TD : Mouvement de particules chargées dans un champ électrique et magnétique uniformes et stationnaires

Correction

Exercice 1

Un électron et un proton de même énergie cinétique décrivent des trajectoires circulaires dans un champ magnétique uniforme. Comparer :

• Leur vitesse
• Le rayon de leur trajectoire
• Leur période

Exercice 2

Dans tout l’exercice on se place dans un référentiel galiléen, associé à un repère cartésien. Une zone de champ électrique uniforme (voir figure) est établie entre les plaques P1 et P2 (le champ est supposé nul en dehors et on néglige les effets de bord), la distance entre les plaques est $d$, la longueur des plaques $D$ et la différence de potentiel est $U = V_{P2} - V_{P1}$ positive. Des électrons (charge $q = -e$, masse $m$) accélérés pénètrent en O dans la zone de champ électrique uniforme avec une vitesse $V_0$ selon l’axe $Oz$.

1) Établir l’expression de la force subie par les électrons en fonction de $U$, $q$, $d$ et $V_0$.

2) Étude du mouvement des électrons

• Déterminer l’expression de la trajectoire $x = f(z)$ de l’électron dans la zone du champ en fonction de $d$, $U$ et $V_0$.
• Déterminer le point de sortie K de la zone de champ ainsi que les composantes de la vitesse en ce point.
• Montrer que dans la zone en dehors des plaques, le mouvement est rectiligne uniforme.
• On note $L$ la distance $O_1O_e$ (voir figure). Déterminer l’abscisse $X_P$ du point d’impact $P$ de l’électron sur l’écran en fonction de $U$, $V_0$, $D$, $d$ et $L$.

Exercice 3

(Figure 1 : Schéma de l’oscilloscope en perspective à insérer)

(Figure 2 : Schéma de l’oscilloscope en coupe dans le plan (yoz) à insérer)

Première partie : Création et accélération d’un faisceau d’électrons

Un oscilloscope cathodique est constitué d’un canon à électrons dans lequel un faisceau d’électrons est créé et les électrons sont accélérés.

Une cathode, notée C, émet des électrons de vitesse initiale négligeable. Il est rappelé que les électrons ont une charge électrique négative égale à $-e$.

On établit entre la cathode C et une anode, notée A, une différence de potentiel notée $U_{AC} = V_A - V_C > 0$. Les électrons sont ainsi accélérés lors de leur parcours entre C et A.

L’anode est constituée d’une plaque métallique percée d’un trou centré en O permettant à une partie du faisceau d’électrons de s’échapper dans la direction horizontale $Oz$ comme le montrent les figures 1 et 2 suivantes.

La distance entre C et A est notée $d$.

L’espace est rapporté au repère cartésien orthonormé direct $(Oxyz)$ associé à la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Le point O correspond au centre de l’anode A.

• Déterminer, en un point de l’axe des $z$ situé entre la cathode et l’anode, la direction et le sens du champ électrique $\vec{E}$ créé par la tension $U_{AC}$.
• Déterminer l’expression de la force électrostatique $\vec{F}$ subie par un électron entre C et A en fonction de $U_{AC}$, $d$, $e$ et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.

• Le poids des électrons peut-il être négligé devant la force électrostatique précédente ? Justifier quantitativement la réponse.
• En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer l’expression de la vitesse $V_0$ avec laquelle les électrons atteignent l’anode. Exprimer $V_0$ en fonction de $U_{AC}$, $m$ et $e$.
• Donner l’ordre de grandeur de la valeur numérique de la vitesse $V_0$.

Deuxième partie : Dispositif de déflexion du faisceau d’électrons

Les électrons produits et accélérés dans le canon à électrons pénètrent en $O_1$, avec une vitesse $V_0$ parallèlement à l’axe $(O_1z)$, dans le dispositif de déflexion composé de deux paires de plaques parallèles. Les deux plaques P1 et P2 sont horizontales et sont soumises à une différence de potentiel $U_Y = V_{P1} - V_{P2}$ et les deux plaques Q1 et Q2 sont verticales et soumises à une différence de potentiel $U_X = V_{Q1} - V_{Q2}$.

Les électrons, après passage dans ce système de déflexion, poursuivent leur trajectoire jusqu’à frapper un écran fluorescent sur lequel le point d’impact est matérialisé par un spot lumineux.

Les plaques P1 et P2 d’une part, et les plaques Q1 et Q2 d’autre part, sont symétriques par rapport à l’axe $Oz$. L’écartement entre les paires de plaques est le même et noté $L_1$. Les longueurs des plaques parallèlement à l’axe $O_1z$ sont identiques et égales à la longueur $L_2$.

Le mouvement des électrons dans le système de déflexion sera étudié dans le repère $(O_1xyz)$, associé à la base orthonormée cartésienne $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Remarque : on admet que le champ électrique est nul à l’extérieur du volume délimité par les plaques et que le champ électrique produit par chaque paire de plaques est uniforme et perpendiculaire aux plaques qui le produisent.

Le dispositif est enfermé dans une ampoule scellée, dans laquelle règne un vide poussé.

On néglige le poids des électrons dans cette partie.

Les points et les distances définis dans cette partie sont représentés sur les figures 1 et 2.

• On établit entre les plaques horizontales P₁ et P₂ une différence de potentiel U_Y = V_P1 − V_P2 constante et positive, et on applique une différence de potentielle nulle entre les plaques Q₁ et Q₂. Quel est l’effet de la différence de potentiel $U_Y$ sur le mouvement des électrons ?
• Établir l’expression vectorielle de la force $\vec{F'}$ qui agit sur un électron situé entre les plaques P1 et P2 en fonction de $e$, $L_1$, $U_Y$ et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
• Par application du principe fondamental de la dynamique, établir l’expression vectorielle de l’accélération $\vec{a}$ d’un électron dans le repère $(O_1xyz)$ en fonction de $m_e$, $e$, $L_1$, $U_Y$ et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
• En projetant la relation vectorielle précédente, déterminer les équations différentielles vérifiées par les coordonnées d’un électron.
• En déduire, par intégration, les équations horaires relatives au mouvement d’un électron dans le repère $(O_1xyz)$.
• Montrer que l’équation cartésienne de la trajectoire d’un électron dans le repère $(O_1xyz)$ a pour expression : ...
• Déterminer les coordonnées $X_E$ et $Y_E$ d’un électron lorsqu’il sort du système de déflexion, c’est-à-dire, lorsque son abscisse $z$ est égale à $L_2$ dans le repère $(O_1xyz)$.
• Calculer la pente $p$ de la tangente à la courbe, à la sortie du système de déflexion.
• Justifier le fait qu’après être sorti du système de déflexion, la trajectoire d’un électron est une droite.
• Sachant que la trajectoire d’un électron entre la sortie du système de déflexion et l’écran fluorescent est une droite de pente $p$ passant par le point $E$, déterminer l’équation de cette droite.
• Déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire de l'électron

• Déterminer les coordonnées X_E et Y_E d’un électron lorsqu’il sort du système de déflexion, c’est -à-dire, lorsque son abscisse z est égale à L₂ dans le repère (O₁xyz).
• Calculer la pente p de la tangente à la courbe, à la sortie du système de déflexion.
• Justifier le fait qu’après être sorti du système de déflexion, la trajectoire d’un électron est une droite.
• Sachant que la trajectoire d’un électron entre la sortie du système de déflexion et l’écran fluorescent est une droite de pente p passant par le point E, déterminer l’équation de cette droite.
• Déterminer les coordonnées du point d’impact S (spot) des électrons sur l’écran.
• Quel type de relation mathématique a-t-on entre Y_S et U_Y Commenter ce résultat.

Exercice 4

On s’intéresse à l’étude du confinement d’un électron [de masse $(m)$ et de charge $(-e)$] dans une petite région de l’espace à l’aide d’un champ électromagnétique. L’électron se déplace dans le référentiel $R(Oxyz)$, supposé galiléen, on appelle respectivement les vecteurs unitaires des axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$.

L’électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme et permanent (indépendant du temps). Le champ magnétique est colinéaire à $Oz$ : $\vec{B} = B\ \vec{k}$ ($B > 0$). On pose : 

À l’instant initial, l’électron se trouve en $O$ avec la vitesse $\vec{V}(0) = V_{ox} \vec{i} + V_{oz} \vec{k}$ ($V_{ox}$ et $V_{oz}$ désignent des constantes positives).

• Déterminer la coordonnée $z(t)$ de l’électron à l’instant $t$.

1. Déterminer les composantes $V_x$ et $V_y$ de la vitesse de l’électron en fonction de $V_{ox}$, $\omega_c = eB/m$ et du temps $t$.

• En déduire les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de l’électron à l’instant $t$.
• Montrer que la projection de la trajectoire de l’électron dans le plan est un cercle $\xi$ de centre $H$ et de rayon $r_H$.
• Déterminer les coordonnées $x_H$ et $y_H$ de $H$, le rayon $r_H$ et la fréquence de révolution $f_c$ de l’électron sur ce cercle en fonction de $V_{ox}$ et $\omega_c$.
• Tracer, avec soin, le cercle $\xi$ dans le plan $Oxy$. Préciser en particulier le sens de parcours de l’électron sur $\xi$.
• Application numérique : calculer la fréquence $f_c$ pour $B = 1,0\ \text{T}$.
• Tracer l’allure de la trajectoire de l’électron dans l’espace. L’électron est-il confiné au voisinage de $O$ ?

Exercice 5

Un cyclotron est un accélérateur de particules qui utilise l’action combinée d’un champ électrique $\vec{E}$ et d’un champ magnétique $\vec{B}$ afin d’accélérer des particules chargées.

Dans le cadre du traitement de certains cancers crâniens et oculaires, notamment chez les enfants, la radiothérapie classique est avantageusement remplacée par la protonthérapie (envoi de protons rapides sur les cellules cancéreuses en vue de les détruire) qui minimise les dégâts occasionnés aux tissus biologiques entourant la tumeur. Les protons à envoyer dans la tumeur sont accélérés à l’aide d’un cyclotron. En France, il existe deux principaux centres utilisant cette technique : Nice (protons de 65 MeV) et Orsay (protons de 200 MeV). On va ici s’intéresser au principe d’un cyclotron qui pourrait être utilisé dans ce cadre.

Le cyclotron est constitué de deux demi-cylindres horizontaux de rayon $R$ très légèrement écartés et creux, les « Dees », au sein desquels règne un champ magnétique uniforme et constant d’intensité $B = 1,67\ \text{T}$. À l’intérieur des Dees, il règne un vide poussé. Entre ces deux Dees, une tension haute fréquence de valeur maximale $U = 100\ \text{kV}$ crée un champ $\vec{E}$ perpendiculaire aux faces en regard des Dees.

Des protons de masse $m_p = 1,67\times 10^{-27}\ \text{kg}$ et de charge $e = 1,60\times 10^{-19}\ \text{C}$, animés d’une vitesse horizontale négligeable, sont injectés au point $A_0$ de l’espace séparant les deux Dees (voir annexe).

On rappelle l’expression de la force de Lorentz $\vec{F} = q\ (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ que subit une particule de charge $q$, animée d’une vitesse $\vec{v}$ lorsqu’elle est placée dans une zone où règne un champ électromagnétique $(\vec{E},\vec{B})$.

Dans toute la suite, la force de Lorentz sera la seule force prise en compte.

A) Étude du mouvement dans les Dees

1. Montrer que le mouvement du proton dans un Dee est uniforme.
2. Représenter sur document annexe les vecteurs champ magnétique dans chacun des Dees, les vecteurs vitesse et force de Lorentz aux points $M_1$ et $M_2$.
3. Par application de la relation fondamentale de la dynamique, établir le système d’équations différentielles couplées auxquelles satisfont les composantes $V_x$ et $V_y$ de son vecteur vitesse $\vec{V}$. On introduira la pulsation cyclotron $\omega_c = \frac{eB}{m}$.
4. Montrer que la trajectoire du proton dans le Dee 1 est un cercle de rayon $r = \frac{mV}{eB}$.
5. On admet que ce résultat se généralise et que la trajectoire lors de la $n$-ième traversée d’un Dee sera circulaire uniforme de rayon $R_n$. Exprimer, en fonction de $R_n$, la distance $d$ parcourue dans un Dee lors du $n$-ième demi-tour.
6. Montrer que la durée $\delta t$ de parcours de la trajectoire dans un Dee est indépendante de la vitesse du proton et donner son expression en fonction de $m$, $e$ et $B$.

3) On suppose maintenant que la particule possède une vitesse initiale $\vec{V}_0 = V_0 \vec{i}$. Retrouver : $x(t)$, $y(t)$.