I) Force de Lorentz

1) Expression

Une particule de masse \(m\) et de charge \(q\), animée d'une vitesse \(\vec{V}\), subit en présence d'un champ électrique \(\vec{E}\) et d'un champ magnétique \(\vec{B}\) la force de Lorentz :

\[ \vec{f} = q(\vec{E} + \vec{V} \land \vec{B}) \]

Cette force est composée de deux termes :

• une force électrique : \(\vec{F}_e = q\vec{E}\). \(\vec{F}_e\) est colinéaire à \(\vec{E}\) et son sens dépend du signe de \(q\).
• une force magnétique : \(\vec{F}_m = q\vec{V} \land \vec{B}\). Le sens de \(\vec{F}_m\) est tel que le trièdre \((q\vec{V}, \vec{B}, \vec{F}_m)\) est direct.

2) Puissance de la force de Lorentz

La force magnétique \(\vec{F}_m\) est toujours perpendiculaire à la vitesse \(\vec{V}\). Par conséquent, sa puissance et son travail sont nuls.

Si la particule est uniquement soumise à la force \(\vec{F}_m\), alors la variation de son énergie cinétique est nulle, ce qui implique que sa vitesse est constante : \[\Delta E_c = W(\vec{F}_m) = 0 \implies E_c = \text{cte} \implies V = \text{cte}\]

La puissance de la force électrique n'est pas nulle. \(\vec{F}_e\) est capable de mettre en mouvement une particule chargée ou de modifier son énergie cinétique.

• \(\vec{F}_e\) permet d'accélérer ou de freiner une particule chargée.
• \(\vec{F}_m\) permet seulement de dévier une particule chargée.

3) Ordres de grandeur et conséquences

Unités et ordres de grandeur :

• L'unité du champ électrique \(\vec{E}\) est le Volt par mètre (\(V \cdot m^{-1}\)).
• L'unité du champ magnétique \(\vec{B}\) est le Tesla (T).

Comparaison entre \(\vec{F}_e\) et \(\vec{F}_m\) :

Pour une particule chargée typique, la force magnétique peut être de l'ordre de \(5 \cdot 10^{-13} N\) pour un champ \(\vec{B}\) peu intense. Pour générer une force électrique de même ordre de grandeur, il faudrait un champ \(\vec{E}\) de l'ordre de \(3 \cdot 10^6 V \cdot m^{-1}\), ce qui est un champ très important.

En conclusion, on utilise souvent le champ magnétique pour dévier des particules chargées, car il est plus efficace à champ égal.

Comparaison avec le poids de la particule :

Le poids d'un proton est de l'ordre de \(1,7 \cdot 10^{-26} N\).

• La force électrique est de l'ordre du poids pour un champ \(\vec{E}\) extrêmement faible (\(10^{-7} V \cdot m^{-1}\)). Le poids est donc largement négligeable devant la force électrique.
• La force magnétique est de l'ordre du poids pour une vitesse très faible (\(2 \cdot 10^{-3} m \cdot s^{-1}\)) dans le champ magnétique terrestre. Le poids est donc largement négligeable devant la force magnétique.

Conclusion : On peut toujours négliger le poids d'une particule chargée soumise à un champ électromagnétique.

II) Mouvement dans un champ électrique uniforme

1) Équation du mouvement

Soit une particule M de masse \(m\) et de charge \(q\), soumise à la force électrique \(\vec{F}_e = q\vec{E}\). D'après le principe fondamental de la dynamique (PFD) : \[\frac{d(m\vec{V})}{dt} = m\vec{a} = q\vec{E}\]. Le mouvement est caractérisé par une accélération constante.

2) Étude de la trajectoire

Les vecteurs vitesse et position sont donnés par : \[\vec{V} = \frac{q\vec{E}}{m}t + \vec{V}_0 \quad \text{et} \quad \vec{OM} = \frac{q\vec{E}}{2m}t^2 + \vec{V}_0 t\]

En orientant l'axe \(Ox\) dans le sens du champ électrique (\(\vec{E} = E\vec{e}_x\)) et la vitesse initiale \(\vec{V}_0\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe \(Ox\), les équations paramétriques du mouvement sont : \[ \begin{cases} x = \frac{qE}{2m}t^2 + v_0 t \cos\alpha \\ y = v_0 t \sin\alpha \\ z = 0 \end{cases} \]

Le mouvement se déroule donc dans le plan \(xOy\).

Trajectoire lorsque la vitesse initiale est parallèle au champ :

Si \(\alpha = 0\) ou \(\alpha = \pi\), les équations deviennent : \[x = \frac{qE}{2m}t^2 \pm v_0 t \quad ; \quad y=0 \quad ; \quad z=0\] Le mouvement est rectiligne le long de l'axe \(Ox\).

Trajectoire lorsque la vitesse initiale n'est pas parallèle au champ :

Si \(\sin\alpha \ne 0\), on peut exprimer le temps en fonction de y : \(t = \frac{y}{v_0\sin\alpha}\). En substituant cette expression dans l'équation de \(x\), on obtient l'équation de la trajectoire, qui est une parabole passant par l'origine : \[x = \frac{qE}{2m v_0^2 \sin^2\alpha} y^2 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} y\]

3) Accélération d’une particule chargée par un champ électrique

Énergie potentielle électrique :

La force électrique est conservative. Elle dérive d'une énergie potentielle \(E_p(x)\) telle que : \[\delta W_{\vec{F}_e} = \vec{F}_e \cdot d\vec{OM} = qE\vec{e}_x \cdot d\vec{OM} = qEdx = -dE_p\]

L'énergie potentielle est : \(E_p = q(-Ex + C)\). On définit le potentiel électrique \(V\) tel que \(E_p = qV\). On a donc \(V = -Ex + C\). Le champ électrique est toujours dirigé vers les potentiels décroissants.

Conservation de l'énergie mécanique :

Comme la force électrique est conservative, l'énergie mécanique \(E_m\) se conserve : \[E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{constante}\]

La variation d'énergie cinétique est égale à l'opposé de la variation d'énergie potentielle, ce qui donne la relation suivante : \[\Delta E_c = -q\Delta V\]

• Si \(q > 0\), la particule est accélérée si \(\Delta V < 0\), et freinée si \(\Delta V > 0\).
• Si \(q < 0\), la particule est accélérée si \(\Delta V > 0\), et freinée si \(\Delta V < 0\).

III) Mouvement dans un champ magnétique uniforme

1) Mouvement uniforme

Dans un champ magnétique uniforme, la seule force qui agit sur la particule est la force magnétique \(\vec{F}_m = q\vec{V} \land \vec{B}\) (le poids étant négligé). D'après le théorème de l'énergie cinétique, le travail de la force magnétique est nul, ce qui implique que la variation de l'énergie cinétique est nulle.

Conclusion : Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique est uniforme (la vitesse est constante en module).

2) Étude de la trajectoire

D'après le PFD, \(\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{V} \land \vec{B})\). Le vecteur accélération est perpendiculaire à \(\vec{V}\) et à \(\vec{B}\).

Le mouvement est plan et se déroule dans un plan orthogonal au champ \(\vec{B}\).

En utilisant le repère de Frenet, on peut décomposer l'accélération en une composante tangentielle et une composante normale : \[\vec{a} = a_T\vec{T} + a_N\vec{N} = \frac{dV}{dt}\vec{T} + \frac{V^2}{\rho}\vec{N}\]

Comme la vitesse \(V\) est constante, l'accélération tangentielle est nulle (\(\frac{dV}{dt} = 0\)). On a donc \(\vec{a} = \frac{V^2}{\rho}\vec{N}\). Par identification avec le PFD, on trouve que le rayon de courbure \(\rho\) de la trajectoire est constant : \[\rho = \frac{mV}{qB} = \text{constante}\]

Conclusion : La trajectoire est circulaire.

3) Pulsation cyclotron

Le rayon de la trajectoire est \(R = \frac{mV_0}{qB}\).

La grandeur \(\frac{qB}{m}\) a une dimension d'une inverse de temps et est appelée **pulsation cyclotron** \(\omega_c\) : \[\omega_c = \frac{qB}{m}\]

On a alors la relation : \(V_0 = \omega_c R\).

Remarque :

Si la vitesse initiale n'est pas perpendiculaire au champ magnétique, le mouvement est hélicoïdal. Il est la superposition d'un mouvement rectiligne uniforme dans la direction de \(\vec{B}\) et d'un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à \(\vec{B}\).

4) Position du centre et sens de parcours

La force magnétique est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.

• Pour une charge positive (proton), la force magnétique est dirigée selon \(+\vec{e}_x\), donc le centre de la trajectoire \(O_1\) a une abscisse positive.
• Pour une charge négative (électron), la force magnétique est dirigée selon \(-\vec{e}_x\), donc le centre de la trajectoire \(O_1\) a une abscisse négative.
  

IV) Limite de validité de la mécanique newtonienne

Lorsque la vitesse de la particule chargée n'est plus négligeable par rapport à la célérité de la lumière, il faut utiliser la mécanique relativiste. Dans ce cas, les expressions de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement changent et dépendent du facteur de Lorentz \(\gamma\) : \[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{V}{c}\] \[E_c = (\gamma - 1)mc^2\] \[\vec{P} = \gamma m\vec{V}\]