Puissance et travail d'une force & Théorème de l'énergie cinétique
I. Puissance et travail d'une force
1. Puissance d'une force
Considérons un point matériel de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\) et soumis à la force \(\overrightarrow{F}\). La puissance de la force \(\overrightarrow{F}\) :
\( P(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = F v \cos\alpha \)
Dimension : \([P] = [M][L]^2/[T]^3\). L'unité SI est le watt (W).
Signe de la puissance :
- \(P > 0\) : puissance motrice
- \(P = 0\) : puissance nulle
- \(P < 0\) : puissance résistante
2. Travail élémentaire
Un point matériel \(M(m)\) subissant une force \(\overrightarrow{F}\) se déplace de \(d\overrightarrow{OM}\) dans un référentiel \(R\). Le travail élémentaire de \(\overrightarrow{F}\) :
\( \delta W(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} \)
Unité : le joule (J).
On a également la relation entre puissance et travail :
\( \delta W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} \, dt = P \, dt \quad \Longrightarrow \quad P = \frac{\delta W}{dt} \)
Le travail de \(\overrightarrow{F}\) le long d'une trajectoire \((C)\) de \(A\) à \(B\) est :
\( W_{A \to B}(\overrightarrow{F}) = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} \)
Signe du travail :
- \(W > 0\) : travail moteur
- \(W = 0\) : travail nul
- \(W < 0\) : travail résistant
3. Travail d'une force constante
Si \(\overrightarrow{F} = \overrightarrow{\text{constante}}\), alors :
\( W_{A \to B}(\overrightarrow{F}) = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB} \)
Le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions initiale \(A\) et finale \(B\).
4. Travail du poids
Le poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\) est une force constante. Son travail est \( W(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB} \).
En fonction de l'orientation de l'axe vertical \(z\) :
- Axe \(z\) orienté vers le haut :
\( W(\overrightarrow{P}) = -mg(z_B - z_A) \)
- Axe \(z\) orienté dans le sens de \(\overrightarrow{g}\) :
\( W(\overrightarrow{P}) = +mg(z_B - z_A) \)
5. Travail de la force magnétique
La force magnétique est \(\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})\). Elle est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\overrightarrow{v}\).
\( W = \int \overrightarrow{F}_m \cdot d\overrightarrow{OM} = \int q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{v} \, dt = 0 \)
Conclusion : Le travail de la force magnétique est nul.
II. Énergie cinétique
1. Énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un point matériel \(M\) de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est :
\( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \)
2. Théorème de la puissance cinétique
En partant de la puissance de la résultante des force \(\overrightarrow{F}\)appliquées au point M, \(P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}\) et du principe fondamental de la dynamique (\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\)) :
\( P = m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \right) = \frac{dE_c}{dt} \)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique d'un point matériel est égale à la puissance de la résultante des forces appliquées à ce point.
3. Théorème de l'énergie cinétique
De la relation \(P = \frac{dE_c}{dt}\), on a \(dE_c = P\,dt = \delta W\). En intégrant entre deux instants \(t_A\) et \(t_B\) :
\( \Delta E_c = W(\overrightarrow{F}) \)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux instants est égale au travail de la résultante des forces appliquées sur ce point entre ces deux instants.
Application : pendule simple – Démarche énergétique
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique trouver l'équation différentielle d'un pendule simple.
Conditions initiales :
- À \( t = 0 \) : \( \theta(0) = \theta_0 \), \( \dot{\theta}(0) = 0 \) (lâché sans vitesse initiale).
- À \( t > 0 \) : \( \theta = \theta(t) \) (angle fonction du temps).
1. Énergie cinétique :
L’énergie cinétique s’écrit :
\( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \)
Pour un pendule de longueur \( l \), la masse \( m \) décrit un arc de cercle de rayon \( l \). En coordonnées polaires (\( \overrightarrow{e}_r, \overrightarrow{e}_\theta \)), le vecteur position est :
\( \overrightarrow{OM} = l \, \overrightarrow{e}_r \). La vitesse s’écrit :
\( \overrightarrow{v} = \frac{d \overrightarrow{OM}}{dt} = l \dot{\theta} \, \overrightarrow{e}_\theta \)
Sa norme au carré est :
\( v^2 = l^2 \dot{\theta}^2 \)
D’où l’énergie cinétique à un instant \( t \) :
\( \boxed{E_c(t) = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2} \)
2. Travail des forces :
-
Poids \( \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} \) :
La variation d’altitude par rapport à la position d’équilibre (\( \theta = 0 \)) est :Le travail du poids entre \( \theta_0 \) et \( \theta \) est :\( h = l(1 - \cos\theta) \)
\( W(\overrightarrow{P}) = m g \Delta h = mgl (\cos\theta - \cos\theta_0) \)
-
Tension du fil \( \overrightarrow{T} \) :
Cette force est constamment perpendiculaire au déplacement (dirigée selon \( \overrightarrow{e}_r \)), donc son travail est nul :\( \boxed{W(\overrightarrow{T}) = 0} \)
3. Application du théorème de l’énergie cinétique :
\( \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) + W(\overrightarrow{T}) \)
Soit :
\( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}_0^2 = mgl (\cos\theta - \cos\theta_0) \)
Pour \( \dot{\theta}_0 = 0 \) :
\( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 = mgl (\cos\theta - \cos\theta_0) \)
Dérivons par rapport au temps la relation \( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 = -mgl (\cos\theta - \cos\theta_0) \) :
\( m l^2 \dot{\theta} \ddot{\theta} = -mgl \sin\theta \, \dot{\theta} \)
En simplifiant par \( m l \dot{\theta} \) (pour \( \dot{\theta} \neq 0 \)), il vient :
\( \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0} \)
5. Approximation des petits angles :
Pour \( \theta \) faible (en radian), on a \( \sin\theta \approx \theta \). L’équation devient alors :
\( \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0} \)
Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre :
\( \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \)
et de période :
\( T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)
III. Forces conservatives – Définition et propriétés
1. Définition : Une force \( \overrightarrow{F} \) est dite conservative s'il existe une fonction d'état \( E_p \) (appelée énergie potentielle), ne dépendant pas du chemin suivi, telle que :
\( \delta W(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} = -dE_p \)
Remarques :
-
La différentielle de \( E_p \) en coordonnées cartésiennes s'écrit :
\( dE_p = \frac{\partial E_p}{\partial x} dx + \frac{\partial E_p}{\partial y} dy + \frac{\partial E_p}{\partial z} dz \)
-
Le gradient de \( E_p \) est défini par :
\( \overrightarrow{\text{grad}} \, E_p = \frac{\partial E_p}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial E_p}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial E_p}{\partial z} \overrightarrow{k} \)
-
Le vecteur déplacement élémentaire s'écrit :
\( d\overrightarrow{OM} = dx \, \overrightarrow{i} + dy \, \overrightarrow{j} + dz \, \overrightarrow{k} \)
2. Relation entre le gradient et la force :
Le produit scalaire du gradient de \( E_p \) par \( d\overrightarrow{OM} \) donne :
\( \overrightarrow{\text{grad}} E_p \cdot d\overrightarrow{OM} = \frac{\partial E_p}{\partial x} dx + \frac{\partial E_p}{\partial y} dy + \frac{\partial E_p}{\partial z} dz = dE_p \)
En comparant avec la définition \( \delta W(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} = -dE_p \), on obtient :
\( \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} = - \overrightarrow{\text{grad}} E_p \cdot d\overrightarrow{OM} \)
Cette égalité étant vraie pour tout déplacement \( d\overrightarrow{OM} \), on en déduit :
\( \boxed{\overrightarrow{F} = - \overrightarrow{\text{grad}} E_p} \)
Conclusion : Une force \( \overrightarrow{F} \) est conservative si et seulement s'il existe une fonction scalaire \( E_p \) (l'énergie potentielle) telle que \( \overrightarrow{F} = - \overrightarrow{\text{grad}} E_p \). L'énergie potentielle ne dépend alors que de la position, et le travail de la force ne dépend pas du chemin suivi, seulement des positions initiale et finale.
Exemples de forces conservatives
a) Le poids :
\(\quad \delta W(\overrightarrow{p}) = \overrightarrow{p} . d\overrightarrow{OM} = m\overrightarrow{g} .d\overrightarrow{OM} \)
\( \overrightarrow{g} = -g \overrightarrow{e}_z \quad d\overrightarrow{OM} = dx \overrightarrow{e}_x + dy \overrightarrow{e}_y + dz \overrightarrow{e}_z \)
\( \delta W = -mg .dz = -d (mgz + cte) = -dE_p \)
\( d'où \quad E_p = mgz + cte \)
Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la position initiale A et la position finale B
→ le poids est une force conservative
→ l'énergie potentielle de pesanteur : \( E_{pp} = mgz + cte \)
b) Force de frottement :
Le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi donc il s'agit d'une force non conservative.
c) Force de rappel élastique :
\( \overrightarrow{OM} = (l - l_0) \overrightarrow{e_x} = x \overrightarrow{e_x} \)
\( d\overrightarrow{OM} = dx \overrightarrow{e_x} \)
\( \overrightarrow{F} = -k x \overrightarrow{e_x} \)
\( \delta W = \overrightarrow{F}. d\overrightarrow{OM} = -k x dx = -d \left( \frac{1}{2} k x^2 + cte \right) = -dE_p \)
\( \Rightarrow \quad E_p = \frac{1}{2} k x^2 + cte \)
Ainsi : la force de rappel élastique est une force conservative
* Énergie potentielle élastique : \( E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2 + cte \)
d) Force gravitationnelle :
\( \overrightarrow{F}_{A/B} = -G \frac{m_A m_B}{r^2} \overrightarrow{e_r} = -\frac{\alpha}{r^2} \overrightarrow{e_r} \)
\( \alpha = G m_A m_B \)
en coordonnées sphériques : \( d\overrightarrow{OM} = dr \overrightarrow{e_r} + r d\theta \overrightarrow{e_\theta} + r \sin\theta d\varphi \overrightarrow{e_\varphi} \)
\( \delta W = \overrightarrow{F}. d\overrightarrow{OM} = -\frac{\alpha}{r^2} dr = -d \left( -\frac{\alpha}{r} + cte \right) = -dE_p \)
\( \Rightarrow \quad E_p = -\frac{\alpha}{r} + cte \)
e) Force de Coulomb :
\( \overrightarrow{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \overrightarrow{e_r} = -\frac{\alpha}{r^2} \overrightarrow{e_r} \)
\( \alpha = -\frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0} \)
\( \Rightarrow \quad E_p = -\frac{\alpha}{r} + cte \)
4. Énergie mécanique
a) Définition
L'énergie mécanique \(E_m\) d'un point matériel est la somme de ses énergies cinétique et potentielle :
\( E_m = E_c + E_p \)
b) Théorème de l'énergie mécanique
b) Théorème de l'énergie mécanique :
La résultante des forces appliquées à un point matériel :
\( \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_c + \overrightarrow{F}_{nc} \)
\( \overrightarrow{F}_c : \text{forces conservatives} \)
\( \overrightarrow{F}_{nc} : \text{forces non conservatives} \)
On a :
\( W(\overrightarrow{F}_c) = -\Delta E_p \)
Théorème de l'énergie cinétique :
\( \Delta E_c = W(\overrightarrow{F}) + W(\overrightarrow{F}_{nc}) \)
\( = -\Delta E_p + W(\overrightarrow{F}_{nc}) \)
\( \Delta E_c + \Delta E_p = W(\overrightarrow{F}_{nc}) \)
\( \Delta E_m = W(\overrightarrow{F}_{nc}) \)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie mécanique entre deux instants égale au travail de la résultante des forces non conservatives entre ces instants :
\( \boxed{\Delta E_m = W(\overrightarrow{F}_{nc})} \)
\( \frac{dE_m}{dt} = \frac{\delta W(\overrightarrow{F}_{nc})}{dt} = P(\overrightarrow{F}_{nc}) \)
e) Intégrale première de l'énergie :
Si \( W(\overrightarrow{F}_{nc}) = 0 \)
\( \Delta E_m = 0 \)
\( \Rightarrow E_m = \text{constante} \)
Intégrale première de l'énergie :
\( \boxed{E_m = \text{constante}} \)
* L'énergie mécanique se conserve *
5. Application à l’étude qualitative des mouvements et des équilibres
Dans ce paragraphe, on se place dans le cas où l’énergie mécanique se conserve c’est-à-dire dans le cas où toutes les forces qui travaillent sont conservatives.
5.1 Conséquence de la positivité de l'énergie cinétique
La conservation de l'énergie mécanique s'écrit :
\( E_c + E_p = E_m = \text{constante} \)
On en déduit :
\( E_c = \frac{1}{2}mv^2 = E_m - E_p \)
\( E_c \) est une quantité positive donc l'énergie mécanique \( E_m \) doit être supérieure à l'énergie potentielle \( E_p \) pour qu'il y ait mouvement.
5.2 Équilibre
Un point matériel est en équilibre lorsque sa vitesse et son accélération sont nulles.
D'après le principe fondamental de la dynamique :
\( \sum_i \overrightarrow{f}_i = \overrightarrow{0} \)
5.3 Détermination des positions d'équilibre
On cherche à déterminer les positions pour lesquelles le point matériel est à l'équilibre.
Lorsque l'ensemble des forces qui s'exercent sur un point matériel en équilibre sont conservatives, on peut utiliser un raisonnement énergétique. On étudie le cas où l'énergie \( E_p \) dépend seulement d'une variable de position notée \( x \).
Le travail de résultante des forces s'écrit :
\( \delta W = \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{OM} = F_x dx = -dE_p \)
donc :
\( F_x = -\frac{dE_p}{dx} \)
La condition d'équilibre impose alors d'avoir :
\( \frac{dE_p}{dx} = 0 \)
L'énergie potentielle passe par un extremum (minimum ou maximum) au(x) point(s) d'équilibre.
5.4 Étude de la stabilité des équilibres
a) Définition
On dit qu'un équilibre est stable si quand on l'écarte de sa position d'équilibre, le point matériel revient vers sa position d'équilibre initiale.
Un équilibre sera dit instable si le fait de l'écarter de sa position d'équilibre éloigne définitivement le point de cette position.
b) Analyse de la stabilité pour les forces conservatives
Au voisinage d'une position d'équilibre \( x_0 \), il est possible d'effectuer un développement limité de l'énergie potentielle à l'ordre 2 :
\( E_p(x) = E_p(x_0) + \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x=x_0} (x - x_0) + \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=x_0} \frac{(x - x_0)^2}{2} \)
Or \( x_0 \) est une position d'équilibre donc \( \left( \frac{dE_p}{dx} \right)_{x=x_0} = 0 \). Alors
\( E_p(x) = E_p(x_0) + \left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=x_0} \frac{(x - x_0)^2}{2} \)
On en déduit que le fait d'écarter légèrement de \( dx \) le point de sa position d'équilibre consiste à exercer une force élémentaire \( dF_x \) telle que
\( dF_x = -\left( \frac{dE_p}{dx} \right)(x = x_0 + dx) = -\left( \frac{d^2E_p}{dx^2} \right)_{x=x_0} dx \)
Equilibre stable : Si on exerce un déplacement \( dx > 0 \), il faut que \( dF_x < 0 \) pour ramener le point à sa position initiale. Cela impose donc :
\( \frac{d^2E_p}{dx^2}(x = x_0) > 0 \)
On retrouve le même résultat pour un déplacement \( dx < 0 \) (il faut alors que \( dF_x(x = x_0) > 0 \)). On en déduit qu'on aura un équilibre stable en \( x_0 \) si l'énergie potentielle est minimale en \( x_0 \).
Equilibre instable : Si on exerce un déplacement \( dx > 0 \), il faut que \( dF_x > 0 \) pour éloigner le point à sa position initiale. Cela impose donc :
\( \frac{d^2E_p}{dx^2}(x = x_0) < 0 \)
On retrouve le même résultat pour un déplacement \( dx < 0 \) (il faut alors que \( dF_x(x = x_0) < 0 \)). On en déduit qu'on aura un équilibre stable en \( x_0 \) si l'énergie potentielle est maximale en \( x_0 \).
Equilibre indifférent :
\( \frac{d^2 E_p}{dx^2} = 0 \)
Le point peut ou non revenir à sa position d'équilibre. Il faudrait étudier les dérivées d'ordre supérieur pour conclure.
