Puissance et travail d'une force & Théorème de l'énergie cinétique
Introduction
La mécanique du point permet de décrire le mouvement d'un corps en fonction des forces qui lui sont appliquées. Deux notions fondamentales émergent : la puissance et le travail d'une force, qui relient l'action mécanique à la variation d'énergie du système. Le théorème de l'énergie cinétique établit un pont direct entre le travail des forces et la vitesse du point matériel. Dans ce cours, nous étudierons ces concepts en détail, puis nous généraliserons aux forces conservatives, à l'énergie mécanique et à l'analyse qualitative des mouvements. Une application au pendule simple illustrera la puissance de la démarche énergétique.
I. Puissance et travail d'une force
1. Puissance d'une force
Considérons un point matériel de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\) et soumis à la force \(\overrightarrow{F}\). La puissance de la force \(\overrightarrow{F}\) :
Dimension : \([P] = [M][L]^2/[T]^3\). L'unité SI est le watt (W).
Signe de la puissance :
- \(P > 0\) : puissance motrice
- \(P = 0\) : puissance nulle
- \(P < 0\) : puissance résistante
2. Travail élémentaire
Un point matériel \(M(m)\) subissant une force \(\overrightarrow{F}\) se déplace de \(d\overrightarrow{OM}\) dans un référentiel \(R\). Le travail élémentaire de \(\overrightarrow{F}\) :
Unité : le joule (J).
On a également la relation entre puissance et travail :
Le travail de \(\overrightarrow{F}\) le long d'une trajectoire \((C)\) de \(A\) à \(B\) est :
Signe du travail :
- \(W > 0\) : travail moteur
- \(W = 0\) : travail nul
- \(W < 0\) : travail résistant
3. Travail d'une force constante
Si \(\overrightarrow{F} = \overrightarrow{\text{constante}}\), alors :
Le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions initiale \(A\) et finale \(B\).
4. Travail du poids
Le poids \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\) est une force constante. Son travail est \( W(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB} \).
En fonction de l'orientation de l'axe vertical \(z\) :
- Axe \(z\) orienté vers le haut : \( W(\overrightarrow{P}) = -mg(z_B - z_A) \)
- Axe \(z\) orienté dans le sens de \(\overrightarrow{g}\) : \( W(\overrightarrow{P}) = +mg(z_B - z_A) \)
5. Travail de la force magnétique
La force magnétique est \(\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})\). Elle est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\overrightarrow{v}\).
Conclusion : Le travail de la force magnétique est nul.
II. Énergie cinétique
1. Énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un point matériel \(M\) de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est :
2. Théorème de la puissance cinétique
En partant de la puissance de la résultante des force \(\overrightarrow{F}\) appliquées au point M, \(P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}\) et du principe fondamental de la dynamique (\(\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}\)) :
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique d'un point matériel est égale à la puissance de la résultante des forces appliquées à ce point.
3. Théorème de l'énergie cinétique
De la relation \(P = \frac{dE_c}{dt}\), on a \(dE_c = P\,dt = \delta W\). En intégrant entre deux instants \(t_A\) et \(t_B\) :
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux instants est égale au travail de la résultante des forces appliquées sur ce point entre ces deux instants.
Application : pendule simple – Démarche énergétique
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique trouver l'équation différentielle d'un pendule simple.
Conditions initiales :
- À \( t = 0 \) : \( \theta(0) = \theta_0 \), \( \dot{\theta}(0) = 0 \)
- À \( t > 0 \) : \( \theta = \theta(t) \)
1. Énergie cinétique :
Pour un pendule de longueur \( l \), la masse \( m \) décrit un arc de cercle. En coordonnées polaires, \( \overrightarrow{OM} = l \, \overrightarrow{e}_r \), \( \overrightarrow{v} = l \dot{\theta} \, \overrightarrow{e}_\theta \), \( v^2 = l^2 \dot{\theta}^2 \).
2. Travail des forces :
- Le travail du poids entre \(\theta_0\) et \(\theta\) : \( W(\overrightarrow{P}) = mgl (\cos\theta - \cos\theta_0) \)
- La tension du fil \(\overrightarrow{T}\) est perpendiculaire au déplacement, donc \( W(\overrightarrow{T}) = 0 \).
3. Application du théorème : \( \Delta E_c = W(\overrightarrow{P}) + W(\overrightarrow{T}) \)
En dérivant par rapport au temps et en simplifiant, on obtient l'équation différentielle :
5. Approximation des petits angles : Pour \(\theta\) faible, \(\sin\theta \approx \theta\).
Il s'agit d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \( \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \) et de période \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \).
III. Forces conservatives – Définition et propriétés
1. Définition : Une force \( \overrightarrow{F} \) est dite conservative s'il existe une fonction d'état \( E_p \) (énergie potentielle) telle que :
2. Relation avec le gradient :
Exemples de forces conservatives
a) Le poids :
\(\delta W = -mg\, dz = -d(mgz) \Rightarrow E_p = mgz + cte\)
b) Force de frottement : non conservative (travail dépend du chemin).
c) Force de rappel élastique :
\(\delta W = -k x\, dx = -d\left(\frac{1}{2}kx^2\right) \Rightarrow E_p = \frac{1}{2}kx^2 + cte\)
d) Force gravitationnelle :
\(\delta W = -\frac{\alpha}{r^2} dr = -d\left(-\frac{\alpha}{r}\right) \Rightarrow E_p = -\frac{\alpha}{r} + cte\)
e) Force de Coulomb : similaire avec \(\alpha = -\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\).
4. Énergie mécanique
a) Définition : \( E_m = E_c + E_p \)
b) Théorème de l'énergie mécanique :
En séparant forces conservatives et non conservatives, le théorème de l'énergie cinétique donne :
Si les forces non conservatives ne travaillent pas, l'énergie mécanique se conserve : \( E_m = \text{constante} \).
5. Application à l’étude qualitative des mouvements et des équilibres
Dans le cas où l'énergie mécanique se conserve (forces toutes conservatives), on a \(E_c + E_p = E_m = \text{cte}\).
5.1 Conséquence : \(E_c \ge 0 \Rightarrow E_m \ge E_p\). Les mouvements ne sont possibles que dans les régions où \(E_m \ge E_p\).
5.2 Équilibre : Un point est en équilibre si sa vitesse et son accélération sont nulles. Pour des forces conservatives, la condition d'équilibre s'écrit \(\frac{dE_p}{dx}=0\) (extremum de \(E_p\)).
5.3 Stabilité :
- Équilibre stable : \(\frac{d^2E_p}{dx^2} > 0\) (minimum de \(E_p\)).
- Équilibre instable : \(\frac{d^2E_p}{dx^2} < 0\) (maximum de \(E_p\)).
- Équilibre indifférent : \(\frac{d^2E_p}{dx^2} = 0\) (étude à l'ordre supérieur).
Conclusion
Ce cours a introduit les notions fondamentales de puissance et de travail d'une force, puis a établi le théorème de l'énergie cinétique, outil puissant pour relier forces et vitesse. L'extension aux forces conservatives a permis de définir l'énergie potentielle et l'énergie mécanique, dont la conservation simplifie considérablement l'étude des systèmes. L'analyse des positions d'équilibre et de leur stabilité par l'énergie potentielle offre une méthode qualitative rapide et intuitive. Ces concepts sont essentiels pour aborder des systèmes plus complexes en mécanique, en physique des particules ou en ingénierie.