le circuit.

• Circuit primaire :
  1. Déterminer u_L au bout d'un temps très long.
  2. Que vaut u_L à t = 0⁺ ?
  3. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par u_L(t).
  4. Résoudre cette équation en négligeant R_i.
  5. Pour R_i = 0,5 Ω, C = 200 pF et L = 36 mH, évaluer le temps nécessaire pour que u_L atteigne sa valeur finale déterminer précédement

• Circuit secondaire :

Le schéma équivalent du secondaire est illustré en figure (en bas). Le transformateur délivre ici une tension alternative dont l'amplitude est multipliée par 200 par rapport au primaire. Cette tension est ensuite redressée pour obtenir une tension continue U0, permettant la charge du condensateur de capacité C' jusqu'à cette valeur U0.

Lors du déclenchement, la fermeture de l'interrupteur provoque la décharge brutale du condensateur dans le flash. À ce moment, le flash se comporte comme une résistance pure Rf, convertissant l'énergie stockée en éclair lumineux.

1. Déterminer l'énergie contenue initialement dans le condensateur (C' = 150 mF, U₀ = 300 V).
2. Déterminer le modèle de Thévenin équivalent (pour R_f = 10 Ω et R'_i = 180 Ω).
3. Déterminer l'évolution de u(t) lors de la décharge.
4. Déterminer le temps nécessaire à la décharge du condensateur.