Exercice 1 : Étude d’un projectile avec et sans frottement

Un trièdre orthonormé (\(Ox, Oy, Oz\)) est lié au sol terrestre d’axe \(Oz\) vertical ascendant. Le champ de pesanteur, supposé uniforme, est noté : \( \vec{g} = -g \vec{e}_{y} \). A l’origine des temps (\(t = 0\)), un projectile supposé ponctuel, de masse \(m = 1kg\), est lancé du point \(O\) avec une vitesse initiale \( \vec{V}_{o} \) située dans le plan \(xOy\), faisant un angle \( \alpha \) avec l’horizontale : \( V_o=10 m/s \).

1. En projetant la RFD dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer les composantes du vecteur \( \vec{OM} \).
2. Exprimer, en fonction de \( V_o \), \( g \) et \( \alpha \) le temps nécessaire pour que le projectile atteigne sa plus haute altitude S, et les coordonnées de ce point S.
3. Pour quelle valeur de l’angle \( \alpha \) la portée du lancement est-elle maximale ? Calculer cette portée.
4. En supposant le module \( V_o \) de la vitesse initiale, constant, mais \( \alpha \) variable ; Donner l’équation de la courbe ( dite de sûreté ) séparant les points du plan \(xOy\) pouvant être atteints par le projectile, de ceux qui ne seront jamais atteints.
5. Le sol fait un angle \( \theta_{o} < \alpha \) avec l’horizontale Ox. Déterminer \( \alpha \) pour que la portée soit maximale. Puis calculer la valeur de cette portée pour \( \theta_{o} = 50^\circ \).
   

6. Dans cette partie, on suppose que la résistance de l’air est modélisable par une force de type \( \vec{F} = -k\vec{V} \).

1. Déterminer les composantes du vecteur vitesse \( \vec{V}(M) \).
2. En déduire celles du vecteur position \( \vec{OM} \).

Exercice 2 : Particule soumise à un frottement fluide de type : \( f = -k \cdot V^2 \)

Une particule matérielle est lâchée sans vitesse initiale en un lieu ou règne un champ de pesanteur uniforme. La particule est soumise, en plus de la pesanteur, à une force de frottement de l’air proportionnelle au carré de sa vitesse, d’intensité \( f = kV^2 \) (\( k > 0 \)) et de sens opposé au mouvement. Le référentiel d’étude est un référentiel terrestre considéré galiléen. Le mouvement de la particule est repéré sur un axe Oz descendant, d’origine O (position initiale de la particule) et de vecteur unitaire \( \vec{e}_{z} \).

1. Écrire l’équation du mouvement de chute. Quelle est la vitesse limite \( V_{\infty} \) atteinte par la particule?
2. Exprimer la vitesse de la particule à l’instant t, en fonction de \( t, V_{\infty} \) et \( g \).
3. Quelle est l’expression de la distance parcourue à l’instant t en fonction de \( g, V_{\infty} \) et \( V \)?

On rappelle que : \( \frac{2a}{a^2 - x^2} = \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} \)

Exercice 3 : Le pendule simple

On considère le mouvement d’un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement sont inexistantes. Le pendule est constitué d’un objet ponctuel M de masse \( m \), accroché par l’intermédiaire d’un fil rigide à un point O fixe. On suppose le fil rigide sans masse, sa longueur est \( \ell = 1m \). On note l’angle du fil OM avec la verticale. L’ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre \( \vec{g} \) considéré comme uniforme.

On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle \( \theta(t = 0) = \theta_{o} \) et le lâche sans vitesse initiale.

1. En utilisant la R.F.D établir :
1. L’équation différentielle du mouvement.
2. L’expression de la tension \( \vec{T} \) du fil.
3. L’expression de la pulsation propre \( \omega_{o} \) du mouvement.
2. Résoudre l’équation différentielle du mouvement.
3. Établir et tracer l’équation de la trajectoire de phase dans le plan \( (u = \frac{\dot{\theta}}{\omega_{o}}) \), puis conclure.
4. On a mesuré pour 20 périodes une durée de 40,12s, Déduire de cette expérience une valeur de \( g \).