Régime sinusoïdal forcé et régime transitoire
Régime sinusoïdal forcé - Adaptation d'impédance
I. Régime sinusoïdal forcé et régime transitoire
1. Définitions
La réponse d'un système linéaire à une excitation quelconque est la somme de :
- La solution générale de l'équation différentielle homogène (régime libre)
- Une solution particulière (régime permanent)
On appelle régime forcé la réponse en régime permanent à une excitation de type sinusoïdale.
2. Régime transitoire et régime forcé
L'obtention du régime forcé n'est pas instantanée. On observe toujours un régime transitoire entre deux régimes permanents qu'ils soient continus, forcés ou autres.
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RC avec R = 1 kΩ et C = 1 µF
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RLC avec L = 20 mH, C = 1 mF et R = 50 Ω
Régime libre - Établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz
Circuit RLC avec L = 20 mH, C = 1 mF et R = 283 Ω
Le régime transitoire est très court, c'est la raison pour laquelle on peut le négliger lorsqu'on étudie le régime permanent.
3. Circuit RLC série soumis à une excitation sinusoïdale
a) Introduction
L'équation différentielle vérifiée par uc(t) :
\(\displaystyle \frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{du_{c}}{dt} + \frac{u_{c}}{LC} = \frac{e(t)}{LC}\)
L'équation différentielle vérifiée par i(t) :
\(\displaystyle \frac{d^{2}i}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = \frac{1}{L}\frac{de}{dt}\)
En notation complexe :
\(\displaystyle (j\omega)^{2}\underline{i} + \frac{R}{L}j\omega\underline{i} + \frac{\underline{i}}{LC} = \frac{1}{L}j\omega\underline{e}\)
\(\displaystyle \underline{i} = \frac{\underline{e}}{R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})}\)
b) Résonance en intensité
b.1) Étude de l'amplitude
On étudie l'intensité en fonction de la fréquence. Son expression complexe est :
\(\displaystyle \underline{i} = \frac{\underline{e}}{R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})} = \frac{\underline{e}}{R\left(1 + jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)\right)}\)
L'amplitude de l'intensité complexe :
\(\displaystyle I = |\underline{i}| = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}} = \frac{E}{R\sqrt{1 + Q^2\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}}\)
On étudie les variations de I en fonction de la fréquence ou de la pulsation \(\omega\).
- Quand \(\omega\) tend vers 0, \( f(\omega) \) tend vers \( +\infty \)
- Quand \(\omega\) tend vers \( +\infty \), \( f(\omega) \) tend vers \( +\infty \)
- Remarquer que \(\forall \omega, f(\omega) \geq R^2\). La fonction \( f \) passe donc par un minimum en \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), \( f(\omega_0) = R^2 \)
L'amplitude I de l'intensité admet un maximum qui vaut \(\frac{E}{R}\) pour la pulsation \(\omega = \omega_0\), on dit qu'il y a résonance en intensité.
\(\omega_0\) est appelée pulsation de résonance en intensité ou pulsation propre du circuit.
Courbe de résonance en intensité
b.2) Étude du déphasage
Le déphasage \( \varphi \) entre \( \underline{i}(t) \) et \( \underline{e}(t) \) est :
\(\displaystyle \varphi = \arg(\underline{i}) - \arg(\underline{e}) = \arg\left(\frac{1}{R}\right) - \arg\left(1 + jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)\right)\)
Donc
\(\displaystyle \varphi = -\arg\left(1 + jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)\right)\)
d'où
\(\displaystyle \tan\varphi = -Q\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)\)
On a cos \(\varphi \geq 0\) d'où
\(\displaystyle \varphi \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
Quand \(\omega\) tend vers 0, \(\tan\varphi\) tend vers \(+\infty\), donc \(\varphi\) tend vers \(\frac{\pi}{2}\)
Quand \(\omega\) tend vers \(+\infty\), \(\tan\varphi\) tend vers \(-\infty\), donc \(\varphi\) tend vers \(-\frac{\pi}{2}\)
Quand \(\omega = \omega_0\), \(\tan\varphi\) tend vers 0, donc \(\varphi\) tend vers 0
Évolution du déphasage
b.3) Bande passante à -3 dB
On définit la bande passante à \(-3\) dB comme l'ensemble des fréquences ou des pulsations telles que :
\(\displaystyle |i(\omega)| \geq \frac{i_{\max}}{\sqrt{2}}\)
avec \( i_{\max} = \frac{E}{R} \) lorsque \( \omega = \omega_0 \).
On cherche donc les pulsations \(\omega\) telles que :
\(\displaystyle \frac{E}{R\sqrt{1 + Q^2\left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2}} \geq \frac{E}{\sqrt{2}R}\)
En simplifiant :
\(\displaystyle 1 + Q^2\left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2 \leq 2\)
Après résolution des équations, on obtient :
\(\displaystyle \omega_1 = \frac{-\omega_0 + \omega_0\sqrt{1+4Q^2}}{2Q}\) \(\displaystyle \omega_4 = \frac{\omega_0 + \omega_0\sqrt{1+4Q^2}}{2Q}\)
Conclusion : La largeur de la bande passante est alors donnée par :
\(\displaystyle \Delta\omega = \omega_4 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L}\)
c) Résonance en tension aux bornes de la capacité
c.1) Étude de l'amplitude
On a :
\(\displaystyle \bar{u}_c = \frac{\underline{i}}{jC\omega} = \frac{\underline{e}}{jC\omega(R+j(L\omega - \frac{1}{C\omega}))} = \frac{\underline{e}}{(1-LC\omega^2) + jRC\omega} = \frac{\underline{e}}{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2} + j\frac{\omega}{Q\omega_0}}\)
On pose \( f(\omega) = \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^2 + \frac{1}{Q^2} \frac{\omega^2}{\omega_0^2} \). Les variations de \( |u_c| \) seront inverses de celles de \( f(\omega) \).
On calcule la dérivée :
\(\displaystyle f'(\omega) = 2\left(-\frac{2\omega}{\omega_0^2}\right)\left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right) + 2\frac{1}{Q^2}\frac{\omega}{\omega_0^2} = \frac{2\omega}{\omega_0^2}\left(\frac{1}{Q^2} - 2 + 2\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)\)
La fonction \( f'(\omega) \) s'annule pour \( \omega = 0 \) et pour \( 2\frac{\omega^2}{\omega_0^2} = 2 - \frac{1}{Q^2} \). Cette deuxième solution n'existe que si \( 2 > \frac{1}{Q^2} \) soit \( Q > \frac{1}{\sqrt{2}} \).
On aura alors à distinguer deux cas :
Cas 1 : \( Q < \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Alors \( f'(\omega) \geq 0 \) pour toute valeur de \( \omega > 0 \), \( f \) est croissante et \( |u_c| \) décroissante.
Cas 2 : \( Q > \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Alors \( f'(\omega) \geq 0 \) pour \( \omega \geq \omega_r = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} \), la fonction \( f \) est décroissante de \( \omega = 0 \) à \( \omega_r \). On note que \( \omega_r < \omega_0 \).
Conclusion : L'étude des valeurs limites donne :
- Quand \( \omega \to 0, |u_c| \to E \)
- Quand \( \omega \to +\infty, |u_c| \to 0 \)
- Quand \( \omega \to \omega_r = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} \) (lorsqu'elle existe) :
\(\displaystyle |\bar{u}_c| = \frac{E}{\sqrt{\frac{1}{Q^2} - \frac{1}{4Q^4}}} = \frac{QE}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}} = \frac{2Q^2E}{\sqrt{4Q^2 - 1}}\)
Courbes de résonance en tension
Remarque : la résonance aux bornes du condensateur n'existe pas toujours contrairement à la résonance en intensité. D'autre part, la fréquence de résonance aux bornes du condensateur n'est pas la même que celle obtenue pour la résonance en intensité.
c.2) Étude du déphasage
On appelle \(\varphi_C\) l'argument de uc, c'est donc le déphasage de \(u_c(t)\) par rapport à \(e(t)\).
\(\displaystyle \bar{u}_c = \frac{\underline{e}}{1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + j\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}}\)
Le déphasage est donné par :
\(\displaystyle \tan \varphi_C = -\dfrac{\frac{1}{Q}\frac{\omega}{\omega_0}}{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}} \quad \text{avec} \quad \varphi_C \in [-\pi, 0]\)
Valeurs limites du déphasage :
Quand \(\omega \to 0\) : \(\tan \varphi_C \to 0^-\) avec \(\varphi_C \in [-\pi, 0]\) donc \(\varphi_C \to 0\)
Quand \(\omega \to +\infty\) : \(\tan \varphi_C \to 0^+\) avec \(\varphi_C \in [-\pi, 0]\) donc \(\varphi_C \to -\pi\)
Quand \(\omega \to \omega_0\) (résonance) : \(\tan \varphi_C \to -\infty\) avec \(\varphi_C \in [-\pi, 0]\) donc \(\varphi_C \to -\dfrac{\pi}{2}\)
Déphasage pour la tension aux bornes du condensateur
II. Puissance en régime sinusoïdal forcé
1. Puissance instantanée
On note u(t) la tension aux bornes d'un dipôle et i(t) le courant le parcourant (en convention récepteur) :
\(\displaystyle u(t) = \sqrt{2} \cos(\omega t) \, \text{et} \, i(t) = \sqrt{2} \cos(\omega t - \varphi)\)
La puissance instantanée reçue par le dipôle est donc :
\(\displaystyle P(t) = u(t)i(t) = 2U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} \cos(\omega t) \cos(\omega t - \varphi)\)
Soit en utilisant les formules de trigonométrie :
\(\displaystyle P(t) = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} [\cos(2\omega t - \varphi) + \cos(\varphi)]\)
Les valeurs extrêmes sont obtenues pour \(\cos(2\omega t - \varphi) = \pm 1\) soit :
\(\displaystyle P_{\max} = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} (1 + \cos(\varphi)) \, \text{et} \, P_{\min} = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} (-1 + \cos(\varphi))\)
Dans le cas d'un résistor (\( \varphi = 0 \)) donc \( 0 < P < 2U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} \). La puissance reçue est toujours positive et donc le résistor se comporte toujours comme un récepteur.
Dans le cas d'une bobine (\( \varphi = \pi/2 \)) ou d'un condensateur (\( \varphi = -\pi/2 \)), \( \cos(\varphi) = 0 \), donc :
\(\displaystyle -U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} < P < U_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\)
Ainsi, pendant une demi-période la puissance reçue est positive, puis pendant l'autre demi-période elle est négative. Les bobines et les condensateurs se comportent alternativement en récepteur (ils reçoivent effectivement de l'énergie) et en générateur (ils fournissent effectivement de l'énergie).
2. Puissance moyenne ou active
Pour connaître la puissance globale reçue (ou consommée) par un dipôle, il est nécessaire de calculer la puissance moyenne.
\(\displaystyle P_m = \frac{1}{T} \int_0^T P(t) dt = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos\varphi\)
Cette puissance moyenne porte le nom de puissance active. Cos \(\varphi\) est appelé facteur de puissance.
Pour une résistance : \( \varphi = 0 \) donc \( P_m = UI \)
Pour une bobine : \( \varphi = \pi/2 \) donc \( P_m = 0 \)
Pour un condensateur : \( \varphi = -\pi/2 \) donc \( P_m = 0 \)
3. Puissance en notation complexe
La puissance moyenne consommée par un dipôle est : \( \underline{P} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* \) avec \( \underline{I}^* \) : complexe conjugué de \( \underline{I} \).
\(\displaystyle \underline{P} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* = U \cdot I \cdot e^{j\varphi} = UI(\cos\varphi + j\sin\varphi)\)
La puissance moyenne (active) : \( P_m = UI \cdot \cos\varphi = \text{Re}(\underline{P}) \)
La puissance réactive : \( P_r = UI \sin\varphi = \text{Im}(\underline{P}) \)
4. Adaptation d'impédance
Soit D un dipôle d'impédance \( \underline{Z}_c = R_c + jX_c \), et le générateur de f.e.m. \( e(t) = E\sqrt{2} \cos(\omega t) \) d'impédance interne \( \underline{Z}_e = R_e + jX_e \).
Question : À quelle valeur de \( \underline{Z}_c \) et \( \underline{Z}_e \) le générateur fournit le maximum de puissance ?
Diviseur de tension :
\(\displaystyle \underline{U} = \frac{\underline{Z}_c \cdot \underline{E}}{\underline{Z}_c + \underline{Z}_e} \quad \Rightarrow \quad I_{\text{eff}} = \frac{E}{|\underline{Z}_c + \underline{Z}_e|}\)
La puissance moyenne est :
\(\displaystyle P = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} \cos\varphi = \frac{R_cE^2}{(R_c+R_e)^2+(X_c+X_e)^2}\)
En optimisant cette expression par rapport à \( X_c \) et \( R_c \), on obtient :
\( \frac{\partial P}{\partial X_c} = 0 \) donne \( X_c = -X_e \)
\( \frac{\partial P}{\partial R_c} = 0 \) donne \( R_c = R_e \)
Conclusion : On obtient \( \underline{Z}_c = \underline{Z}_e^* \) où \( \underline{Z}_e^* \) est le complexe conjugué de \( \underline{Z}_e \). On dit dans ce cas qu'il y a adaptation d'impédance.