Approximation de l'Optique Géométrique
Introduction à l'Optique Géométrique
La lumière désigne la partie visible du spectre électromagnétique. L'optique est le domaine de la physique qui s'intéresse à l'étude de la lumière. L'optique se base alors sur l'étude des ondes électromagnétiques. La lumière comme toute onde se caractérise par une fréquence et une vitesse de propagation (ou célérité).
I) Généralités et Propriétés des Milieux
1) Types de milieux en optique
Milieu isotrope : les propriétés sont identiques dans toutes les directions de propagation du rayon lumineux. Il existe des milieux en optique pour lesquels la vitesse de propagation n'est pas la même parallèlement aux trois axes de coordonnées, on dit que ces milieux sont birefringents (exemple : quartz).
Milieu transparent : il n'y a pas d'absorption de la lumière (l'intensité lumineuse reste constante).
Milieu homogène : les propriétés sont identiques en tout point du milieu.
2) Cadre de l'approximation de l'optique géométrique
Expérience : on éclaire une ouverture circulaire de rayon d avec un faisceau laser (λ : longueur d'onde du laser).
Si d >> λ : on obtient une tache lumineuse de rayon d. On est dans le cadre de l'optique géométrique.
Si d < λ : phénomène de diffraction. On observe une tache lumineuse de rayon r avec : tan θ = θ = r/L = λ/d
Conclusion : les lois de l'optique géométrique sont valables tant que les instruments utilisés sont de grande taille, par rapport à la longueur d'onde.
3) Rayon lumineux et faisceaux lumineux
Rayon lumineux : c'est le trajet suivi par la lumière, ou le trajet suivi par l'énergie lumineuse.
Dans un milieu transparent homogène et isotrope la lumière se propage en ligne droite.
Faisceau lumineux : l'ensemble des rayons lumineux constitue un faisceau lumineux. On distingue :
- Faisceau cylindrique
- Faisceau convergent
- Faisceau divergent
4) Principe de retour inverse de la lumière
Soient A et B deux points situés sur un rayon lumineux. Si on inverse le sens de propagation de la lumière, A et B sont toujours sur le même rayon lumineux.
Conclusion : la trajectoire suivie par la lumière ne dépend pas du sens de parcours.
Ceci constitue le principe de retour inverse de la lumière.
5) Indépendance des rayons lumineux
Soient \(s_1\) et \(s_2\) deux sources de lumière. Les rayons lumineux provenant de \(s_1\) et \(s_2\) ne se gênent pas, c'est-à-dire : la répartition lumineuse obtenue est la somme des répartitions individuelles.
Dans un milieu homogène transparent et isotrope, il y a indépendance des rayons lumineux.
"Les rayons lumineux se propagent indépendamment les uns des autres".
II) Indice de Réfraction et Longueur d'Onde
1) Indice de réfraction d'un milieu
La vitesse de propagation de la lumière dépend du milieu de propagation.
Dans le vide : \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)
Dans un milieu homogène : \( v = \frac{c}{n} \)
avec \( n > 1 \) : indice de réfraction du milieu
| Milieu | Indice n |
|---|---|
| Vide | \( n = 1 \) |
| Air | \( n \approx 1,00027 \approx 1 \) |
| Eau | \( n = 1,33 \) |
| Verre | \( n = 1,5 \) |
2) Longueur d'onde
La vitesse de propagation dépend du milieu de propagation mais pas de la fréquence \( f \) : \( f = \frac{1}{T} \).
Dans le vide : \( \lambda_0 = cT \)
Les longueurs d'onde correspondant au domaine visible variant de 400 nm à 750 nm.
Pour le laser rouge hélium-néon : \( \lambda = 632,8 \, \text{nm} \)
III) Réflexion et Réfraction de la Lumière
1) Réflexion de la lumière
On considère un rayon lumineux qui subit une réflexion sur la surface d'un miroir.
Notations :
- I : point d'incidence
- SI : rayon incident
- IR : rayon réfléchi
- IK : normale à la surface de réflexion au point I
- i : angle d'incidence
- i' : angle de réflexion
- Plan d'incidence : plan défini par le rayon incident (SI) et la normale (IK)
Lois de la réflexion (Snell-Descartes) :
- Le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence défini par le rayon incident (SI) et la normale (IK).
- Les angles d'incidence i et de réflexion i' sont tels que : \( i' = -i \)
En appliquant le principe de retour inverse de la lumière, les rayons (SI) et (IK) sont symétriques par rapport à (IK).
2) Réfraction de la lumière
On appelle dioptre : surface séparant deux milieux transparents d'indices différents.
Notations :
- IS : rayon incident
- IK : normale au dioptre au point I
- IR : rayon réfracté
- i : angle d'incidence
- r : angle de réfraction
Loi de Snell-Descartes pour la réfraction :
\( n_1 \sin i = n_2 \sin r \)
où \( n_1 \) et \( n_2 \) sont les indices de réfraction des milieux 1 et 2 respectivement.
3) Réflexion totale
Lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent (indice \( n_1 \)) à un milieu moins réfringent (indice \( n_2 \) avec \( n_1 > n_2 \)), il existe un angle d'incidence limite au-delà duquel il n'y a plus de rayon réfracté.
\( \sin i_e = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow i_e = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \)
Si \( i > i_e \) : on aura réflexion totale (pas de rayon réfracté, \( r > \pi/2 \)).
4) Réfraction limite
Lorsque \( i \) varie de 0 à \( \frac{\pi}{2} \), \( r \) varie de 0 à \( r_e \)
\( r_e = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right) \)
\( r_e \) : angle de réfraction limite.
IV) Applications de l'Optique Géométrique
1) Applications pratiques
a) Influence de la réfraction sur la vision
La réfraction explique pourquoi un objet immergé dans l'eau semble plus proche de la surface qu'il ne l'est réellement.
b) Fibre optique à saut d'indice
Les rayons lumineux guidés par la fibre optique sont les rayons dont l'angle d'incidence est supérieur à l'angle limite de réflexion totale.
c) Fibre optique à gradient d'indice
L'indice de réfraction varie progressivement du centre vers la périphérie de la fibre, courbant progressivement la trajectoire des rayons.
d) Réfraction dans l'atmosphère - phénomène du mirage
L'atmosphère est moins dense en haute altitude : l'indice de réfraction décroît avec l'altitude. L'indice de certains milieux comme l'air dépend de la longueur d'onde suivant la loi de Cauchy :
\( n = a + \frac{b}{\lambda^2} \)
2) Phénomène du mirage
Considérons l'air de l'atmosphère comme un gaz parfait. La densité particulaire \( N_v \) est inversement proportionnelle à la température (on considère que \( p = \text{cte} \) dans une région limitée de l'atmosphère).
⇒ La concavité des rayons lumineux est dirigée vers les basses températures. Ce qui explique le phénomène du mirage : observation de l'image du ciel à travers le sol qui joue le rôle d'un lac d'eau.
3) Prisme et minimum de déviation
On considère un rayon lumineux qui traverse un prisme d'angle au sommet A.
Relations géométriques :
En I : \( \sin i = n \sin r \)
En I' : \( \sin i' = n \sin r' \)
Dans le triangle OII' : \( A = r + r' \)
Déviation : \( D = i + i' - A \)
Minimum de déviation :
La déviation D est minimale lorsque \( \frac{dD}{di} = 0 \). Dans ce cas, on a :
\( r = r' = \frac{A}{2} \) et \( i = i' \)
À partir de ces relations, on peut déterminer l'indice de réfraction du prisme.
Conclusion
L'approximation de l'optique géométrique constitue un modèle puissant pour décrire la propagation de la lumière dans les milieux transparents lorsque les dimensions des objets sont grandes devant la longueur d'onde. Les lois fondamentales de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction permettent d'expliquer de nombreux phénomènes optiques et de concevoir des dispositifs pratiques comme les fibres optiques, les prismes et les lentilles.
Cette approche simplifiée reste valable tant que les effets ondulatoires (diffraction, interférences) sont négligeables, ce qui est généralement le cas pour les systèmes optiques courants fonctionnant avec de la lumière visible.