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Résumé chapitre 1 : Mécanique des fluide

Chapitre 1 : Mécanique des fluide

1. Description du Mouvement d'un Fluide

Approches Lagrangienne et Eulérienne

Point de vue Lagrangien : Suivi d'une particule fluide individuelle au cours de son mouvement.

Point de vue Eulérien : Observation des champs de vitesse en points fixes de l'espace.

Champ de vitesse Eulérien :

\[ \vec{v} = \vec{v}(\vec{r}, t) \]

Pour un écoulement stationnaire :

\[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = 0 \quad \text{et} \quad \vec{v}(\vec{r}, t) = \text{constante} \]
La ligne de courant, la trajectoire et la ligne d'émission sont confondues

2. Cinématique des Fluides

Accélération d'une Particule Fluide

Dérivée Particulaire en Mécanique des Fluides

Accélération d'une particule fluide
\[ \frac{D \vec{v}}{Dt} = \vec{a} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \]

Décomposition :

  • \(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\) : Accélération locale (variation temporelle en un point fixe)
  • \((\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}\) : Accélération convective (due au transport de la particule)
Forme développée
\[ \frac{D \vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \nabla\left(\frac{v^2}{2}\right) + (\nabla \times \vec{v}) \times \vec{v} \]

Termes :

  1. \(\nabla\left(\frac{v^2}{2}\right)\) : Gradient de l'énergie cinétique
  2. \((\nabla \times \vec{v}) \times \vec{v}\) : Terme de tourbillon (vorticité)
Forme générale pour toute grandeur \(q\)
\[ \frac{Dq}{Dt} = \frac{\partial q}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) q \]

Notations :

  • \(\frac{D}{Dt}\) : Dérivée particulaire (Lagrangienne)
  • \(\frac{\partial}{\partial t}\) : Dérivée locale (Eulérienne)
  • \(\vec{v}\) : Vecteur vitesse
  • \(\nabla\) : Opérateur gradient

Cas particuliers :

  • Régime permanent : \(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = 0\)
  • Écoulement uniforme : \((\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = 0\)

3. Ecoulement incompressible

Une particule fluide est un volume infinitésimal de fluide qui :

  • Contient un grand nombre de molécules
  • Est suffisamment petit pour être considéré comme un point mathématique
  • Conserve son identité au cours du mouvement
\[ \frac{D\rho}{Dt} = 0 \]

Dérivée particulaire de la masse volumique :

  • \(\frac{D}{Dt}\) : Dérivée particulaire (Lagrangienne)
  • \(\rho\) : Masse volumique du fluide [kg/m³]
  • Cette équation exprime la conservation de la masse volumique pour une particule fluide

Système Fermé

Pour une particule fluide (système fermé) :

\[ m = \text{constante} \quad \text{(masse constante)} \] \[ V = \text{constante} \quad \text{(volume constant)} \]

Condition d'incompressibilité :
\[ \nabla \cdot \vec{v} = 0 \]
  • \(\vec{v}\) : Champ de vitesse [m/s]
  • Cette équation implique que le fluide est incompressible
  • La divergence nulle du champ de vitesse signifie qu'il n'y a pas de variation de volume
Remarque : L'écoulement est considéré comme incompressible si : La vitesse d'écoulement est négligeable devant la vitesse de son dans le fluide.

Fluide incompressible

\[ \chi_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_T \]

Coefficient de compressibilité isotherme :

  • \(\chi_T\) : Coefficient de compressibilité [Pa⁻¹]
  • \(V\) : Volume [m³]
  • \(\rho\) : Masse volumique [kg/m³]
  • \(p\) : Pression [Pa]
  • \(T\) : Température constante

Pour un fluide incompressible :

\[ \chi_T = 0 \]
\[ \text{Nombre de Mach } (M) = \frac{v}{c} \ll 1 \Rightarrow \text{écoulement incompressible} \]

Où :

  • \(v\) : Vitesse du fluide [m/s]
  • \(c\) : Célérité du son dans le fluide [m/s]
  • \(M \ll 1\) : Approximation d'incompressibilité valide
\[ (\vec{v} \cdot \nabla) \rho = \vec{v} \cdot (\nabla \rho) = 0 \]

Condition pour un écoulement incompressible :

  • \(\vec{v}\) : Vecteur vitesse
  • \(\nabla \rho\) : Gradient de la masse volumique
  • Cette équation implique que les lignes de champ sont perpendiculaires au gradient de masse volumique
\[ \chi_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \]

Pour un fluide incompressible :

\[ \chi_T = 0 \quad \text{et} \quad \nabla \cdot \vec{v} = 0 \]

4. Etude de quelques écoulements

4-1) Champ de vitesse tourbillonnaire

On considère le déplacement d'une particule de fluide dans le plan (xoy) entre deux instants t et t' (t' > t)
\[ \vec{v} = -\Omega y \vec{u}_x + \Omega x \vec{u}_y \]
\[ \nabla \times \vec{v} = 2\Omega \vec{u}_z \]
\[ \nabla \cdot \vec{v} = 0 \]
(Divergence nulle - écoulement incompressible)
\[ \text{Volume constant} \]
La particule fluide tourne sans se déformer (mouvement rigide).

Champ Rotationnel à Divergence Nulle

Un écoulement avec rotation mais sans variation de volume.

\[ \vec{\omega} = \frac{1}{2} \nabla \times \vec{v} \]

Vecteur tourbillon (vorticité)

Classification des Écoulements

\[ \vec{\omega} \neq \vec{0} \]

Écoulement tourbillonnaire : Présence de rotation locale

\[ \vec{\omega} = \vec{0} \]

Écoulement irrotationnel : Potentiel des vitesses existe

\[ \exists \phi(\vec{r},t) \quad \text{tel que} \quad \vec{v} = -\nabla \phi \]

Où \(\phi\) est le potentiel de vitesse

\[ \nabla \cdot \vec{v} = 0 \]

Écoulement incompressible : Conservation du volume

La divergence nulle implique que le volume ne varie pas au cours du mouvement.

4.2) Dilatation d'une particule de fluide

Considérons un champ de vitesse donné par :

$$ \vec{v} = (a+bx)\vec{u}_x $$

Pour ce champ, on a :

$$ \vec{\nabla}\times\vec{v} = \vec{0} $$ $$ \vec{\nabla}\cdot\vec{v} = b $$

La particule ne tourne pas (rotationnel nul), mais son volume varie (divergence non nulle), ce qui indique qu'elle se dilate.

Un autre exemple de champ de vitesse :

$$ \vec{v} = ax\vec{u}_x + ay\vec{u}_y $$

Pour ce champ, on a :

$$ \vec{\nabla}\times\vec{v} = \vec{0} $$ $$ \vec{\nabla}\cdot\vec{v} = 2b $$

La divergence du champ de vitesse est reliée à la variation du volume de la particule par la formule :

$$ \vec{\nabla}\cdot\vec{v} = \frac{1}{V}\frac{DV}{Dt} $$

4.3) Déformation d'une particule de fluide

Considérons le champ de vitesse suivant :

$$ \vec{v} = ay\vec{u}_x + bx\vec{u}_y $$

Pour ce champ, on a :

$$ \text{div} \vec{v} = 0 \quad \text{et} \quad \vec{\nabla}\times\vec{v} = 0 $$

La divergence nulle indique que le volume de la particule de fluide ne varie pas, et le rotationnel nul signifie que la particule ne tourne pas.

L'écoulement décrit par ce champ de vitesse est un écoulement déformant, car la particule change de forme sans changer de volume ni tourner.

5. Conservation de la Masse

La masse de fluide qui traverse une surface dS(M) pendant  dt et contenue dans un cylindre de volume élémentaire :

$$ d\mathcal{V} = v \cdot dt \cdot dS \cdot \cos\theta = \vec{v} \cdot d\vec{S} \cdot dt $$ $$ \delta m = \rho \cdot d\mathcal{V} = (\rho \vec{v}) \cdot d\vec{S} \cdot dt = \vec{J}_m \cdot d\vec{S} \cdot dt $$

Où Jm est le vecteur densité de courant de masse.

5.1) Débit massique et débit volumique

Le débit massique, Dm, est le flux du vecteur Jm à travers une surface S et s'exprime par :

$$ D_m = \iint_{M \in S} \vec{J}_m \cdot d\vec{S}_M = \frac{\delta m}{\delta t} \quad (\text{en } kg \cdot s^{-1}) $$

Le débit volumique, est le flux du vecteur vitesse à travers une surface S et s'exprime par :

$$ D_v = \iint_{M \in S} \vec{v} \cdot d\vec{S}_M = \frac{\delta V}{\delta t} \quad (\text{en } m^3 \cdot s^{-1}) $$

Ces deux débits sont reliés par la relation :

$$ D_m = \rho D_v $$

5.2) Équation globale de conservation de la masse

Considérons un volume V fixe et indéformable, délimité par une surface S.

À un instant t, la masse de fluide contenue dans le volume V est donnée par :

$$ M(t) = \iiint_{p \in V} \rho(p,t) d\mathcal{V}_p $$

À l'instant t+dt, cette masse devient :

$$ M(t+dt) = \iiint_{p \in V} \rho(p, t+dt) d\mathcal{V}_p $$

La variation de la masse dans $V$ entre $t$ et $t+dt$ est :

$$ M(t+dt) - M(t) = \iiint_{p \in V} (\rho(p, t+dt) - \rho(p,t)) d\mathcal{V}_p $$ $$ = \iiint_{p \in V} \frac{\partial\rho}{\partial t} dt d\mathcal{V}_p $$

La masse qui sort du volume V entre t et t+dt est :

$$ \delta M_{\text{sortant}} = \oiint_{v \in S} (\rho \vec{v}) \cdot d\vec{S}_v \ dt $$

En appliquant le principe de conservation de la masse, la variation de la masse à l'intérieur du volume est égale à la masse qui en sort, avec un signe négatif :

$$ M(t+dt) - M(t) = -\delta M_{\text{sortant}} $$

Ceci conduit à l'équation globale de conservation de la masse :

$$ \iiint_{p \in V} \frac{\partial\rho}{\partial t} d\mathcal{V}_p + \oiint_{v \in S} (\rho \vec{v}) \cdot d\vec{S}_v = 0 $$

5.3) Équation locale

L'équation locale de conservation de la masse est dérivée de l'équation globale en utilisant le théorème de l'intégrale nulle et le théorème de la divergence.

$$ \iiint (\frac{\partial\rho}{\partial t} + \text{div}(\rho\vec{v})) d\mathcal{V} = 0 $$
Donc  :  $$ \boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t} + \text{div}(\rho\vec{v}) = 0} $$
Donc  :  $$ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \text{ div}\vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla}\rho = 0 $$
Alors  :  $$ \boxed{\frac{D\rho}{Dt} + \rho \text{ div}\vec{v} = 0} $$

Cette dernière équation est la forme finale de l'équation de continuité pour un écoulement compressible.

6. Conditions aux Limites

6.1) Loin de l'obstacle

Loin de l'obstacle, ce dernier ne perturbe pas l'écoulement du fluide.

6.2) À la surface d'un obstacle

  • La vitesse du fluide est tangente à l'obstacle.
  • La composante normale de la vitesse est nulle.
  • Cela se traduit par l'équation: \[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \]

A l'interface entre deux fluides non miscibles, il y a continuité de la composante normale de la vitesse

7) Écoulement stationnaire

Dans un écoulement stationnaire, la divergence du vecteur densité de courant de masse est nulle.

$$ \text{div} \vec{J}_m = \text{div}(\rho\vec{v}) = 0 $$

Cela signifie que le vecteur Jm est à flux conservatif.

$$ \oiint_S \vec{J}_m \cdot d\vec{S} = 0 $$

Cette condition implique la conservation du débit massique à travers toutes les sections d'un même tube de courant à un instant donné.

$$ D_{m_1} = D_{m_2} $$

8) Écoulement incompressible

$$ \frac{D\rho}{Dt} = 0 \Rightarrow \frac{D\rho}{Dt} + \rho \text{ div}\vec{v} = 0 \Rightarrow \text{div}\vec{v} = 0 $$

Le champ de vitesse est à flux conservatif.

$$ \oiint \vec{v} \cdot d\vec{S} = 0 $$

Ce qui signifie que le débit volumique à travers toutes les sections d'un tube de courant est le même à un instant donné.

$$ v_1 \delta S_1 = v_2 \delta S_2 $$

Si la surface de la section diminue, la vitesse du fluide doit augmenter pour que le débit soit conservé. Par exemple :

$$ \text{Si } \delta S_1 \gg \delta S_2 \rightarrow v_2 > v_1 $$

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