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Partie 1 : Champ et potentiel électrostatique

Électrostatique - Champ et Potentiel

Introduction

L'électrostatique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes électriques créés par des charges électriques au repos. Ce domaine fondamental nous permet de comprendre les interactions entre charges électriques, la notion de champ électrique et le concept de potentiel électrostatique.

Dans ce chapitre, nous explorerons successivement :

  • La loi de Coulomb qui décrit la force entre deux charges ponctuelles
  • Le concept de champ électrostatique et son calcul pour différentes distributions de charge
  • Les propriétés de symétrie qui simplifient considérablement l'étude des configurations complexes
  • La notion de potentiel électrostatique et son lien avec le champ électrique
  • La topographie du champ à travers les lignes de champ et les surfaces équipotentielles

Ces concepts fondamentaux sont essentiels pour comprendre non seulement l'électrostatique mais aussi pour aborder l'électromagnétisme et de nombreuses applications technologiques modernes.

Électrostatique: Champ et Potentiel

Champ et potentiel électrostatique

I) Loi de Coulomb dans le vide

1) Définition

Il s'agit d'une loi phénoménologique : on constate expérimentalement que les actions entre corps électrisés obéissent à ce modèle mais cela n'a pas été démontré à partir d'autres principes.

2) Principe des actions réciproques

Les charges sont supposées ponctuelles : le principe de l'action et de la réaction ou des actions réciproques s'applique. Si une charge \(q_1\) exerce une force \(\vec{F_{1/2}}\) sur la charge \(q_2\), \(q_2\) exerce la force \(\vec{F_{2/1}}\) vérifiant :

\[\vec{F_{1/2}} = - \vec{F_{2/1}}\]

3) Énoncé de la loi de Coulomb

Illustration de la loi de Coulomb

Soient deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) situées respectivement en \(M_1\) et \(M_2\). La charge \(q_1\) exerce sur la charge \(q_2\) la force

\[\vec{F_{1/2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(M_1 M_2)^3} \vec{M_1 M_2} = - \vec{F_{2/1}}\]

\(\epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \text{F} \cdot \text{m}^{-1}\) est appelé permittivité diélectrique du vide. \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{F}^{-1} \cdot \text{m}\)

II) Champ électrique

1) Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

La loi de Coulomb s'écrit :

\[\vec{F_{1/2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(M_1 M_2)^3} \vec{M_1 M_2} = q_2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{(M_1 M_2)^3} \vec{M_1 M_2} \right) = q_2 \vec{E_1}(M_2)\]

\(\vec{E_1}(M_2) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{(M_1 M_2)^3} \vec{M_1 M_2}\) : Le champ électrostatique créé au point \(M_2\) par la charge électrique \(q_1\) située en \(M_1\). On constate que ce champ ne dépend pas de la charge \(q_2\).

En générale : Le champ électrostatique créé par une charge \(q\) placée au point O, en un point M est :

\[\vec{E}(M) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{OM}}{OM^3} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{u}}{OM^2}\]

avec \(\vec{u} = \frac{\vec{OM}}{OM}\) vecteur unitaire

Champ électrique d'une charge ponctuelle

2) Principe de superposition

Soit une charge \(q\) placée en un point M de l'espace. Soit un ensemble de charges ponctuelles \(q_i\) placées aux points \(A_i\). En appliquant le principe de superposition, la force exercée par l'ensemble des charges \(q_i\) sur la charge \(q\) s'écrit :

\[\vec{F} = \sum_i \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_i}{(A_i M)^3} \vec{A_i M} = q \sum_i \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{(A_i M)^3} \vec{A_i M} = q \vec{E}(M)\]
Principe de superposition

Le principe de superposition s'applique donc également au champ électrostatique.

\[\vec{E}(M) = \sum_i \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{(A_i M)^3} \vec{A_i M}\]

3) Champ créé par une distribution quelconque de charges

a) Distribution volumique de charge

Distribution volumique de charge

Soit D une distribution volumique de charge et dq une charge élémentaire contenue dans un volume élémentaire \(d\tau\) de cette distribution.

On définit la densité volumique de charge \(\rho(P)\) en un point P par :

\[dq = \rho(P) d\tau \quad \rho(P) = \frac{dq(P)}{d\tau} \quad (\text{C} \cdot \text{m}^{-3})\]

L'élément de charge dq(P) crée un champ électrostatique élémentaire en un point M tel que :

\[d\vec{E}(M) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \frac{\rho(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} d\tau\]

Le champ créé en M par la distribution continue D est :

\[\vec{E}(M) = \iiint \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \iiint \frac{\rho(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} d\tau = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint \rho(P) \frac{\vec{PM}}{PM^3} d\tau\]

b) Distribution surfacique de charges

Distribution surfacique de charges

Soit D une distribution surfacique de charge et dq une charge élémentaire contenue dans un élément de surface dS. On définit la densité de charge surfacique \(\sigma(P)\) en un point P par :

\[dq(P) = \sigma(P) dS \quad \sigma(P) = \frac{dq(P)}{dS} \quad (\text{C} \cdot \text{m}^{-2})\]

La charge élémentaire dq(P) crée un champ électrostatique élémentaire \(d\vec{E}(M)\) en un point M.

\[d\vec{E}(M) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \frac{\sigma(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} dS\]

Le champ créé en M par la distribution continue D est :

\[\vec{E}(M) = \iint \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \iint \frac{\sigma(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} dS = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint \sigma(P) \frac{\vec{PM}}{PM^3} dS\]

c) Distribution linéique de charges

Distribution linéique de charges

Soit D une distribution linéique de charge et dq une charge contenue dans un élément de longueur dl. On définit la densité de charge linéique \(\lambda(P)\) en un point P par :

\[dq(P) = \lambda(P) dl \quad \lambda(P) = \frac{dq(P)}{dl} \quad (\text{C} \cdot \text{m}^{-1})\]

La charge élémentaire dq(P) crée un champ électrostatique élémentaire \(d\vec{E}(M)\) en un point M.

\[d\vec{E}(M) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \frac{\lambda(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} dl\]

Le champ créé en M par la distribution continue D est :

\[\vec{E}(M) = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} = \int \frac{\lambda(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{PM}}{PM^3} dl = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \lambda(P) \frac{\vec{PM}}{PM^3} dl\]

III) Propriétés de symétrie

1) Invariance par translation

  • La distribution de charges D est invariante par la translation de vecteur \(\vec{a}\) si et seulement si : \(\forall\) M et M' \(\in\) D avec M' est l'image de M par translation de vecteur \(\vec{a}\) : \(dq(M) = dq(M')\)
  • Si la distribution de charges est invariante par toute translation le long de l'axe Ox alors, le champ électrostatique ne dépend pas de cette variable x et ne possède pas de composante suivant \(\vec{e_x}\) :
\[\vec{E}(x,y,z) = \vec{E}(y,z) = E_y(y,z) \vec{e_y} + E_z(y,z) \vec{e_z}\]

2) Invariance par rotation

  • La distribution de charges D est invariante par la rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe (∆) si : \(\forall\) M et M' \(\in\) D avec M' est l'image de M par rotation de l'angle \(\theta\) autour de (∆) : \(dq(M) = dq(M')\)
  • Si la distribution de charges est invariante par toute rotation d'angle \(\theta\) (que ce soit par rapport à un axe ou à un point), le champ électrostatique ne dépend pas de \(\theta\).

3) Symétrie par rapport à un plan

  • Une distribution de charge D admet un plan de symétrie \(\pi\), si : \(\forall\) P, P' \(\in\) D tel que P' est la symétrie de P par rapport à \(\pi\) : \(dq(P) = dq(P')\)

Conséquences :

  • \(dq(P) = dq(P')\)

\(d\vec{E}(M) = d\vec{E_P}(M) + d\vec{E_{P'}}(M)\) appartient au plan \(\pi\) : le champ électrostatique créé en un point M du plan de symétrie \(\pi\) d'une distribution appartient à ce plan.

Symétrie par rapport à un plan
  • Soit M' l'image de M par rapport au plan \(\pi\) : Le champ électrique en M′, est le symétrique du champ électrique en M.
Champ électrique et symétrie

4) Antisymétrie par rapport à un plan

  • La distribution de charges D est antisymétrique par rapport au plan \(\pi^*\) si et seulement si : \(\forall\) P, P' \(\in\) D tel que P' est la symétrie de P par rapport à \(\pi^*\) : \(dq(P) = - dq(P')\)
Antisymétrie par rapport à un plan

Conséquences :

  • \(dq(P) = dq(P')\)

\(d\vec{E}(M) = d\vec{E_P}(M) + d\vec{E_{P'}}(M)\) est perpendiculaire au plan \(\pi^*\)

le champ électrostatique créé en un point M du plan antisymétrique d'une distribution de charge est perpendiculaire à ce plan en M.

Champ perpendiculaire au plan antisymétrique
  • Soit M' l'image de M par rapport au plan \(\pi\) : Le champ électrique en M′, est l'opposé du symétrique du champ électrique en M.
Champ électrique et antisymétrie

5) Symétrie cylindrique

Symétrie cylindrique

Une répartition de charges à symétrie cylindrique d'axe (Oz) est une répartition invariante par toute translation de vecteur parallèle à (Oz) et par toute rotation autour de (Oz).

En coordonnées cylindriques (r, \(\theta\), z) d'axe (Oz), la densité volumique de charge est indépendante de \(\theta\) et de z : \(\rho(M) = \rho(r)\).

Exemple : On considère un cylindre très long (on fera l'approximation d'un cylindre de longueur infinie), d'axe (Oz), de rayon a, chargé uniformément en volume. La densité volumique de charge associée en coordonnées cylindriques d'axe (Oz) :

\[ \begin{matrix} \rho(r) = 0 & \text{pour } r > a \\ \rho(r) = \rho_0 & \text{pour } r \leq a \end{matrix} \]

Cette distribution de charges possède la symétrie cylindrique : elle est invariante par toute translation parallèle à (Oz) et par toute rotation autour de (Oz). Le champ électrique créé en un point M dans l'espace ne dépend que de r :

\[\vec{E}(M) = \vec{E}(r,\theta,z) = \vec{E}(r)\]

Les plans (M, \(\vec{e_r}, \vec{e_\theta}\)) et (M, \(\vec{e_r}, \vec{e_z}\)) sont des plans de symétrie pour la distribution donc \(\vec{E}(M)\) est continu dans ces plans donc il est porté par \(\vec{e_r}\) donc

\[\vec{E}(M) = E_r \vec{e_r}\]

6) Symétrie sphérique

Symétrie sphérique

Une répartition de charges à symétrie sphérique de centre O est une répartition invariante par toute rotation autour de n'importe quel axe qui passe par O.

En coordonnées sphériques (r, \(\theta\), \(\varphi\)) de centre O, la densité volumique de charge est indépendante de \(\theta\) et \(\varphi\) : \(\rho(M) = \rho(r)\).

Exemple : Une sphère de rayon R chargée uniformément en volume correspond à une distribution de charges à symétrie sphérique, elle est bien invariante par toute rotation autour de n'importe quel axe qui passe par O. le champ électrique créé en un point M de l'espace ne dépend que de r :

\[\vec{E}(M) = \vec{E}(r,\theta,\varphi) = \vec{E}(r)\]

Les plans (M, \(\vec{e_r}, \vec{e_\theta}\)) et (M, \(\vec{e_r}, \vec{e_\varphi}\)) sont des plans de symétrie pour la distribution de charge donc \(\vec{E}(M)\) est porté par \(\vec{e_r}\) :

\[\vec{E}(M) = \vec{E}(r,\theta,\varphi) = \vec{E}(r) = E_r \vec{e_r}\]

IV) Circulation du champ électrostatique, potentiel électrostatique

1) Circulation d'un champ de vecteurs

Soit \(\vec{a}(M)\) un champ de vecteurs (le champ électrostatique par exemple).

a) Circulation élémentaire

On appelle circulation élémentaire du champ \(\vec{a}(M)\) dans un déplacement \(\vec{dl}_M\) à partir d'un point M la grandeur élémentaire :

\[dC = \vec{a}(M) \cdot \vec{dl}(M)\]

b) Circulation le long d'un chemin

Circulation d'un champ vectoriel

Soit une courbe, appelée chemin, \(\Gamma_{AB}\) allant d'un point A à un point B. On appelle circulation du champ de vecteurs \(\vec{a}(M)\) de A à B, le long du chemin \(\Gamma_{AB}\) la grandeur :

\[C = \int_{M \in \Gamma_{AB}} \vec{a}(M) \cdot \vec{dl}(M)\]

Remarques

  • En général, C dépend du chemin \(\Gamma_{AB}\), pas uniquement des points de départ et arrivée A et B.
  • Quand A = B, le chemin \(\Gamma_{AB}\) est fermé, on dit que c'est un contour et on note :
\[C = \oint_{M \in \Gamma} \vec{a}(M) \cdot \vec{dl}(M)\]

Le cercle sur le symbole de l'intégrale rappelant qu'il s'agit d'un chemin fermé.

2) Potentiel électrostatique

a) Cas d'une charge ponctuelle

Soit une charge ponctuelle q située au point A. Elle crée en un point M de l'espace le champ électrostatique :

\[\vec{E_A}(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{AM}}{AM^3}\]

La circulation de ce champ est :

\[dC = \vec{E_A}(M) \cdot \vec{dl}(M)\]

Or :

\[\vec{AM} \cdot d\vec{AM} = d\left( \frac{1}{2} \vec{AM}^2 \right) = d\left( \frac{1}{2} AM^2 \right) = AM \cdot dAM\]

on en déduit que :

\[dC = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{d(AM)}{AM^2} = - d\left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{AM} \right)\]

La circulation du champ électrostatique créé par la charge ponctuelle q située au point A entre deux points C et D le long du chemin \(\Gamma_{CD}\) s'écrit :

\[C = \int_{P \in \Gamma_{CD}} \vec{E_A}(M) \cdot \vec{dl}(M) = \int_{P \in \Gamma_{CD}} - d\left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{AM} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{AC} - \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{AD} = V_A(C) - V_A(D)\]

le potentiel électrostatique créé en M par la charge ponctuelle q située au point A.

\[V_A(M) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{AM}\]

Ainsi, la circulation du champ électrique ne dépend pas du chemin \(\Gamma_{CD}\) choisi pour le calcul mais uniquement des points C et D puisqu'on peut l'exprimer en fonction du potentiel électrostatique en ces deux points. On dit que le champ électrostatique \(\vec{E_A}\) est un champ à circulation conservative.

La circulation du champ électrostatique sur un contour fermé est nulle puisque dans ce cas D = C.

\[\oint \vec{E_A}(M) \cdot \vec{dl}(M) = 0\]

b) Cas d'une distribution de charges

  • Pour un ensemble de charges ponctuelles grâce au théorème de superposition :
\[V(M) = \sum_i V_{A_i}(M) = \sum_i \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{A_i M}\]

V(M) est le potentiel créé par la distribution de charges. C'est la somme des potentiels créés individuellement par chaque charge.

  • pour une distribution volumique : \(V(M) = \iiint_D \frac{\rho(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM} d\tau\)
  • pour une distribution surfacique : \(V(M) = \iint_D \frac{\sigma(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM} dS\)
  • pour une distribution linéique : \(V(M) = \iint_D \frac{\lambda(P)}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM} dl\)

c) Lien entre le champ et le potentiel électrostatiques

On a défini le potentiel électrostatique de manière à ce que la circulation du champ électrostatique entre deux points M et N soit :

\[C = \int_M^N \vec{E}(M) \cdot \vec{dl}_M = V(M) - V(N)\]

Dans le cas où N est un point infiniment proche de M, cette relation devient : dC = −dV, où dC est la circulation élémentaire sur le déplacement \(\vec{MN} = \vec{dl}_M\) et dV = V(N) - V(M) la variation du potentiel due à ce déplacement, ce qui s'écrit aussi :

\[\vec{E}(M) \cdot \vec{dl}(M) = - dV\]

La relation définissant le gradient du potentiel électrostatique :

\[dV = \vec{\text{grad}} V(M) \cdot \vec{dl}(M)\]
\[\vec{E}(M) = - \vec{\text{grad}} V(M)\]

On dit que le champ électrostatique \(\vec{E}(M)\) dérive du potentiel électrostatique V(M).

  • Le potentiel électrostatique s'exprime en volts (V). L'unité couramment utilisée pour le champ électrique est le V·m⁻¹.
  • Le potentiel est une fonction continue.

Expressions du gradient :

  • En coordonnées cartésiennes :
\[\vec{\text{grad}} V = \left( \frac{\partial V}{\partial x} \right)_{y,z} \vec{e_x} + \left( \frac{\partial V}{\partial y} \right)_{x,z} \vec{e_y} + \left( \frac{\partial V}{\partial z} \right)_{x,y} \vec{e_z}\]
  • En coordonnées cylindriques :
\[\vec{\text{grad}} V = \left( \frac{\partial V}{\partial r} \right)_{\theta,z} \vec{e_r} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{r,z} \vec{e_\theta} + \left( \frac{\partial V}{\partial z} \right)_{r,\theta} \vec{e_z}\]
  • En coordonnées sphériques :
\[\vec{\text{grad}} V = \left( \frac{\partial V}{\partial r} \right)_{\theta,\varphi} \vec{e_r} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{r,\varphi} \vec{e_\theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \left( \frac{\partial V}{\partial \varphi} \right)_{r,\theta} \vec{e_\varphi}\]

d) Propriétés de symétrie du potentiel

Le potentiel électrostatique possède les mêmes propriétés de symétrie du champ électrostatique.

3) Exemple de calcul de potentiel : potentiel créé par un disque

Potentiel créé par un disque chargé

Soit un disque chargé uniformément avec une densité surfacique \(\sigma\).

Le potentiel créé en un point M dans l'espace est :

\[V(M) = \iint \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{PM} dS = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \iint \frac{1}{PM} r dr d\theta = \frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \int_0^R \frac{r dr}{\sqrt{r^2 + z^2}}\]

Donc

\[V(M) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2} - |z|)\]

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