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Op1

Chapitre 1 : Optique Géométrique

Cours de Physique - CPGE
Professeur : Physique@cpge.edu
⚠️ Note importante : Ce chapitre présente les bases de l'optique géométrique dans l'approximation où les dimensions des instruments sont grandes par rapport à la longueur d'onde.
🔍 Section 1 : Notions fondamentales
Source ponctuelle : On considère une source ponctuelle dans un milieu homogène. La zone lumineuse issue de cette source et située à l'intérieur d'un cône est appelée faisceau lumineux.
📐 Diagramme : Source ponctuelle avec faisceaux lumineux
Phénomène de diffraction : Le phénomène de diffraction montre l'aspect ondulatoire de la lumière.
🔍 Section 2 : Cadre de l'optique géométrique
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1) Généralités

Dans toute la suite de ce cours, on considère un milieu :

  • Transparent : il n'y a pas d'absorption de la lumière (l'intensité lumineuse reste constante)
  • Homogène : les propriétés physiques (composition, densité, indice de réfraction) sont les mêmes en tout point du milieu
  • Isotrope : les propriétés sont identiques dans toutes les directions de propagation du rayon lumineux
Milieux anisotropes :
Il existe des milieux en optique pour lesquels la vitesse de propagation n'est pas la même parallèlement aux trois axes de coordonnées. On dit que ces milieux sont birefringents (exemple : spath).
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2) Cadre de l'approximation de l'optique géométrique

Expérience : on éclaire une ouverture circulaire de rayon \(d\) par un faisceau laser.

Cas 1 : \(d \gg \lambda\) (où \(\lambda\) est la longueur d'onde du laser)

On obtient une tache lumineuse de rayon \(d\).

📐 Diagramme écran avec tache lumineuse

Cas 2 : \(d \leq \lambda\) - Phénomène de diffraction

On obtient une tache lumineuse de rayon \(r\).

\[ \tan \theta = \theta \simeq \frac{r}{L} = \frac{\lambda}{d} \]
Conclusion : Les lois de l'optique géométrique sont valables tant que les instruments utilisés sont de grande taille par rapport à la longueur d'onde (\(\lambda\)).
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3) Rayon lumineux
Rayon lumineux : C'est le trajet suivi par la lumière, ou le trajet suivi par l'énergie lumineuse.
  • Dans un milieu transparent homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite
  • L'ensemble de rayons lumineux constitue un faisceau lumineux
📐 Faisceaux : cylindrique, convergent, divergent
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4) Principe de retour inverse de la lumière

Soit \(A\) et \(B\) deux points situés sur un rayon lumineux.

📐 Schéma : Points A et B sur un rayon lumineux

Si on inverse le sens de propagation de la lumière, \(A\) et \(B\) sont toujours sur le même rayon lumineux.

Conclusion : La trajectoire suivie par la lumière ne dépend pas du sens de parcours. Ceci constitue le principe de retour inverse de la lumière.
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5) Indépendance des rayons lumineux

Soient \(S_1\) et \(S_2\) deux sources de lumière.

📐 Schéma : Deux sources S₁ et S₂ émettant des rayons

Les rayons lumineux provenant de \(S_1\) et \(S_2\) ne "se gênent pas" : la répartition lumineuse obtenue est la somme des répartitions individuelles.

Dans un milieu homogène transparent et isotrope, il y a indépendance des rayons lumineux. Les rayons lumineux se propagent indépendamment les uns des autres.
🔍 Section 3 : Indice de réfraction et longueur d'onde
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A) Indice de réfraction d'un milieu

La vitesse de propagation de la lumière dépend du milieu de propagation :

  • Dans le vide : \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Dans un milieu homogène : \(v = \frac{c}{n}\)

avec \(n > 1\) : Indice de réfraction du milieu

Exemples d'indices de réfraction :

  • Vide : \(n = 1\)
  • Air : \(n = 1,00027 \approx 1\)
  • Eau : \(n = 1,33\)
  • Verre : \(n = 1,5\)
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B) Longueur d'onde

La vitesse de propagation dépend du milieu de propagation mais pas de la fréquence \(f = \frac{1}{T}\).

Dans le vide : \(\lambda_0 = c \cdot T\)

Dans un milieu homogène : \(\lambda = v \cdot T = \frac{c}{n} \cdot T = \frac{\lambda_0}{n}\)

\[ \Rightarrow \quad \lambda = \frac{\lambda_0}{n} \quad \text{et} \quad v = \frac{c}{n} \]

Les longueurs d'onde correspondant au domaine visible varient de 400 nm à 750 nm.

Pour le laser rouge hélium-néon : \(\lambda = 632,8 \, \text{nm}\).

🔍 Section 4 : Lois de Snell-Descartes
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1) Réflexion de la lumière

On considère un rayon lumineux qui subit une réflexion sur la surface d'un miroir.

📐 Schéma : Réflexion sur un miroir
SI : rayon incident
IR : rayon réfléchi
IK : normale à la surface

Lois de Descartes pour la réflexion :

  1. Le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence défini par le rayon incident (SI) et la normale (IK)
  2. Les angles d'incidence \(i\) et de réflexion \(i'\) sont tels que :
    \[ i' = -i \]
    (en appliquant le principe de retour inverse de la lumière, les rayons (SI) et (IR) sont symétriques par rapport à (IK))
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2) Réfraction de la lumière
Dioptre : Surface séparant deux milieux d'indices différents.
📐 Schéma : Réfraction à travers un dioptre
IS : Rayon incident
IR : Rayon réfracté
IK : normale au dioptre
i : angle d'incidence
r : angle de réfraction

Plan d'incidence : Plan formé par (IS) et (IK).

Lois de Snell-Descartes pour la réfraction :

  1. Le rayon réfracté (IR) est dans le plan d'incidence défini par le rayon incident (SI) et la normale au dioptre au point I (IK)
  2. Les angles d'incidence \(i\) et de réfraction \(r\) sont liés par :
    \[ n_1 \sin i = n_2 \sin r \]
Remarques :
  • Si \(n_2 > n_1\) : \(\sin r = \frac{n_1}{n_2} \sin i \Rightarrow r < i\)
    Le milieu (2) est plus réfringent que le milieu (1)
  • Si \(n_2 < n_1\) : \(\sin r = \frac{n_1}{n_2} \sin i \Rightarrow r > i\)
    Le milieu (2) est moins réfringent que le milieu (1)
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3) Réflexion totale

Si \(n_1 > n_2 \Rightarrow r > i\)

📐 Schéma : Passage de la réfraction à la réflexion totale

Si \(r = \frac{\pi}{2}\) alors \(i = i_e\) (angle critique)

\[ \sin i_e = \frac{n_2}{n_1} \quad \Rightarrow \quad i_e = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]

Si \(i > i_e\), on aura réflexion totale (\(r > \frac{\pi}{2}\)).

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4) Réfraction limite

Si \(n_2 > n_1 \Rightarrow r < i\)

📐 Schéma : Réfraction limite

Si \(i = \frac{\pi}{2}\), on a :

\[ r = r_e = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right) \]

\(r_e\) : angle de réfraction limite.

Lorsque \(i\) varie de 0 à \(\frac{\pi}{2}\), \(r\) varie de 0 à \(r_e\).

🔍 Section 5 : Applications
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a) Influence de la réfraction sur la vision
📐 Schéma : Vision à travers un dioptre
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b) Construction géométrique
\[ \begin{aligned} & \text{Soit } IH = IK \sin i \\ & \text{et } IH = IK' \sin r \\ & \Rightarrow \boxed{n_1 \sin i = n_2 \sin r} \end{aligned} \]
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c) Fibre optique à saut d'indice
📐 Schéma : Fibre optique à saut d'indice
n₁ (cœur) > n₂ (gainage)

Les rayons lumineux guidés par la fibre optique sont les rayons dont l'angle d'incidence :

\[ \theta \geq \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
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d) Fibre optique à gradient d'indice
📐 Schéma : Fibre à gradient d'indice
n - min au bord, n - max au centre
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e) Réfraction dans l'atmosphère - Phénomène de mirage

L'atmosphère est moins dense en haute altitude → l'indice de réfraction décroît avec l'altitude.

📐 Schéma : Position réelle et apparente d'une étoile

L'indice de certains milieux comme l'air dépend de la longueur d'onde suivant la loi de Cauchy :

\[ n = a + \frac{b}{\lambda^2} \]

où \(a\) et \(b\) sont des constantes positives.

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f) Phénomène de mirage

Considérons l'air de l'atmosphère comme un gaz parfait :

\[ P dV = \frac{dm}{M} RT \]

La densité particulaire : \(N_v = \frac{dN}{dV} = \frac{PM_a}{RT}\)

\(\Rightarrow\) La densité particulaire \(N_v\) est inversement proportionnelle à la température (en considérant \(P = \text{cte}\) dans une région limitée de l'espace).

\(\Rightarrow\) La concavité des rayons lumineux est dirigée vers les basses températures.

📐 Schéma : Phénomène de mirage
Observation de l'image du ciel à travers le sol surchauffé
🔍 Section 6 : Le prisme
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1) Définition
Prisme : Milieu homogène isotrope et transparent (généralement le verre) limité par deux dioptres plans.
📐 Schéma : Prisme d'angle A
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2) Formules générales

Soit un rayon lumineux qui traverse le prisme.

\[ \begin{aligned} &\text{Sur la face 1 : } \sin i = n \sin r \\ &\text{Sur la face 2 : } \sin i' = n \sin r' \\ &\text{Dans le triangle : } A + \left(\frac{\pi}{2} - r\right) + \left(\frac{\pi}{2} - r'\right) = \pi \\ &\Rightarrow A = r + r' \\ &\text{La déviation : } D = i + i' - A \end{aligned} \]
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3) Minimum de déviation

Conditions pour le minimum de déviation :

\[ \begin{aligned} &i = i' = i_m \\ &r = r' = \frac{A}{2} \\ &D_m = 2i_m - A \\ &\Rightarrow i_m = \frac{A + D_m}{2} \end{aligned} \]
\[ n = \frac{\sin i_m}{\sin r} = \frac{\sin\left(\frac{A + D_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} \]
📌 Conseil pour les étudiants : Ce chapitre constitue la base de l'optique géométrique. Travaillez chaque concept méthodiquement et n'hésitez pas à consulter votre cours pour les rappels théoriques nécessaires.
Chapitre 1 - Optique Géométrique © Cours de Physique

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