1) Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles
a) Grandeurs scalaires
Pour spécifier une grandeur scalaire il suffit de préciser un nombre (et le plus souvent une unité).
Exemple: La température, la pression en un point, le potentiel électrique, la masse...
b) Grandeurs vectorielles
Pour spécifier une grandeur vectorielle il faut en plus d'un scalaire représentant l'intensité de la grandeur, préciser la direction, le sens, et le plus souvent en physique, le point d'application de la grandeur vectorielle.
Un vecteur est ainsi caractérisé par:
- A : Son point d'application, c'est l'origine du vecteur.
- \(\vec{V} = |\vec{AB}|\) : Le module du vecteur.
- D : La direction du vecteur.
Exemple : La vitesse, la force, le champ électrique...
Vecteur unitaire : Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1.
c) Base vectorielle
Une base vectorielle dans l'espace est la donnée de trois vecteurs \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) non coplanaires
- Base orthogonale : les vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux
- Base normée : les vecteurs de base sont unitaires \(\|\vec{e_i}\| = 1\)
- Base orthonormée : si les deux conditions précédentes sont vérifiées.
- Base directe : les vecteurs \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) forment une base directe si un tire-bouchon dont la poignée tourne en ramenant \(\vec{e_1}\) sur \(\vec{e_2}\) avance dans le sens de \(\vec{e_3}\).
d) Composantes d'un vecteur
Dans plusieurs situations physiques il est important d'utiliser un repère R(O,X,Y,Z) comme système de référence. On associe une base orthonormée \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
Les composantes, (x,y,z), d'un vecteur \(\vec{U} = \vec{OM}\) sont les projections orthogonales du vecteur position sur les trois axes du repère. \(\vec{U} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)
La norme de \(\vec{U}\) est : \(\|\vec{U}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
Les coordonnées de \(\vec{U}\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) sont données par :
\[ \begin{cases} x = \vec{U}\cdot\vec{i} \\ y = \vec{U}\cdot\vec{j} \\ z = \vec{U}\cdot\vec{k} \end{cases} \]e) Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{U} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) et \(\vec{V} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}\) sont égaux si : x = x', y = y' et z = z'.
f) Produit scalaire
Le produit scalaire des deux vecteurs \(\vec{U}\cdot\vec{V} = |\vec{U}|\cdot|\vec{V}|\cos\theta = xx' + yy' + zz'\)
Propriétés :
- Le produit scalaire est commutatif : \(\vec{U}\cdot\vec{V} = \vec{V}\cdot\vec{U}\)
- \(\vec{U}\cdot\vec{V} = 0\) ⇔ \(\vec{U} \perp \vec{V}\) ou \(\vec{U} = \vec{0}\) ou \(\vec{V} = \vec{0}\)
- \(\cos\theta = \frac{xx' + yy' + zz'}{|\vec{U}|\cdot|\vec{V}|}\)
- Dérivée d'un produit scalaire : \(\frac{d(\vec{U}\cdot\vec{V})}{dt} = \frac{d\vec{U}}{dt}\cdot\vec{V} + \vec{U}\cdot\frac{d\vec{V}}{dt}\)
g) Produit vectoriel
Le produit vectoriel des deux vecteurs \(\vec{U}(x,y,z)\) et \(\vec{V}(x',y',z')\) est un vecteur noté \(\vec{W} = \vec{U} \wedge \vec{V}\)
Caractérisé par :
- Module : \(|\vec{U} \wedge \vec{V}| = |\vec{U}|\cdot|\vec{V}||\sin(\vec{U},\vec{V})|\)
- Direction : perpendiculaire au plan défini par \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\)
- Sens : tel que le trièdre \((\vec{U}, \vec{V}, \vec{W})\) est direct
Propriétés :
- \(\vec{W} = \vec{U} \wedge \vec{V} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ zx' - xz' \\ xy' - yx' \end{pmatrix}\)
- \(\vec{W} = \vec{U} \wedge \vec{V} = \vec{0}\) si \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) sont colinéaires ou l'un des vecteurs est nul
- Le produit vectoriel est anticommutatif : \(\vec{U} \wedge \vec{V} = -\vec{V} \wedge \vec{U}\)
- Interprétation géométrique : Le module \(|\vec{U} \wedge \vec{V}|\) représente la surface du parallélogramme formé par \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\)
- Double produit vectoriel : \(\vec{A} \wedge (\vec{B}\wedge\vec{C}) = (\vec{A}\cdot\vec{C})\cdot\vec{B} - (\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}\)
- Dérivée d'un produit vectoriel : \(\frac{d(\vec{U} \wedge \vec{V})}{dt} = \frac{d\vec{U}}{dt} \wedge \vec{V} + \vec{U} \wedge \frac{d\vec{V}}{dt}\)
h) Produit mixte
Le produit mixte de trois vecteurs \(\vec{U}, \vec{V}\) et \(\vec{W}\) est le nombre : \((\vec{U} \wedge \vec{V})\cdot\vec{W}\) = volume du parallélépipède
Le produit mixte est donné par le déterminant :
\[ |\vec{U}, \vec{V}, \vec{W}| = \begin{vmatrix} x & y & z \\ x' & y' & z' \\ x'' & y'' & z'' \end{vmatrix} \]2) Dérivation d'une fonction
a) Fonction scalaire
Soit une fonction f(x), la dérivée de f par rapport à x s'écrit :
\[ f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} \]La différentielle de f s'écrit : \(df = \frac{df}{dx}dx = f'(x)dx\)
Soit la fonction f(x,y,z) dépendant de trois variables x,y et z.
- La dérivée partielle de f par rapport à x : \(\frac{\partial f}{\partial x}\) obtenue en dérivant par rapport à x et en considérant y et z comme des constantes
- La dérivée partielle de f par rapport à y : \(\frac{\partial f}{\partial y}\)
- La dérivée partielle de f par rapport à z : \(\frac{\partial f}{\partial z}\)
Exemple : \(f(x,y,z) = xy^2 + \cos z\) → \(\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = y^2 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy \\ \frac{\partial f}{\partial z} = -\sin z \end{cases}\)
La différentielle du champ scalaire f(x,y,z) est définie par :
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \]Géométriquement : elle représente la variation de f d'un point M(x,y,z) à un point infiniment voisin M'(x+dx, y+dy, z+dz)
Exemple : \(f(x,y,z) = xy^2 + \cos z\) → \(df = y^2dx + 2xydy - \sin z dz\)
b) Fonction vectorielle
Soit une fonction vectorielle :
\[ \vec{F}(x) = f_1(x)\vec{e_x} + f_2(x)\vec{e_y} + f_3(x)\vec{e_z} \]La dérivée de \(\vec{F}(x)\) :
Soit une fonction vectorielle \(\vec{F}(x,y,z)\) dépendant de trois variables x,y et z :
- La dérivée partielle de \(\vec{F}\) par rapport à x : \(\frac{\partial\vec{F}}{\partial x}\)
- La dérivée partielle de \(\vec{F}\) par rapport à y : \(\frac{\partial\vec{F}}{\partial y}\)
- La dérivée partielle de \(\vec{F}\) par rapport à z : \(\frac{\partial\vec{F}}{\partial z}\)
La différentielle d'un champ vectoriel \(\vec{F}(x,y,z)\) est définie par :
\[ d\vec{F} = \frac{\partial\vec{F}}{\partial x}dx + \frac{\partial\vec{F}}{\partial y}dy + \frac{\partial\vec{F}}{\partial z}dz \]3) Équations différentielles
a) Définition
Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées.
Forme générale d'une équation différentielle d'ordre n :
\[ F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0 \]b) Équations différentielles linéaires du premier ordre
Forme générale :
\[ y' + a(x)y = b(x) \]Solution générale :
où \( A(x) = \int a(x)dx \) et C est une constante d'intégration.
Exemple : Résoudre \( y' + 2xy = x \)
Solution : \( y(x) = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2} \)
c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Forme générale :
\[ y'' + ay' + by = f(x) \]Solution générale = Solution homogène + Solution particulière
Solution de l'équation homogène :
On résout l'équation caractéristique : \( r^2 + ar + b = 0 \)
- Si Δ > 0 : deux racines réelles \( r_1 \) et \( r_2 \) → \( y_h = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \)
- Si Δ = 0 : une racine double r → \( y_h = (C_1 + C_2x)e^{rx} \)
- Si Δ < 0 : deux racines complexes \( \alpha \pm i\beta \) → \( y_h = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x) \)
Exemple : Résoudre \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)
Solution : \( y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x} \)
4) Nombres complexes
a) Définition
Un nombre complexe s'écrit sous la forme \( z = a + ib \) où :
- \( a \) est la partie réelle (Re(z))
- \( b \) est la partie imaginaire (Im(z))
- \( i \) est l'unité imaginaire (\( i^2 = -1 \))
b) Représentation géométrique
Forme trigonométrique :
\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]où \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) est le module et \( \theta = \arctan(b/a) \) est l'argument
Forme exponentielle (formule d'Euler) :
\[ z = re^{i\theta} \]c) Opérations sur les complexes
| Opération | Forme algébrique | Forme exponentielle |
|---|---|---|
| Addition | \( (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d) \) | - |
| Multiplication | \( (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc) \) | \( r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \) |
| Division | \( \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2} \) | \( \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \) |
d) Formule de Moivre
Pour tout entier n :
\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \]5) Développements limités
a) Définition
Un développement limité (DL) d'une fonction f au voisinage d'un point a est une approximation polynomiale de la fonction :
\[ f(a+h) = P(h) + h^n\epsilon(h) \]où \( \epsilon(h) \to 0 \) quand \( h \to 0 \)
b) DL usuels au voisinage de 0
| Fonction | Développement limité |
|---|---|
| \( e^x \) | \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \) |
| \( \sin x \) | \( x - \frac{x^3}{6} + \cdots + (-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2}) \) |
| \( \cos x \) | \( 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1}) \) |
| \( \ln(1+x) \) | \( x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \) |
| \( (1+x)^\alpha \) | \( 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \) |
c) Opérations sur les DL
Somme : Le DL de f+g est la somme des DL de f et g
Produit : On multiplie les DL terme à terme
Composition : Pour f(g(x)), on compose les DL en gardant les termes d'ordre inférieur ou égal à n
Exemple : DL à l'ordre 2 de \( e^{\sin x} \)
On a \( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) \), donc :
\[ e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]