CPGE - MPSI | Cours de Thermodynamique

Chapitre 3 : Premier principe de la thermodynamique

Énergie interne, travail, transfert thermique

Transformations et capacités calorifiques

Introduction

Dans ce chapitre de thermodynamique destiné aux étudiants de CPGE MPSI, nous étudions le premier principe de la thermodynamique, qui exprime la conservation de l'énergie pour un système macroscopique.

Nous introduirons la notion d’énergie interne, les différents modes de transfert d’énergie sous forme de travail et de transfert thermique, ainsi que les capacités calorifiques et les transformations particulières comme les transformations adiabatiques.

Ce principe constitue un outil fondamental pour l’analyse des systèmes thermodynamiques fermés et permet d’établir des bilans énergétiques rigoureux dans les transformations physiques.

I) Premier principe – Énergie interne

1) Énergie interne

Définition
On considère un système thermodynamique au repos. L'énergie totale se décompose en :

\[ E = E_{c} + E_{p} = E_{c,\text{macro}} + E_{p,\text{macro}} + E_{c,\text{micro}} + E_{p,\text{micro}} \]
  • \(E_{c,\text{macro}}\) : énergie cinétique macroscopique
  • \(E_{p,\text{macro}}\) : énergie potentielle macroscopique
  • \(E_{c,\text{micro}}\) : énergie cinétique microscopique (agitation thermique)
  • \(E_{p,\text{micro}}\) : énergie potentielle microscopique (interactions)

L'énergie interne \(U\) est définie par :

\[ U = E_{c,\text{micro}} + E_{p,\text{micro}} \]

\(U\) est une grandeur extensive.

2) Premier principe de la thermodynamique

Énoncé
Pour un système fermé, la variation de son énergie totale \(\Delta E\) est égale à l'énergie reçue de l'extérieur (principe de conservation).

\[ \Delta E = E_f - E_i = E_{\text{reçue}} = \Delta(U + E_c + E_p) \]

Pour un système macroscopiquement au repos (\(E_c\) et \(E_p\) constantes) :

\[ \Delta U = W + Q \]

\(W\) : travail reçu, \(Q\) : transfert thermique reçu. Tous deux sont algébriques (positifs si reçus).

Remarques importantes

  • \(\Delta U\) ne dépend que des états initial et final (\(U\) est une fonction d'état).
  • \(W\) et \(Q\) dépendent du chemin suivi.
  • Pour un système isolé (\(W=0, Q=0\)) : \(\Delta U = 0\).
  • Forme différentielle : \(dU = \delta W + \delta Q\).

II) Expression du travail

1) Système soumis à des forces de pression extérieures

\[ \delta W = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot d\vec{x} = P_{\text{ext}} \, S \, dx = -P_{\text{ext}} \, dV \]

Travail total : \(\displaystyle W = \int_i^f -P_{\text{ext}} \, dV\).

Schéma d'un piston comprimant un gaz
Figure 1 – Travail des forces de pression

2) Représentation graphique

Dans le diagramme de Watt (\(P\) en fonction de \(V\)), le travail échangé lors d'une transformation quasi-statique est l'opposé de l'aire sous la courbe :

\[ W_{AB} = \int_A^B -P \, dV \]
Aire sous la courbe P(V)
Figure 2 – Interprétation graphique du travail

Cas particuliers :

  • Transformation monobare (\(P_{\text{ext}} = \text{cte}\)) : \(W = -P_{\text{ext}}(V_B - V_A)\).
  • Transformation isochore (\(dV = 0\)) : \(W = 0\).

3) Travail utile

Le travail total se décompose souvent en travail des forces de pression \(W_p\) et travail utile \(W_u\) (électrique, autre) :

\[ W = W_u + W_p \]

Exemple : travail électrique
Pour un dipôle soumis à une tension \(u(t)\) et parcouru par un courant \(i(t)\) :

\[ W = \int_{t_1}^{t_2} u(t) \, i(t) \, dt \]

III) Transfert thermique et capacités calorifiques

1) Transfert thermique

Pour une transformation :

\[ Q = \Delta U - W \]

Cas particuliers :

  • Isochore (\(W=0\)) : \(Q_V = \Delta U\).
  • Monobare (\(P_{\text{ext}} = P_i = P_f\)) : on introduit l'enthalpie \(H = U + PV\). Alors \(Q_p = \Delta H\).
  • Adiabatique (\(Q=0\)) : \(\Delta U = W\).

2) Capacités thermiques

À volume constant : \(C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\)  ⇒  \(dU = C_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV\).
Pour un gaz parfait (1ʳᵉ loi de Joule) : \(dU = C_V dT\).

À pression constante : \(C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P\)  ⇒  \(dH = C_P dT + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T dP\).
Pour un gaz parfait (2ᵉ loi de Joule) : \(dH = C_P dT\).

Relation de Mayer (gaz parfait) :

\[ C_P - C_V = nR \quad\text{et}\quad C_{P,n} - C_{V,n} = R \]

En posant \(\gamma = C_P/C_V\) :

\[ C_V = \frac{nR}{\gamma-1},\quad C_P = \frac{n\gamma R}{\gamma-1} \]

IV) Transformations adiabatiques et détentes

1) Transformation adiabatique mécaniquement réversible

Pour un gaz parfait, avec \(P = P_{\text{ext}}\) et \(\delta Q = 0\) :

\[ dU = -P dV,\quad dH = V dP \]

On en déduit les lois de Laplace (\(\gamma\) constant) :

\[ PV^\gamma = \text{cte},\quad TV^{\gamma-1} = \text{cte},\quad T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cte} \]

2) Détentes de Joule

Détente de Joule – Gay Lussac (irréversible, \(U = \text{cte}\)) :

Détente de Joule-Gay Lussac
Figure 3 – Détente de Joule-Gay Lussac

Pour un gaz parfait, \(\Delta U = 0 \Rightarrow \Delta T = 0\).

Détente de Joule – Thomson (irréversible, \(H = \text{cte}\)) :

Détente de Joule-Thomson
Figure 4 – Détente de Joule-Thomson

Dans une détente de Joule-Thomson, l'enthalpie reste constante : \(H_1 = H_2\).

Cas particuliers importants

Cas 1. Gaz parfait – Lois de Joule

\[ U = U(T),\quad H = H(T) \]

Cas 2. Phase condensée incompressible

\[ dU = dH = C \, dT,\quad C_P \approx C_V = C \]

Cas 3. Travail sur un cycle

\[ W_{\text{cycle}} = -\oint P_{\text{ext}} \, dV = \text{aire du cycle dans le diagramme } (P,V) \]

Sens trigonométrique : \(W>0\) (cycle récepteur) ; sens horaire : \(W<0\) (cycle moteur).

Conclusion

Le premier principe relie la variation d'énergie interne d'un système aux échanges d'énergie avec l'extérieur :

\[ \boxed{\Delta U = W + Q} \]

Cette relation fondamentale permet d'étudier toutes les transformations thermodynamiques, qu'elles soient réversibles ou irréversibles, et d'introduire les fonctions d'état enthalpie \(H\) et les capacités calorifiques.

CPGE MP – Thermodynamique – Cours complet

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