PROBLÈMES
Le circuit ci-dessus correspond à l'un des graphiques entre 1 et 5 de l'annexe, avec \( R = 1k\Omega \). En déduire les valeurs de \( C \) et de \( L \).
On considère le circuit suivant, appelé biporte.
1. Déterminer la fonction de transfert de ce circuit, définie par \( \underline{H} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{e}} \).
2. Tracer l'allure du diagramme de Bode asymptotique en gain correspondant.
3. Ce filtre peut-il présenter une résonance? Si oui, déterminer la valeur approximative de \( H_{max} \).
4. On injecte dans ce filtre un signal \( e(t) = E_0 + E_1 \cos(\omega_1 t) + E_2 \cos(\omega_2 t) \), avec \( \omega_1 \ll \omega_0 \) et \( \omega_2 \gg \omega_0 \). Donner l'expression approchée de \( u(t) \). Quel est l'intérêt pratique de ce filtre?
On considère le circuit suivant.
1. Déterminer sans calculs la nature de ce filtre.
2. Déterminer sa fonction de transfert.
3. On obtient expérimentalement le diagramme de Bode de l'annexe 10. On sait que \( C = 100nF \). En déduire les valeurs de \( L \) et de \( R \).
4. On envoie dans ce filtre un signal \( e(t) = A[\cos(\omega_0 t) + \cos(10\omega_0 t)] \). Donner l'expression approchée de \( u(t) \).
5. On envoie maintenant un signal composé de deux harmoniques de pulsations \( \omega_a \) et \( \omega_b \) avec \( \omega_a < \omega_b \). À quelle condition sur \( \omega_a \) et \( \omega_b \) le signal de sortie se réduit-il pratiquement à une seule composante sinusoïdale?
6. Déterminer la puissance moyenne dissipée aux bornes de la résistance à la résonance si l'amplitude du générateur vaut 5V.
On considère un filtre dont la fonction de transfert vaut \( \underline{H} = \frac{1+jx}{1-jx} \), où \( x = \frac{\omega}{\omega_0} \). Justifier le nom de déphaseur donné à ce filtre.
On considère le circuit RLC suivant :
1. On se place dans cette question dans le formalisme complexe.
a) En utilisant des dipôles équivalents et des ponts, déterminer l'amplitude complexe \( \underline{U}_m \) de la tension \( u \).
On s'intéresse à l'intensité traversant la bobine. On se place à nouveau en formalisme complexe et on note \( \underline{I}_L \) l'amplitude complexe de cette intensité.
b) Exprimer \( \underline{I}_L \) sous la forme :
c) On trouve le diagramme de Bode de la figure 5, où le gain est défini par \( G_{dB} = 20 \log \left( \frac{|\underline{I}_L|}{I^0} \right) \), avec \( I^0 = 1A \), utilisé pour adimensionner l'argument du log.
Déterminer \( f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \), \( I_0 \) et un ordre de grandeur de \( Q \).
2. On s'intéresse maintenant à la tension \( u \) aux bornes du bloc RLC. On envoie un signal \( e(t) = E_1 \cos(\omega_0 t) + E_2 \cos(10\omega_0 t) \), avec \( E_1 = E_2 = 5V \).
a) Justifier que \( u \) est également régie par une fonction de transfert \( \underline{H} = \frac{\underline{U}_m}{\underline{E}} \) de type passe-bande d'ordre 2. Exprimer ses paramètres caractéristiques en fonction de celles trouvées pour \( I_L \).
b) Donner l'expression approchée de \( u(t) \).
On considère le circuit suivant.
1. Déterminer l'expression de \( \underline{U}_m \), amplitude complexe de \( u \), en fonction de \( \underline{E} \).
où on exprimera \( Q \), \( U_0 \) et \( \omega_0 \) en fonction éventuellement de \( R \), \( C \) et \( E \).
2. En traçant le diagramme de Bode de \( \underline{U}_m \), défini par \( G_{dB} = 20 \log \left( \frac{|\underline{U}_m|}{U_0} \right) \), et \( \varphi = \arg(\underline{U}_m) \), on trouve le graphique de la figure ci-dessous. On précise que \( U^0 = 1V \), qui n'est là que pour adimensionner l'argument du log.
A première vue, dans quel domaine de valeurs sont \( Q \) et \( U_0 \)? Par lecture graphique, déterminer plus précisément les valeurs de \( Q \) et de \( U_0 \), puis la valeur de \( E \).
On pourra utiliser dans la suite la fonction de transfert \( \underline{H} \) définie par \( \underline{H} = \dfrac{\underline{u}}{E} \)., et poser \( H_0 = \frac{U_0}{E} \).
3. On injecte un signal \( e(t) = E[\cos(\omega_0 t) + 0,1 \cos(3\omega_0 t)] \). Le signal utile est à \( \omega_0 \), le parasite à \( 3\omega_0 \). Déterminer le rapport \( \frac{U_{\text{parasite}}}{U_{\text{utile}}} \) en sortie.
4. On souhaite que l'amplitude du parasite en sortie soit inférieure à 1% de celle du signal utile. Quelle valeur minimale de \( Q \) faut-il pour atteindre cet objectif?
On considère un filtre dont la fonction de transfert s'écrit :
1. Déterminer le comportement asymptotique de \( \underline{H} \). En déduire le diagramme de Bode asymptotique en gain et en phase de ce filtre. Quelle est la nature de ce filtre?
2. On injecte dans ce filtre un signal \( s_1(t) = E + A \cos(\omega t) \). À quelle condition sur \( \omega \) a-t-on en sortie \( u_s(t) \approx E \)? Comment s'appelle alors cette utilisation du filtre?
3. Donner l'expression du signal de sortie pour un signal d'entrée \( s_2(t) = A \cos \omega_2 t \) avec \( \omega_2 > 10\omega_c \). Quelle fonction réalise alors ce filtre?
On considère un filtre résultant de l'association en cascade de deux filtres de fonctions de transferts respectives :
avec \( \omega_2 > 10\omega_1 \).
1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique en amplitude et en phase de ces deux filtres, puis le diagramme de Bode du filtre complet.
2. Quel est l'ordre de ce filtre?
3. On injecte un signal \( s(t) \) de pulsation \( \omega \). À quelle condition sur \( \omega \) a-t-on en sortie la valeur moyenne de \( s(t) \)?
4. Pour quelles valeurs de \( \omega \) ce filtre se comporte-t-il comme un intégrateur?
Soit un signal reçu par une station radio de la forme \( s(t) = A \cos \omega t \cos \Omega t \), avec \( \Omega \approx 100\text{MHz} \) et \( \omega \in [20;20000] \text{Hz} \) (audible).
Le signal est d'abord traité par un filtre non linéaire, appelé multiplieur, dont la valeur de sortie vaut \( s_M(t) = k s_0(t)s(t) \). L'utilisateur règle alors son poste pour que \( s_0 = A_0 \cos \Omega t \) (l'utilisateur choisit la fréquence \( \Omega \)).
1. Donner l'expression de \( s_M(t) \).
2. Le signal est alors traité par un filtre passe-bas de pulsation de coupure \( \omega_c \). Donner une condition sur \( \omega_c \) pour que le signal en sortie soit :
où \( K \) est une constante dépendant de \( A \), \( A_0 \) et \( k \).
On reçoit également un autre signal \( s'(t) = A' \cos \omega t \cos \Omega' t \), avec \( \Omega' \) proche de \( \Omega \) (il s'agit de l'émission de la station voisine).
3. Donner le spectre du signal en sortie du multiplieur. À quelle condition supplémentaire sur \( \omega_c \) le signal "parasite" n'est pas transmis par le filtre passe-bas?
4. En déduire quel doit être l'écart minimal entre deux fréquences d'émission de deux stations de radio.
On considère un passe-bande d'ordre 2, de facteur de qualité \( Q \) élevé. Ce filtre reçoit une onde de type téléphone portable :
avec \( \Omega \approx 2GHz \), fréquence de porteuse et \( \omega \in [20; 20000]Hz \), fréquence de la conversation.
1. Donner le spectre de \( s(t) \).
2. Donner la valeur maximale de \( Q \) et la valeur optimale de \( \omega_0 \), pulsation de résonance du filtre, pour que tout ce spectre soit dans la bande passante du filtre passe-bande.
3. Ce filtre capte également un autre signal \( s'(t) \) avec une porteuse \( \Omega' \) voisine de \( \Omega \). Donner la valeur maximale de \( |\Omega' - \Omega| \) pour que l'on ait transmission de \( s(t) \) et pas de \( s'(t) \).
