I) Puissance et travail d'une force

1) Puissance d'une force

Considérons un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse \(\vec{v}\) et soumis à la force \(\vec{F}\).

La puissance de \(\vec{F}\) est : \[P(\vec{F})=\vec{F}\cdot\vec{v} = F \cdot v \cdot \cos\alpha\]

La dimension de P est : \([P] = [M][L]^2/[T]^3\). L'unité du système international est le Watt (W).

Remarque :

• Si \(P > 0\), la puissance est motrice.
• Si \(P = 0\), la puissance est nulle.
• Si \(P < 0\), la puissance est résistante.

2) Travail élémentaire

Un point matériel M(m) subissant une force \(\vec{F}\) et se déplaçant de \(d\vec{OM}\) dans un Référentiel R.

Le travail élémentaire est : \[\delta W(\vec{F})=\vec{F}\cdot d\vec{OM}\]

L'unité est le Joule (J).

On a également : \[\delta W = \vec{F}\cdot d\vec{OM} = \vec{F}\cdot\vec{v}\cdot dt = P \cdot dt \implies P = \frac{\delta W}{dt}\]

Le travail de \(\vec{F}\) le long de la trajectoire (C) est : \[W = \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{OM}\]

• Si \(W > 0\), le travail est moteur.
• Si \(W = 0\), le travail est nul.
• Si \(W < 0\), le travail est résistant.

3) Travail d'une force constante

Si \(\vec{F} = \vec{\text{cte}}\), alors : \[W = \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{OM} = \vec{F}\cdot\vec{AB}\]

Le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la position initiale A et de la position finale B.

4) Travail du poids

Le poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) est une force constante.

Le travail du poids est : \[W(\vec{P}) = \vec{P}\cdot\vec{AB}\]

Si l'axe \(z\) est orienté vers le haut, le travail du poids est : \[W(\vec{P}) = -mg(z_B - z_A)\]

Si l'axe \(z\) est orienté dans le sens de \(\vec{g}\), le travail du poids est : \[W(\vec{P}) = +mg(z_B - z_A)\]

5) Travail de la force magnétique

La force magnétique est \(\vec{F}_{m} = q(\vec{v} \land \vec{B})\). Le travail de la force magnétique est nul, car \(\vec{F}_{m}\) est toujours perpendiculaire à \(\vec{v}\).

\[W = \int\vec{F}_{m}\cdot d\vec{M} = \int q(\vec{v} \land \vec{B})\cdot\vec{v}\cdot dt = 0\]

II) Énergie cinétique

1) Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un point matériel M de masse m et de vitesse v est : \[E_c = \frac{1}{2}mv^2\]

2) Théorème de la puissance cinétique

La puissance d'une force est \(P = \vec{F}\cdot\vec{v}\). En utilisant le principe fondamental de la dynamique \(\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}\), on a : \[P = m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\vec{v}^2\right) = \frac{dE_c}{dt}\]

Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique d'un point matériel est égale à la puissance de la résultante des forces appliquées à ce point matériel.

3) Théorème de l'énergie cinétique

De la relation \(P = \frac{dE_c}{dt}\), on a \(dE_c = P\cdot dt = \delta W\). En intégrant entre deux instants \(t_A\) et \(t_B\), on obtient : \[\Delta E_c = W(\vec{F})\]

Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux instants \(t_A\) et \(t_B\) est égale au travail de la résultante des forces appliquées sur ce point matériel entre ces deux instants.

Application (Pendule simple)

On a \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). La vitesse est \(v=l\dot{\theta}\), donc l'énergie cinétique est : \(E_c(t) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2\).

Le travail des forces est :

• Travail du poids : \(W(\vec{P}) = -mgh = -mgl(\cos\theta - \cos\theta_o)\).
• Travail de la tension du fil : \(W(\vec{T}) = 0\).

D'après le théorème de l'énergie cinétique : \(\Delta E_c = W(\vec{P}) + W(\vec{T})\), ce qui mène à l'équation différentielle : \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0\]

Pour les faibles angles, \(\sin\theta \simeq \theta\), l'équation devient : \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0\]

III) Forces conservatives

1) Définition

Une force \(\vec{F}\) est dite conservative s'il existe une fonction d'état \(E_P\) (énergie potentielle) ne dépendant pas du chemin suivi, telle que : \[\delta W(\vec{F}) = \vec{F}\cdot d\vec{OM} = -dE_P\]

Par identification, on a la relation : \[\vec{F} = -\vec{\nabla}E_P\]

Conclusion : Une force est conservative si elle dérive d'une énergie potentielle.

2) Exemples

a) Le poids

Le travail élémentaire du poids est \(\delta W(\vec{P}) = m\vec{g}\cdot d\vec{r}\). Avec \(\vec{g} = -g\vec{e}_{z}\), on a : \[\delta W = -mg \cdot dz = -d(mgz + \text{cte}) = -dE_P\]

L'énergie potentielle de pesanteur est \(E_P = mgz + \text{cte}\). Le poids est donc une force conservative.

b) Force de frottement

Le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi, elle est donc non conservative.

c) Force de rappel élastique

La force de rappel est \(\vec{F} = -k\vec{x}\). Le travail élémentaire est \(\delta W = \vec{F}\cdot d\vec{x} = -kxdx\). \[\delta W = -kxdx = -d\left(\frac{1}{2}kx^2 + \text{cte}\right) = -dE_P\]

L'énergie potentielle élastique est \(E_P = \frac{1}{2}kx^2 + \text{cte}\). La force est conservative.

d) Force gravitationnelle

La force gravitationnelle est \(\vec{F} = -G\frac{m_A m_B}{r^2}\vec{e}_{r} = -\frac{\alpha}{r^2}\vec{e}_{r}\). Le travail élémentaire est : \[\delta W = \vec{F}\cdot d\vec{r} = -\frac{\alpha}{r^2} dr = -d\left(-\frac{\alpha}{r} + \text{cte}\right) = -dE_P\]

L'énergie potentielle gravitationnelle est \(E_P = -\frac{\alpha}{r} + \text{cte}\). Cette force est conservative.

e) Force de Coulomb

La force de Coulomb est \(\vec{F} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}\vec{e}_{r} = -\frac{\alpha}{r^2}\vec{e}_{r}\). L'énergie potentielle est de la forme \(E_P = \frac{-\alpha}{r} + \text{cte}\), où \(\alpha = \frac{-q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\). Cette force est conservative.

4) Énergie mécanique

a) Définition

L'énergie mécanique d'un point matériel est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. \[E_m = E_c + E_P\]

b) Théorème de l'énergie mécanique

La résultante des forces est la somme des forces conservatives \(\vec{F}_c\) et non conservatives \(\vec{F}_{nc}\).

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : \[\Delta E_c = W(\vec{F}) = W(\vec{F}_c) + W(\vec{F}_{nc})\]

Sachant que \(W(\vec{F}_c) = -\Delta E_P\), on a : \[\Delta E_c = -\Delta E_P + W(\vec{F}_{nc}) \implies \Delta E_c + \Delta E_P = W(\vec{F}_{nc})\]

Comme \(\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_P\), on obtient : \[\Delta E_m = W(\vec{F}_{nc})\]

Énoncé : La variation de l'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives.

c) Intégrale première de l'énergie

Si le travail des forces non conservatives est nul (\(W(\vec{F}_{nc}) = 0\)), alors l'énergie mécanique se conserve : \[\Delta E_m = 0 \implies E_m = \text{cte}\]

5) Équilibre d'un point matériel dans un champ de forces conservatives

a) Problème à un degré de liberté

La position est définie par une seule variable \(x\). La force conservative est \(F(x) = -\frac{dE_P}{dx}\).

b) Condition d'équilibre

L'équilibre est atteint en \(x_e\) si \(F(x_e) = 0\), ce qui implique que \(\left(\frac{dE_P}{dx}\right)_{x_e} = 0\). À l'équilibre, l'énergie potentielle est extrémale.

c) Condition de stabilité

• **Stable :** Si on s'écarte de \(x_e\), la force ramène le point à l'équilibre.
• **Instable :** Si on s'écarte de \(x_e\), la force l'éloigne de l'équilibre.

d) Critère de stabilité

Au voisinage de \(x_e\), le développement limité de \(E_P(x)\) donne : \[E_P(x)\simeq E_P(x_e) + \frac{1}{2}(x-x_e)^2\left(\frac{d^2E_P}{dx^2}\right)_{x_e}\]

La force est alors : \[F(x) \simeq -(x-x_e)\left(\frac{d^2E_P}{dx^2}\right)_{x_e}\]

• Si \(\left(\frac{d^2E_P}{dx^2}\right)_{x_e} > 0\), \(E_P\) a un minimum en \(x_e\). L'équilibre est **stable**.
• Si \(\left(\frac{d^2E_P}{dx^2}\right)_{x_e} < 0\), \(E_P\) a un maximum en \(x_e\). L'équilibre est **instable**.