Cinématique du point matériel

1. Description du mouvement d’un point matériel

La mécanique est la partie de la physique qui s’intéresse aux mouvements des corps en tenant compte des causes. La mécanique classique ou Newtonienne s’intéresse aux mouvements des corps ayant une vitesse très faible devant la vitesse de la lumière.

1.1. Les postulats de mécanique classique :

• Le temps est absolu : c’est à dire que le temps ne dépend pas du référentiel.
• L’existence des référentiels galiléens.
• La trajectoire est déterministe.

1.2. Généralités

Repère d’espace R :

Solide (solide indéformable) : il s’agit d’un système matériel (S) dont les distances entre les deux points quelconques restent invariables au cours du temps.

\[ \forall N,P \in S : d = NP = \text{cte} \]

Repère d’espace : il s’agit d’un système de coordonnées (origine et trois axes) lié à un solide (S) de référence. Exemple : repère cartésien \( (O, \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}) \). Dans notre cours on utilise des repères orthonormés.

Repère du temps :

Un repère temporel nécessite une horloge et une origine des temps pour repérer parfaitement l’instant d’un événement. Le repérage suppose implicitement une orientation du temps du passé vers le future. Le repère du temps est constitué d’un instant considéré comme origine des dates et une unité des temps (la seconde).

1.2. Notion d’un référentiel

Définition : un référentiel est un ensemble de repère d’espace et d’un repère temporel.

Exemple :

• Référentiel de Copernic (RC) : centré au centre du système solaire et les trois axes se dirigent vers des étoiles fixes.
• Référentiel géocentrique RG : centré au centre de la terre G, le plan (GXY) forme l’équateur et l’axe (GZ) se dirige vers le nord géographique.
• Référentiel terrestre...

2. Cinématique du point matériel

La cinématique consiste à étudier et à décrire les mouvements indépendamment des causes qui les produisent.

Point matériel :

Tout corps solide de dimensions négligeables devant une distance caractéristique (longueur d’un pendule, distance terre-soleil…).

Trajectoire d’un point matériel :

La trajectoire d’un point matériel est une courbe représentant l’ensemble des positions \( M(t) \) occupées par le point matériel au cours de son mouvement.

Vecteurs position, vitesse et accélération

Soit le référentiel \( R(O, \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}) \) et un point matériel qui est à l’instant t au point M et à l’instant t+dt au point M’.

Vecteur position : \( \vec{OM} \).

Vecteur déplacement élémentaire :

\[ d\vec{OM}= \lim_{M \to M'} \vec{MM'} = \lim_{M \to M'} (\vec{OM'} - \vec{OM}) \]

Vitesse du point M :

\[ \vec{V}_{M/R}= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{OM'} - \vec{OM}}{\Delta t} = \frac{d\vec{OM}}{dt} /R \]

L’unité de la vitesse est : \( m.s^{-1} \).

Accélération du point M :

\[ \vec{a}_{M/R}= \frac{d\vec{V}}{dt}/R= \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}/R \]

L’unité de l’accélération est : \( m.s^{-2} \).

Lorsqu’on dérive dans R par rapport au temps, on considère les vecteurs de base de R comme des vecteurs constants dans le temps.

3. Systèmes de coordonnées

3.1. Coordonnées cartésiennes \( (x,y,z) \) :

Définition :

• \( \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z} \) sont des vecteurs unitaires.
• La base \( (\vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}) \) est orthonormée et directe.
• Les vecteurs \( \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z} \) sont fixes.
• H est la projection orthogonale de M sur le plan (XOY).
  

Vecteur position :

\[ \vec{OM}= \vec{OH}+ \vec{HM}=x \vec{e}_{x}+y \vec{e}_{y}+z \vec{e}_{z} \]

Vecteur déplacement élémentaire :

\[ d\vec{OM}=dx \vec{e}_{x}+dy \vec{e}_{y}+dz \vec{e}_{z} \]

Vecteur vitesse :

\[ \vec{V}_{M/R}= \frac{d\vec{OM}}{dt}/R= \frac{dx}{dt} \vec{e}_{x}+\frac{dy}{dt} \vec{e}_{y}+\frac{dz}{dt} \vec{e}_{z}= V_x \vec{e}_{x}+V_y \vec{e}_{y}+V_z \vec{e}_{z}= \dot{x} \vec{e}_{x}+\dot{y} \vec{e}_{y}+\dot{z} \vec{e}_{z} \]

Vecteur accélération :

\[ \vec{a}_{M/R}= \frac{d\vec{V}}{dt}/R = \frac{d^2x}{dt^2} \vec{e}_{x}+\frac{d^2y}{dt^2} \vec{e}_{y}+\frac{d^2z}{dt^2} \vec{e}_{z}= \frac{dV_x}{dt}\vec{e}_{x}+\frac{dV_y}{dt} \vec{e}_{y}+\frac{dV_z}{dt} \vec{e}_{z}= \ddot{x} \vec{e}_{x}+\ddot{y} \vec{e}_{y}+\ddot{z} \vec{e}_{z} \]

3.2. Coordonnées Cylindriques \( (r,\theta,z) \) :

Symétrie cylindrique :

Une distribution de charge présente une symétrie cylindrique d’axe (oz) si elle est invariante par translation parallèlement à l’axe (oz) et invariante par toute rotation autour de l’axe (oz). On utilise les coordonnées cylindriques lorsque le problème possède une symétrie cylindrique.

Coordonnées cylindriques :

• \( r \ge 0 \)

• \( 0 \le \theta \le 2\pi \)
• \( z \in ]-\infty, +\infty[ \)
• H la projection de M sur (xoy)
  

\[ \vec{OM}= \vec{OH}+ \vec{HM}=r \vec{e}_{r}+z \vec{e}_{z} \]

\( \vec{e}_{r} \) et \( \vec{e}_{\theta} \) sont deux vecteurs unitaires appartenant au plan (xoy).

\[ \vec{e}_{r}= \frac{\vec{OH}}{r}= \cos\theta \vec{e}_{x}+ \sin\theta \vec{e}_{y} \]

\( \vec{e}_{\theta} \) est défini par une rotation de \( \frac{\pi}{2} \) de \( \vec{e}_{r} \).

\[ \vec{e}_{\theta}= \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) \vec{e}_{x}+ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) \vec{e}_{y}= - \sin\theta \vec{e}_{x}+ \cos\theta \vec{e}_{y} \]

On peut passer des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes :

• \( x=r\cos\theta \)
• \( y=r\sin\theta \)
• \( z=z \)

Remarque :

• \( \frac{d\vec{e}_{r}}{d\theta}/R = - \sin\theta \vec{e}_{x}+ \cos\theta \vec{e}_{y}= \vec{e}_{\theta} \)
• \( \frac{d\vec{e}_{\theta}}{d\theta}/R = - \cos\theta \vec{e}_{x}- \sin\theta \vec{e}_{y}= - \vec{e}_{r} \)
• \( \frac{d\vec{e}_{r}}{dt}/R = \frac{d\vec{e}_{r}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta} \vec{e}_{\theta} \)
• \( \frac{d\vec{e}_{\theta}}{dt}/R = \frac{d\vec{e}_{\theta}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = - \dot{\theta} \vec{e}_{r} \)
  

c/c : Dériver un vecteur de module constant dans le repère par rapport à l’angle de rotation \( \theta \) revient à le faire tourner de \( \frac{\pi}{2} \) dans le même sens que \( \theta \).

Vecteur déplacement élémentaire :

\[ \vec{OM}=r \vec{e}_{r}+z \vec{e}_{z} \]

Donc \( d\vec{OM}/R = dr \vec{e}_{r}+r d\vec{e}_{r}+ dz \vec{e}_{z}+ z d\vec{e}_{z} \)

\[ d\vec{OM}/R = dr \vec{e}_{r}+rd\theta \vec{e}_{\theta} +dz \vec{e}_{z} \]

Vecteur vitesse :

\[ \vec{V}(M/R) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dr}{dt} \vec{e}_{r}+r\frac{d\theta}{dt} \vec{e}_{\theta} +\frac{dz}{dt} \vec{e}_{z} \]

\[ \vec{V}(M/R) = \dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\theta} \vec{e}_{\theta}+ \dot{z}\vec{e}_{z} \]

Vecteur accélération :

\[ \vec{a}(M/R) = \frac{d\vec{V}(M/R)}{dt} \]

Donc \[ \vec{a}(M/R) = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{e}_{r}+(r\ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_{z} \]

3.3. Coordonnées polaires

Lorsque le mouvement se fait dans le plan \( z = \text{cte} \), on parle des coordonnées polaires \( (r, \theta) \).

\[ \vec{OM}=r \vec{e}_{r} \]

\[ d\vec{OM}/R = dr \vec{e}_{r}+rd\theta \vec{e}_{\theta} \]

\[ \vec{V}(M/R) = \dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\theta} \vec{e}_{\theta} \]

\[ \vec{a}(M/R) = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{e}_{r}+(r\ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta} \]

3.4. Coordonnées sphériques :

Symétrie sphérique :

Une distribution est dite à symétrie sphérique si elle est invariante par rotation autour de tout axe passant par le centre de symétrie. On utilise les coordonnées sphériques lorsque le problème possède une symétrie sphérique.

Coordonnées sphériques :

• Rayon vecteur : \( r=OM \ge 0 \)
• Colatitude : \( \theta=(\vec{e}_{z}, \vec{OM}) \in [0, \pi] \)
• Azimut : \( \varphi=(\vec{e}_{x}, \vec{OH}) \in [0, 2\pi] \)
  

Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes :

• \( x=r\sin\theta\cos\varphi \)
• \( y=r\sin\theta\sin\varphi \)
• \( z=r\cos\theta \)

\( \vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta}, \vec{e}_{\varphi} \) sont des vecteurs unitaires qui forment un trièdre direct :

\[ \vec{e}_{r}= \frac{\vec{OM}}{r}= \sin\theta\cos\varphi \vec{e}_{x}+ \sin\theta\sin\varphi \vec{e}_{y}+\cos\theta \vec{e}_{z} \]

\( \vec{e}_{\theta} \) se déduit de \( \vec{e}_{r} \) par simple rotation de \( \frac{\pi}{2} \) dans le plan méridien (OMH).

\[ \vec{e}_{\theta}= \frac{\partial \vec{e}_{r}}{\partial \theta} /R = \cos\theta\cos\varphi \vec{e}_{x}+ \cos\theta\sin\varphi \vec{e}_{y}-\sin\theta \vec{e}_{z} \]

\[ \vec{e}_{\varphi}= \vec{e}_{r} \land \vec{e}_{\theta}= -\sin\varphi\vec{e}_{x}+ \cos\varphi \vec{e}_{y} \in \text{plan (xoy)} \]

Remarque :

• \( \frac{\partial \vec{e}_{r}}{\partial \varphi}= \sin\theta( - \sin\varphi\vec{e}_{x}+ \cos\varphi \vec{e}_{y} )= \sin\theta\vec{e}_{\varphi} \)
• \( \frac{\partial \vec{e}_{\theta}}{\partial \varphi}= \cos\theta( - \sin\varphi\vec{e}_{x}+ \cos\varphi \vec{e}_{y} )= \cos\theta\vec{e}_{\varphi} \)
• \( \frac{\partial \vec{e}_{\varphi}}{\partial \varphi}= - \sin\theta\vec{e}_{r}- \cos\theta \vec{e}_{\theta} \)

Vecteur déplacement élémentaire :

\[ \vec{OM}=r \vec{e}_{r} \]

\[ d\vec{OM}=dr \vec{e}_{r}+r d\vec{e}_{r} \]

\[ \vec{e}_{r}= \vec{e}_{r}(\theta, \varphi) \]

\[ d\vec{e}_{r}= \frac{\partial \vec{e}_{r}}{\partial \theta}d\theta + \frac{\partial \vec{e}_{r}}{\partial \varphi}d\varphi=d\theta \vec{e}_{\theta}+\sin\theta d\varphi \vec{e}_{\varphi} \]

\[ d\vec{OM}=dr \vec{e}_{r}+ rd\theta \vec{e}_{\theta}+r\sin\theta d\varphi \vec{e}_{\varphi} \]

Vecteur vitesse :

\[ \vec{V} (M /R) = \frac{d\vec{OM}}{dt} /R = \frac{dr}{dt} \vec{e}_{r}+ r\frac{d\theta}{dt} \vec{e}_{\theta}+r\sin\theta \frac{d\varphi}{dt} \vec{e}_{\varphi} \]

\[ \vec{V} (M /R) = \dot{r} \vec{e}_{r}+ r\dot{\theta} \vec{e}_{\theta}+r\sin\theta \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi} \]

Vecteur accélération :

\[ \vec{a}(M/R) = (\ddot{r}-r \dot{\theta}^2-r\dot{\varphi}^2\sin^2\theta)\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}-r\dot{\varphi}^2\sin\theta \cos\theta)\vec{e}_{\theta}+(2\dot{r}\dot{\varphi} \sin\theta+2r\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta+r\ddot{\varphi}\sin\theta)\vec{e}_{\varphi} \]

3.5. Coordonnées curvilignes

Repère de Frenet

Le repère de Frenet \( (M, \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}) \) a son origine confondue avec le point matériel.

• Le vecteur unitaire \( \vec{T} \) est tangentiel à la trajectoire en M et dirigé suivant le sens du mouvement.
• Le vecteur unitaire \( \vec{N} \) est normal à \( \vec{T} \) et dirigé suivant la concavité de la trajectoire.
• Le vecteur unitaire \( \vec{B} \) est tel que : \( \vec{B}= \vec{T} \land \vec{N} \) (où \( (\vec{T}, \vec{N}, \vec{B}) \) est un trièdre direct).
  

Abscisse curviligne :

Considérons un point matériel M de masse m qui se déplace le long de la trajectoire (C). À l’instant t le point M se trouve en M(x,y,z). À l’instant t + dt le point M se trouve en M’(x+dx, y+dy, z+dz).

On appelle l’abscisse curviligne S du point matériel M la longueur de l’arc : \( S= \overarc{MM'} \).

L’abscisse curviligne élémentaire :

\[ dS=MM'= \sqrt{dx^2+ dy^2+ dz^2} \]

L’abscisse curviligne : \( S= \int_{\overarc{MM'}}ds \).

Rayon de courbure :

La vitesse de M : \( \vec{V}(M) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dS}{dt}\vec{T} \) et \( \vec{V}(M) = v \vec{T} \). Donc \( \vec{T}= \frac{\vec{V}(M)}{v}= \frac{d\vec{OM}}{dS} \).

L'accélération de M : \( \vec{a}_M= \frac{d\vec{V}_M}{dt}= \frac{d(v \vec{T})}{dt}= \frac{dv}{dt} \vec{T}+v \frac{d\vec{T}}{dt} \).

Puisque : \( \frac{d\vec{T}}{dt}= \frac{d\vec{T}}{dS}\frac{dS}{dt}=v \frac{d\vec{T}}{dS}=v \frac{d\vec{T}}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dS}= \frac{v}{\rho} \vec{N} \).

\( \rho \) : Rayon de courbure au point M.

L’accélération de M : \( \vec{a}_M= \frac{dv}{dt} \vec{T}+\frac{v^2}{\rho} \vec{N} = a_T \vec{T}+ a_N \vec{N} \).

• \( a_T= \frac{dv}{dt} \) : Accélération tangentielle.
• \( a_N= \frac{v^2}{\rho} \) : Accélération normale.

Remarque : \( \vec{V} \land \vec{a}=v\vec{T} \land (\frac{dv}{dt} \vec{T}+\frac{v^2}{\rho} \vec{N})= \frac{v^3}{\rho} \vec{B} \). Donc \( \rho= \frac{v^3}{||\vec{V} \land \vec{a}||} \).

4. Exemples de mouvement :

4.1. Mouvement rectiligne

Considérons un point matériel qui se déplace le long de ox :

Le mouvement de M est rectiligne uniforme si : \( \vec{a}= \vec{0} \).

Conditions initiales : \( M(t=0) \): \( \begin{pmatrix} X_0 \\ V_0 \end{pmatrix} \).

L’équation du mouvement : \( x(t)= V_0t+ X_0 \).

Le point M se déplace avec une accélération constante : \( \vec{a}= a_0 \vec{e}_{x} \ne 0 \).

Le mouvement est accéléré si v croît donc \( v^2 \) croît aussi :

Le mouvement est décéléré si v décroît donc \( v^2 \) décroît aussi :

<0 0="" d="" dt="" frac="" implies="" left="" p="" right="" v="">Conditions initiales : \( M(t = 0) \): \( \begin{pmatrix} X_0 \\ V_0 \\ a_0 \end{pmatrix} \).

Equation du mouvement : on a \( V(t)= a_0t+ V_0 \).

\[ X(t)= \frac{1}{2}a_0t^2+ V_0t+ X_0 \]