Correction Exercice 2
1) Bilan des forces et travaux
Bilan des forces
- Phase \( B \to O \) : \( \overrightarrow{P} \) et \( \overrightarrow{R} \)
- Phase \( O \to E \) : \( \overrightarrow{P} \)
- Phase \( E \to H \) : \( \overrightarrow{P} \) et \( \overrightarrow{R} \)
Travail de chaque force
Dans la phase \( B \to O \) :
Schéma du mouvement sur plan incliné
\[ W(\overrightarrow{P}) = -mg(z_O - z_B) = mg \cdot OB \cdot \sin\alpha \]
\[ W(\overrightarrow{R_N}) = 0 \]
\[ W(\overrightarrow{R_T}) = -R_T \cdot OB \]
PFD : \( m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R_N} + \overrightarrow{R_T} \)
Projection sur \( Ox \) : \( ma = -R_T - mg\sin\alpha \)
Projection sur \( Oy \) : \( 0 = R_N - mg\cos\alpha \Rightarrow R_N = mg\cos\alpha \)
On a : \( R_T = f R_N = f mg\cos\alpha \)
\[ \Rightarrow W(\overrightarrow{R_T}) = -f mg\cos\alpha \cdot OB \]
Dans la phase \( O \to E \) :
\[ W(\overrightarrow{P}) = -mg(z_E - z_O) = mg(DE - OC) \]
Dans la phase \( E \to H \) :
\[ W(\overrightarrow{R_N}) = 0 \]
\[ W(\overrightarrow{R_T}) = -R_T \cdot EH \]
PFD : \( m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{R_T} + \overrightarrow{R_N} \)
Projection sur \( Ox \) : \( ma = -R_T \)
Projection sur \( Oy \) : \( 0 = R_N - P \Rightarrow R_N = mg \)
\( R_T = f R_N = f mg \)
\[ \boxed{W(\overrightarrow{R_T}) = -f mg \cdot EH} \]
2) Théorèmes énergétiques
Application du théorème de l'énergie cinétique
TEC : \( \Delta E_c = W(\overrightarrow{P})_{0 \to E} = \frac{1}{2} m V_E^2 - \frac{1}{2} m V_0^2 \)
\[ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{1}{2} m V_1^2 + mg (DE - OC) \]
\[ \Rightarrow V_0 = \sqrt{V_1^2 + 2g (DE - OC)} \]
Détermination de la force de freinage
\[ \Delta E_c = W(\overrightarrow{P})_{E \to H} + W(\overrightarrow{R_N})_{E \to H} + W(\overrightarrow{R_T})_{E \to H} + W(\overrightarrow{F})_{E \to H} \]
\[ \Delta E_c = -f mg \cdot EH - F \cdot EH \]
\[ = \frac{1}{2}mV_H^2 - \frac{1}{2}mV_1^2 \]
\[ \Rightarrow F \cdot EH = \frac{1}{2}mV_1^2 - f mg \cdot EH \]
\[ \Rightarrow {F} = \frac{mV_1^2}{2EH} - {f}mg \]
Puissance du travail de la force \( \overrightarrow{F} \)
\[ W(\overrightarrow{F}) = -F \cdot EH = P \cdot \Delta t \quad \Rightarrow \quad P = -\frac{F \cdot EH}{\Delta t} \]