Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique
Introduction
L'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique est fondamentale en physique, que ce soit pour comprendre le fonctionnement des accélérateurs, des tubes cathodiques, ou encore la physique des plasmas. La force de Lorentz décrit l'action combinée des champs électrique et magnétique sur une charge en mouvement. Dans ce cours, nous analyserons en détail les effets de chaque champ séparément (électrique uniforme, magnétique uniforme) et nous aborderons les limites de la mécanique newtonienne lorsque la vitesse devient relativiste. Une attention particulière sera portée aux trajectoires obtenues et aux applications technologiques.
I. Force de Lorentz
1. Expression
Une particule de masse \(m\) et de charge \(q\), animée d'une vitesse \(\overrightarrow{V}\), subit en présence d'un champ électrique \(\overrightarrow{E}\) et d'un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\) la force de Lorentz :
Cette force est composée de deux termes :
- Force électrique : \(\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}\). \(\overrightarrow{F}_e\) est colinéaire à \(\overrightarrow{E}\) et son sens dépend du signe de \(q\).
- Force magnétique : \(\overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{V} \land \overrightarrow{B}\). Le sens de \(\overrightarrow{F}_m\) est tel que le trièdre \((q\overrightarrow{V}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{F}_m)\) est direct.
2. Puissance de la force de Lorentz
La force magnétique \(\overrightarrow{F}_m\) est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\overrightarrow{V}\). Par conséquent, sa puissance et son travail sont nuls.
Si la particule est uniquement soumise à la force \(\overrightarrow{F}_m\), alors la variation de son énergie cinétique est nulle, ce qui implique que sa vitesse est constante :
La puissance de la force électrique n'est pas nulle. \(\overrightarrow{F}_e\) est capable de mettre en mouvement une particule chargée ou de modifier son énergie cinétique.
En résumé :
- \(\overrightarrow{F}_e\) permet d'accélérer ou de freiner une particule chargée
- \(\overrightarrow{F}_m\) permet seulement de dévier une particule chargée
3. Ordres de grandeur et conséquences
Unités et ordres de grandeur :
- L'unité du champ électrique \(\overrightarrow{E}\) est le Volt par mètre (\(V \cdot m^{-1}\))
- L'unité du champ magnétique \(\overrightarrow{B}\) est le Tesla (T)
Comparaison entre \(\overrightarrow{F}_e\) et \(\overrightarrow{F}_m\) :
Pour une particule chargée typique, la force magnétique peut être de l'ordre de \(5 \cdot 10^{-13} N\) pour un champ \(\overrightarrow{B}\) peu intense. Pour générer une force électrique de même ordre de grandeur, il faudrait un champ \(\overrightarrow{E}\) de l'ordre de \(3 \cdot 10^6 V \cdot m^{-1}\), ce qui est un champ très important.
Conclusion : On utilise souvent le champ magnétique pour dévier des particules chargées, car il est plus efficace à champ égal.
Comparaison avec le poids de la particule :
Le poids d'un proton est de l'ordre de \(1,7 \cdot 10^{-26} N\).
- La force électrique est de l'ordre du poids pour un champ \(\overrightarrow{E}\) extrêmement faible (\(10^{-7} V \cdot m^{-1}\)). Le poids est donc largement négligeable devant la force électrique.
- La force magnétique est de l'ordre du poids pour une vitesse très faible (\(2 \cdot 10^{-3} m \cdot s^{-1}\)) dans le champ magnétique terrestre. Le poids est donc largement négligeable devant la force magnétique.
Conclusion générale : On peut toujours négliger le poids d'une particule chargée soumise à un champ électromagnétique.
II. Mouvement dans un champ électrique uniforme
1. Équation du mouvement
Soit une particule M de masse $m$ et de charge $q$, soumise à la force électrique $\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}$. D'après le principe fondamental de la dynamique (PFD) :
Conclusion : Le mouvement est caractérisé par une accélération constante.
2. Étude de la trajectoire
Les vecteurs vitesse et position sont donnés par :
En orientant l'axe $Ox$ dans le sens du champ électrique ($\overrightarrow{E} = E\overrightarrow{e}_x$) et la vitesse initiale $\overrightarrow{V}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'axe $Ox$, les équations paramétriques du mouvement sont :
Conclusion : Le mouvement se déroule donc dans le plan $xOy$.
Trajectoire lorsque la vitesse initiale est parallèle au champ :
Si $\alpha = 0$ ou $\alpha = \pi$, les équations deviennent :
Trajectoire lorsque la vitesse initiale n'est pas parallèle au champ :
Si $\sin\alpha \ne 0$, on peut exprimer le temps en fonction de y : $t = \frac{y}{v_0\sin\alpha}$. En substituant, on obtient l'équation de la trajectoire, une parabole passant par l'origine :
3. Accélération d'une particule chargée par un champ électrique
Énergie potentielle électrique :
La force électrique est conservative. Elle dérive d'une énergie potentielle $E_p(x)$ telle que :
L'énergie potentielle est : $E_p = q(-Ex + C)$. On définit le potentiel électrique $V$ tel que $E_p = qV$. On a donc $V = -Ex + C$.
Important : Le champ électrique est toujours dirigé vers les potentiels décroissants.
Conservation de l'énergie mécanique :
Comme la force électrique est conservative, l'énergie mécanique $E_m$ se conserve :
La variation d'énergie cinétique est égale à l'opposé de la variation d'énergie potentielle, ce qui donne la relation suivante :
Conséquences :
- Si $q > 0$, la particule est accélérée si $\Delta V < 0$, et freinée si $\Delta V > 0$
- Si $q < 0$, la particule est accélérée si $\Delta V > 0$, et freinée si $\Delta V < 0$
III. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
1. Mouvement uniforme
Dans un champ magnétique uniforme, la seule force qui agit sur la particule est la force magnétique $\overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{V} \land \overrightarrow{B}$ (le poids étant négligé). D'après le théorème de l'énergie cinétique, le travail de la force magnétique est nul, ce qui implique que la variation de l'énergie cinétique est nulle.
Conclusion : Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique est uniforme (la vitesse est constante en module).
2. Étude de la trajectoire
D'après le PFD, $\overrightarrow{a} = \frac{q}{m}(\overrightarrow{V} \land \overrightarrow{B})$. Le vecteur accélération est perpendiculaire à $\overrightarrow{V}$ et à $\overrightarrow{B}$.
Conséquence : Le mouvement est plan et se déroule dans un plan orthogonal au champ $\overrightarrow{B}$.
En utilisant le repère de Frenet, on peut décomposer l'accélération en une composante tangentielle et une composante normale :
Comme la vitesse $V$ est constante, l'accélération tangentielle est nulle ($\frac{dV}{dt} = 0$). On a donc $\overrightarrow{a} = \frac{V^2}{\rho}\overrightarrow{N}$. Par identification avec le PFD, on trouve que le rayon de courbure $\rho$ de la trajectoire est constant :
Conclusion : La trajectoire est circulaire.
3. Pulsation cyclotron
Le rayon de la trajectoire est $R = \frac{mV_0}{qB}$.
La grandeur $\frac{qB}{m}$ a une dimension d'une inverse de temps et est appelée pulsation cyclotron $\omega_c$ :
On a alors la relation : $V_0 = \omega_c R$.
Remarque : Si la vitesse initiale n'est pas perpendiculaire au champ magnétique, le mouvement est hélicoïdal. Il est la superposition d'un mouvement rectiligne uniforme dans la direction de $\overrightarrow{B}$ et d'un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$.
4. Position du centre et sens de parcours
La force magnétique est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.
- Pour une charge positive (proton), la force magnétique est dirigée selon $+\overrightarrow{e}_x$, donc le centre de la trajectoire $O_1$ a une abscisse positive.
- Pour une charge négative (électron), la force magnétique est dirigée selon $-\overrightarrow{e}_x$, donc le centre de la trajectoire $O_1$ a une abscisse négative.
IV. Limite de validité de la mécanique newtonienne
Lorsque la vitesse de la particule chargée n'est plus négligeable par rapport à la célérité de la lumière, il faut utiliser la mécanique relativiste. Dans ce cas, les expressions de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement changent et dépendent du facteur de Lorentz $\gamma$ :
Note : Pour des vitesses faibles devant la vitesse de la lumière ($V \ll c$), on retrouve les expressions classiques : $\gamma \approx 1$, $E_c \approx \frac{1}{2}mV^2$, $\overrightarrow{P} \approx m\overrightarrow{V}$.
Conclusion
Ce cours a permis d'étudier le mouvement d'une particule chargée dans des champs électrique et magnétique uniformes. Nous avons vu que la force de Lorentz se décompose en une partie électrique, capable de modifier l'énergie cinétique, et une partie magnétique, uniquement déviatrice. Dans un champ électrique, la trajectoire est parabolique, tandis que dans un champ magnétique, elle est circulaire ou hélicoïdale. Ces résultats sont à la base de nombreux dispositifs expérimentaux (spectromètres de masse, accélérateurs, tubes cathodiques). Enfin, nous avons rappelé les limites de la mécanique newtonienne lorsque les vitesses deviennent relativistes, ouvrant la voie à la physique des hautes énergies.