Exercice 1 : Travail d'une force
On considère un point matériel M de masse m pouvant se déplacer le long de l'axe \((O,\overrightarrow{e_x})\) dans le référentiel ℜ. Il est soumis à une force :
\[ \overrightarrow{F} = -k x \overrightarrow{e_x} \]
où \(x\) est la position du point M.
1. Déterminer le travail de la force \(\overrightarrow{F}\) pour aller de A\((x_A)\) à B\((x_B)\) directement en suivant l'axe \((O,\overrightarrow{e_x})\).
2. Déterminer le travail de la force \(\overrightarrow{F}\) pour aller de A\((x_A)\) à B\((x_B)\) en passant par le point C\((x_C)\) (tout en restant sur l'axe \((O,\overrightarrow{e_x})\)).
3. Conclure : la force \(\overrightarrow{F}\) est-elle conservative ? Si oui, déterminer l'énergie potentielle associée.
On considère maintenant que le point matériel est soumis à la force :
\[
\overrightarrow{F} =
\begin{cases}
-F_0 \overrightarrow{e_x} & \text{si déplacement dans le sens des } x \text{ croissants} \\
F_0 \overrightarrow{e_x} & \text{si déplacement dans le sens des } x \text{ décroissants}
\end{cases}
\]
où \(F_0\) est une constante positive.
4. Déterminer le travail de \(\overrightarrow{F}\) lorsque M passe directement de A\((x=1)\) à B\((x=3)\) en suivant l'axe \((O,\overrightarrow{e_x})\).
5. Déterminer le travail de la force \(\overrightarrow{F}\) pour aller de A\((x=1)\) à B\((x=3)\) en passant par le point C\((x=4)\).
6. Conclure : cette force est-elle conservative ? Si oui, déterminer l'énergie potentielle associée.
Exercice 2 : Saut en voiture
Un cascadeur veut sauter avec sa voiture sur la terrasse horizontale EH d'un immeuble. Il utilise un tremplin BOC formant un angle \(\alpha\) avec le sol horizontal ABCD.
On étudiera le mouvement de l’ensemble assimilable à un point matériel: son centre d’inertie G.
Pour simplifier le problème, on considérera que, dans la phase aérienne de O à E, les frottements sont inexistants et on admettra qu’à la date initiale le centre d’inertie G quitte le point O avec la vitesse \(\overrightarrow{v_0}\) et que G est confondu avec le point E à l’arrivée sur la terrasse.
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Masse (voiture + pilote) | \(m = 1,00\ \text{tonne}\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g = 9,81\ \text{N.kg}^{-1}\) |
| Angle du tremplin | \(\alpha = 15,0^\circ\) |
| DE | 10,0 m |
| OC | 8,00 m |
| CD | 15,0 m |
1. Faire le bilan des forces dans les trois phases du mouvement (B à O, O à E et E à H).
2. Déterminer le travail de chacune des forces dans chaque phase.
3. Pour une vitesse initiale \(\overrightarrow{v_0}\), l'automobile arrive en E avec une vitesse horizontale \(v_1 = 86,4\ \text{km/h}\). Déterminer la valeur de \(v_0\) (en km/h) en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
4. Sur la terrasse, les frottements sont équivalents à une force constante \(\overrightarrow{f}\) (f = 500 N) parallèle au déplacement. Calculer la valeur de la force de freinage constante \(\overrightarrow{F}\) qui permettra au véhicule de s'arrêter sur EH = 100 m.
5. Le temps de parcours de EH est t = 8,00 s. En déduire la puissance du travail de la force \(\overrightarrow{F}\).
Exercice 3 : Masse et ressort
Un point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottement sur un rail horizontal repéré par un axe Ox. Il est attaché à un ressort de raideur k et de longueur à vide \(l_0\), fixé en O' (situé à une distance \(d > l_0\) de O, sur la même verticale).
M est initialement en \(x = a\) avec vitesse nulle. Déterminer sa vitesse en fonction de x.
Exercice 4 : Montagnes russes
Une portion de montagnes russes a le profil de la figure. Un chariot, assimilé à un point matériel de masse m, parcourt ce dispositif sans frottement. A l'instant initial, il est lancé de A, d'ordonnée \(h_A\), avec une vitesse nulle.
1. Intéressons-nous au risque de décollage du chariot en C, point d'altitude \(h_C\). Le profil de la piste en C est circulaire (rayon \(r_1\), centre C'). Déterminer les conditions sur \(h_A\) pour que le chariot atteigne C sans décoller.
2. Étude de la boucle de centre D et de rayon \(r_2\) :
a. Calculer la vitesse et la réaction de la piste en fonction de \(\theta_2\).
b. Déterminer les conditions sur \(h_A\) pour que le chariot fasse un tour complet sans décoller.
Exercice 5 : Pendule avec clou
Un pendule est constitué d'un fil de longueur constante l attaché à un point fixe A. A son extrémité est attaché un point matériel M de masse m. Son inclinaison par rapport à la verticale est notée \(\alpha\). Tout frottement est négligé.
Un clou est planté en B, sur la même verticale que A à la distance d de ce point. Lorsque le pendule entre en contact avec le clou, on supposera qu'aucun transfert énergétique ne se produit.
Le pendule est lâché sans vitesse initiale depuis \(\alpha = \frac{\pi}{2}\). Déterminer la condition sur d et l pour que le pendule s'enroule en restant tendu.
Exercice 6 : Tunnel terrestre
Un tunnel rectiligne a été creusé à travers la Terre, sans passer par O, à une distance d = 5000 km du centre de la Terre. Un véhicule ponctuel M de masse m est abandonné sans vitesse initiale à une extrémité A du tunnel, le déplacement se fait sans frottement suivanr l'axe ox parallèle au tunnel.
Le poids du véhicule s'exprime par :
\[ \overrightarrow{F} = -m g_0 \frac{r}{R_T} \overrightarrow{u_r} \]
avec \(\overrightarrow{OM} = r \overrightarrow{u_r}\), \(R_T = 6400\ \text{km}\) (rayon terrestre) et \(g_0 = 10\ \text{m.s}^{-2}\).
1. Commenter cette expression du poids.
2. Déterminer l'énergie potentielle Ep(x) pour le mouvement dans le tunnel (prendre Ep(A) = \(\frac{1}{2} m g_0 R_T\)).
3. Déterminer la nature du mouvement par une méthode énergétique.
4. Calculer la vitesse maximale de M (application numérique).
5. Représenter et commenter Ep(x). Décrire le mouvement à partir de A.
Exercice 7 : Perle sur cercle
Une perle M de masse m est enfilée sur un support circulaire de diamètre a et y glisse sans frottement. Elle est reliée à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, fixé en A sur un diamètre horizontal.
1. Quel système de coordonnées utiliser pour décrire le mouvement de M ?
2. Calculer l'énergie potentielle de M.
3. Déterminer les positions d'équilibre de M et vérifier leur cohérence dans les cas limites.
4. Identifier la position d'équilibre stable.
5. Déterminer la période des petites oscillations autour de cette position.