L'objectif de la dynamique est de prévoir le mouvement d'un corps dans son environnement.
I) Notion de force
Définition
On définit la force comme étant toute action capable de provoquer le mouvement ou de modifier le vecteur vitesse d'un point matériel.
Classification des forces
- Forces à distance : Les corps en interaction ne sont pas en contact.
Exemples : force de gravitation (entre les masses), force électromagnétique (entre les charges). - Forces de contact : Les deux corps en interaction sont en contact direct.
Exemples : tension d'un ressort, réaction d'un support, force de frottement.
Forces usuelles en mécanique
1. Force gravitationnelle
La force exercée par un corps A (masse $m_1$) sur un corps B (masse $m_2$) est donnée par :
Où $G \approx 6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ est la constante gravitationnelle, $r$ la distance entre les centres des deux corps et $\vec{u}$ le vecteur unitaire dirigé de A vers B.
2. Poids d'un corps
Le poids est la force de gravitation exercée par la Terre sur un objet de masse $m$ à sa surface.
Le champ de pesanteur $\vec{g}$ à une altitude $z$ est donné par : $ g = \frac{G M_T}{(R_T+z)^2} $, où $M_T$ est la masse de la Terre et $R_T$ son rayon. Au voisinage du sol ($z \approx 0$), on a $g_0 = \frac{G M_T}{R_T^2} \approx 9,8 \text{ m/s}^2$.
3. Force de rappel d'un ressort
La force exercée par un ressort de constante de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ est :
Où $l$ est la longueur actuelle du ressort et $\vec{u}$ est le vecteur unitaire dirigé dans le sens de l'allongement.
4. Force de contact d'un solide (Réaction du support)
La force de contact $\vec{R}$ exercée par un support sur un point matériel peut être décomposée en deux composantes :
- $\vec{R}_N$ : La réaction normale, perpendiculaire au support.
- $\vec{R}_T$ : La force de frottement, tangentielle au support.
En l'absence de glissement (frottement statique) : $||\vec{R}_T|| \le f_s ||\vec{R}_N||$, où $f_s$ est le coefficient de frottement statique.
En présence de glissement (frottement dynamique) : $||\vec{R}_T|| = f_d ||\vec{R}_N||$, où $f_d$ est le coefficient de frottement dynamique.
5. Force de frottement fluide
Un objet se déplaçant dans un fluide (gaz ou liquide) subit une force de frottement qui s'oppose au mouvement :
Pour des vitesses suffisamment faibles, la force est souvent modélisée par $\vec{f} = -\lambda \vec{v}$.
6. Force de Lorentz
Une particule de charge $q$ se déplaçant à une vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique $\vec{B}$ subit la force magnétique de Lorentz :
II) Lois de Newton
1. Première loi de Newton (Principe d'inertie)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d'un point matériel isolé ou pseudo-isolé est rectiligne uniforme (son vecteur vitesse est constant).
- Point matériel isolé : non soumis à aucune force.
- Point matériel pseudo-isolé : soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle ($\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$).
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.
2. Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique - PFD)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un point matériel est égale au produit de la masse du point par son vecteur accélération.
En introduisant la quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$, le PFD peut s'écrire :
3. Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)
Énoncé : Lorsqu'un corps A exerce une force $\vec{F}_{A/B}$ sur un corps B, le corps B exerce simultanément sur le corps A une force $\vec{F}_{B/A}$ telle que :
