Correction Exercice 5
Le mouvement est circulaire est présente deux phases :
- Phase 1 : mouvement circulaire de centre \( A \)
- Phase 2 : mouvement circulaire de centre \( B \)
Remarque : le pendule s'enroulera plus faiblement si la position de fil à enrouler est courte.
Bilan des forces : \( \overrightarrow{p} \) et \( \overrightarrow{T} \)
Condition : Le fil reste tendu si \( T > 0 \) pout toutes angles \( \theta \)
Lorsque le fil est en contact avec le clou :
Le pendule décrit un cercle de rayon \( l - d \)
Projection du PFD sur \( \overrightarrow{u_r} \) :
\[ \frac{mv^2}{l - d} = - mg \cos \theta + T \]
\[ \Rightarrow T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l - d} \]
Pour que le fil reste tendu : \( T > 0 \)
Utilisation du théorème de l'énergie cinétique (TEC) :
Entre l'état initial (\( v_0 = 0 \)) et l'état final (\( \theta = \pi \)) :
\[ W(\overrightarrow{p}) = mg \Delta z = mg (l - 2(l - d)) = 2mg(2d - l) \]
\[ W(\overrightarrow{T}) = 0 \]
\[ \frac{1}{2}mv^2(\theta = \pi) = mg(2d - l) \]
\[ \Rightarrow v^2(\pi) = 2g(2d - l) \]
Calcul de la tension pour \( \theta = \pi \) :
Pour \( \theta = \pi \) : \( T = -mg + \frac{mv^2}{l-d} > 0 \)
Avec \( v^2 = 2g(2d - l) \)
\[ T = -mg + \frac{m \cdot 2g(2d - l)}{l - d} > 0 \]
\[ \Rightarrow T = mg \left( -1 + \frac{2(2d - l)}{l - d} \right) > 0 \]
Conclusion et condition sur les paramètres :
\[ T = mg \left( 1 + \frac{2(2d - l)}{l - d} \right) > 0 \]
Pour que \( T > 0 \), on doit avoir :
\[ 1 + \frac{2(2d - l)}{l - d} > 0 \]
\[ \Rightarrow \frac{d}{l} > \frac{3}{5} \]
\[ \Rightarrow \boxed{\frac{d}{l} > \frac{3}{5}} \]