Exercice 1 :

Au tennis, un lob est réussi lorsque la balle passe au-dessus de l'adversaire et retombe avant la ligne de fond de court (12m du filet). Le joueur 1 situé à d₁ = 2m du filet (de hauteur 1m), tape la balle à une hauteur z₀ = 30 cm et lui communique une vitesse v₀ contenu dans un plan vertical, de valeur v₀ = 36 km/h et formant un angle α = 60° avec l'horizontale. On négligera les forces de frottement. On prendra g = 9,8 m/s².

1. Déterminer les équations horaires du centre d'inertie G de la balle dans le repère (i, j, k). La balle est frappée à la date t=0.
2. En déduire l'équation de la trajectoire de la balle.
3. La balle passe-t-elle au-dessus du filet ?
4. Le joueur 2 est à l'autre côté du filet. Il tend sa raquette verticalement pour essayer de toucher la balle : le tamis de sa raquette est alors situé à une hauteur h = 2,3 m. A quelle distance du filet le joueur 2 doit-il se placer ?
5. Si le joueur 2 se trouve à une distance d₂ = 4m du filet. Peut-il intercepter la balle ? Le lob est-il réussi ?
6. Caractériser le vecteur vitesse v de la balle lors de son impact sur le sol.

Exercice 2 :

Soient R(O, i, j, k) un repère cartésien muni de la base (i, j, k) et R'(O, e_ρ, e_φ, k) le repère cylindrique muni de la base (e_ρ, e_φ, k). Considérons un point matériel M de coordonnées cartésiennes (x,y,z) et cylindriques (ρ,φ,z).

1. Faire une représentation des vecteurs des deux bases associées à R et R' et des coordonnées du point M.
2. Donner les expressions du vecteur position OM et du déplacement élémentaire dOM dans les deux repères R et R'.
3. En déduire la surface et le volume d'un cylindre d'axe (Oz), de hauteur h et de rayon R.
4. Déterminer les expressions de x, y et z en fonction de ρ, φ et z.
5. Déterminer les expressions de ρ, φ et z en fonction de x, y et z.
6. Déterminer les expressions de ẋ, ẏ et ż en fonction de ρ, φ et z et leurs dérivées par rapport au temps ρ̇, φ̇ et ż.
7. Déterminer les expressions des vecteurs de la base (i, j, k) en fonction de celles de la base (e_ρ, e_φ, k).

Exercice 3 :

L'équation horaire du mouvement d'un point en coordonnées polaires est la suivante :

r = b exp(-t/τ) et θ = ωt

1. Calculer la vitesse et l'accélération de ce point
2. En déduire leur norme
3. Déterminer l'angle entre le vecteur position et le vecteur vitesse.

Exercice 4 :

On considère un point matériel M se déplaçant dans un référentiel R(O,xyz) muni de la base (i, j, k).

Les coordonnées du point M dans le référentiel R sont données par :

x(t) = t + 1, y(t) = t² + 1 et z(t) = 0 (t étant le temps)

1. Donner l'équation de la trajectoire de M dans R. En déduire sa nature.
2. Calculer la vitesse et l'accélération du point M.

Exercice 5 :

Un point matériel décrit la trajectoire plane dont l'équation s'écrit en coordonnées polaires :

r = r₀(1 + b cosθ), avec b est une constante et 0 < θ < π.

On suppose de plus que la vitesse angulaire ω = dθ/dt est une constante.

1. Tracer l'allure de la trajectoire à l'aide de quelques points particuliers.
2. Déterminer les composantes de la vitesse dans la base polaire.
3. En déduire la longueur de la trajectoire.
4. Déterminer les composantes de l'accélération, toujours en coordonnées polaires.
5. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire.

Exercice 6 :

Un mobile est repéré dans la base cylindrique associée à un référentiel donné R par : ρ = R, φ = ωt et z = at, où a, ω et R sont des constantes positives. La trajectoire est une hélice enroulée sur un cylindre à base circulaire.

Le pas h de l'hélice est, par définition, la distance qui sépare deux positions successives du mobile sur une même génératrice de l'hélice.

1. Faire une représentation graphique de la trajectoire de M dans R.
2. Quelles sont les unités, dans le système international (S.I.), de ω et a ? Quelle relation lie a à h ainsi ω.
3. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération en un point quelconque de la trajectoire :
   1. Dans la base de coordonnées cartésiennes.
   2. Dans la base de coordonnées cylindriques.
   3. Déterminer le rayon de courbure ρ_c en fonction de R, a et ω.
4. Déterminer les vecteurs unitaires de la base de coordonnées curvilignes, puis en déduire le rayon de courbure de la trajectoire dans R, Le comparer avec R.

Exercice 7 :

Un point matériel se déplace le long d'une hélice circulaire. Son mouvement est donné en coordonnées cylindriques par : r = R, θ = ωt et z = ht où R, h et ω sont des constantes.

1. Donner l'expression de la vitesse.
2. En déduire que le module de la vitesse est constant.
3. Exprimer l'accélération.

Exercice 8 :

Dans un référentiel R un point M décrit un cercle de centre O et de rayon r avec une vitesse V(M/R) de module ∥V∥= V₀/(1 + αt) où V₀ et α sont deux constantes positives.

1. Calculer l'abscisse curviligne S(t) du point M sachant que S(t=0) = 0.
2. En déduire la durée du 1^er tour effectué par le point M.
3. Exprimer V(M/R) l'accélération du point M dans la base de Frenet.

Exercice 9 :

Dans un référentiel R (O,x,y,z,t) un point M d'un cercle de rayon R se déplace dans le plan (Oxy) sans frottement comme l'indique la figure suivante :

1. En utilisant la relation de Chasles, déterminer les composantes du vecteur OM dans la base des coordonnées cartésiennes en fonction de R, θ.
2. Exprimer dans la base de coordonnées cartésiennes de R les composantes du vecteur vitesse V(M/R) et celles du vecteur accélération a(M/R) en fonction de R, ω et t.
3. Donner l'allure de la trajectoire de M par rapport à R (dite cycloïde).
4. Montrer que le rayon de courbure ρ_c de la trajectoire décrite par le point M dans R s'écrit sous la forme : ρ_c = 4R |sin(ωt/2)|

Exercice 10 :

Un point matériel M décrit la courbe d'équation polaire suivante : r = r₀exp(-t/τ) et θ = ωt où τ et ω sont des constantes positives.

1. Déterminer les composantes radiales et orthoradiales de la vitesse et de l'accélération de M. En déduire les normes de ces vecteurs ainsi que l'angle que fait le vecteur vitesse avec le rayon vecteur OA.
2. Déterminer les composantes intrinsèques (c'est-à-dire dans le repère de Frenet) de la vitesse et de l'accélération de M.
3. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.
4. Donner l'expression de l'abscisse curviligne S(t) (on prendra S(0) = 0), ainsi que les coordonnées des vecteurs e_t et e_n dans la base cylindrique. Retrouver le résultat de la question 2.

Exercice 11 :

On étudie le mouvement d'un point M dont le vecteur accélération est : a = -k(OM/r³) où k est une constante positive donnée, O est un point fixe, v le vecteur vitesse de M, r la distance OM supposée non nulle quelque soit le temps.

1. A l'instant initial le vecteur vitesse v₀ est perpendiculaire à OM₀, on pose r₀ = OM₀ valeur initiale de r. Exprimer en fonction du temps, l'abscisse curviligne de M.
2. Calculer la dérivée par rapport au temps du produit scalaire OM.v, en déduire la loi r(t).
3. On appelle ψ l'angle (compris entre 0 et π) que fait v avec OM. Calculer r.cosψ et r.sinψ à l'instant t. En déduire que ψ est une fonction strictement monotone de t.
4. Calculer en fonction de ψ, le module du vecteur accélération de M et la courbure de la trajectoire.