Régime sinusoïdal forcé
I) Régime sinusoïdal forcé et régime transitoire
1) Définitions :
La réponse d'un système linéaire à une excitation quelconque est la somme de :
- La solution générale de l'équation différentielle homogène (régime libre)
- Une solution particulière (régime permanent)
On appelle régime forcé la réponse en régime permanent à une excitation de type sinusoïdale.
2) Régime transitoire et régime forcé
L'obtention du régime forcé, comme celle de tout régime permanent, n'est pas instantanée. On observe toujours un régime transitoire entre deux régimes permanents qu'ils soient continus, forcés ou autres.
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RC avec R = 1 kΩ et C = 1 µF
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RLC avec L = 20 mH, C = 1 mF et R = 50 Ω
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RLC avec L = 20 mH, C = 1 mF et R = 283 Ω
Le régime transitoire est très court, c'est la raison pour laquelle on peut le négliger lorsqu'on étudie le régime permanent.
3) Circuit RLC série soumis à une excitation sinusoïdale
a) Introduction :
L'équation différentielle vérifiée par uc(t) :
\(\frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{du_{c}}{dt} + \frac{u_{c}}{LC} = \frac{e(t)}{LC}\)
L'équation différentielle vérifiée par i(t) :
\(\frac{d^{2}i}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = \frac{1}{L}\frac{de}{dt}\)
En notation complexe :
\((j\omega)^{2}\underline{i} + \frac{R}{L}j\omega\underline{i} + \frac{\underline{i}}{LC} = \frac{1}{L}j\omega\underline{e}\)
\(\underline{i} = \frac{\underline{e}}{R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})}\)
b) Résonance en intensité :
b.1) Étude de l'amplitude
Expression complexe de l'intensité :
\(\underline{i} = \frac{\underline{e}}{R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})} = \frac{\underline{e}}{R(1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega}))}\)
Amplitude de l'intensité complexe :
\(I = |\underline{i}| = \frac{E}{\sqrt{R^{2} + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^{2}}} = \frac{E}{R\sqrt{1 + Q^{2}(\frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega})^{2}}}\)
Propriétés :
- Quand ω → 0, f(ω) → +∞
- Quand ω → +∞, f(ω) → +∞
- La fonction f passe par un minimum à ω0 = \(\frac{1}{\sqrt{LC}}\), f(ω0) = R2
- Amplitude maximale I = \(\frac{E}{R}\) à ω = ω0 (résonance en intensité)
Courbe de résonance en intensité
b.2) Étude du déphasage
Déphasage φ entre i(t) et e(t) :
\(\varphi = -\arg(1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega}))\)
\(\tan \varphi = -Q(\frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega})\)
Comportement :
- ω → 0 : φ → π/2
- ω → +∞ : φ → -π/2
- ω = ω0 : φ = 0
b.3) Bande passante à -3 dB
Définition : ensemble des fréquences où |i(ω)| ≥ imax/√2
Calcul des pulsations limites :
\(\omega_{1} = \frac{-\omega_{0} + \omega_{0}\sqrt{1 + 4Q^{2}}}{2Q}\)
\(\omega_{4} = \frac{\omega_{0} + \omega_{0}\sqrt{1 + 4Q^{2}}}{2Q}\)
Largeur de bande passante :
\(\Delta\omega = \omega_{4} - \omega_{1} = \frac{\omega_{0}}{Q} = \frac{L}{R}\)
c) Résonance en tension aux bornes de la capacité
c.1) Étude de l'amplitude
Expression complexe :
\(\underline{u}_{c} = \frac{\underline{e}}{(1 - LC\omega^{2}) + jRC\omega} = \frac{\underline{e}}{1 - \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}} + j\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_{0}}}\)
Amplitude :
\(|\underline{u_{c}}| = \frac{E}{\sqrt{(1 - \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}})^{2} + \frac{1}{Q^{2}}\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}}}\)
Courbes de résonance en tension
c.2) Étude du déphasage
Déphasage pour la tension aux bornes du condensateur
II) Puissance en régime sinusoïdal forcé
1) Puissance instantanée :
Pour un dipôle avec tension u(t) et courant i(t) :
u(t) = Ueff√2 cos(ωt)
i(t) = Ieff√2 cos(ωt − φ)
Puissance instantanée :
P(t) = u(t)i(t) = UeffIeff[cos(2ωt − φ) + cos φ]
Cas particuliers :
- Résistor (φ = 0) : 0 < P < 2UeffIeff
- Bobine/Condensateur (φ = ±π/2) : -UeffIeff < P < UeffIeff
2) Puissance moyenne ou active :
Calcul de la puissance moyenne :
Pm = \(\frac{1}{T} \int_{0}^{T}{P(t)dt} = UI \cos \varphi\)
Cas particuliers :
- Résistor : Pm = UI
- Bobine/Condensateur : Pm = 0
3) Puissance en notation complexe :
Expression complexe :
\(\underline{P} = \frac{1}{2} \underline{u}.\underline{i}^* = UI(\cos\varphi + j\sin\varphi)\)
Composantes :
- Puissance active : Pm = UI cosφ = Re(\(\underline{P}\))
- Puissance réactive : Pr = UI sinφ = Im(\(\underline{P}\))
4) Adaptation d'impédance :
Condition pour maximiser la puissance transférée :
Zc = Zg*
Démonstration :
P = \(\frac{R_{c}.E^{2}}{(R_{c} + R_{g})^{2} + (X_{c} + X_{g})^{2}}\)
Conditions d'optimalité :
Conclusion :
Zc = Zg* (conjugué complexe)
