Dynamique du Point Matériel
L'objectif de la dynamique est de prévoir le mouvement d'un corps dans son environnement.
I. Notion de force
Définition
On définit la force comme étant toute action capable de provoquer le mouvement ou de modifier le vecteur vitesse d'un point matériel.
Classification des forces
-
Forces à distance : Les corps en interaction ne sont pas en contact.
Exemples : force de gravitation (entre les masses), force électromagnétique (entre les charges). -
Forces de contact : Les deux corps en interaction sont en contact direct.
Exemples : tension d'un ressort, réaction d'un support, force de frottement.
Forces usuelles en mécanique
1. Force gravitationnelle
La force gravitationnelle exercée par le corps A sur le corps B est :
\[ \overrightarrow{F}_{A/B} = -G \frac{m_A m_B}{r^2} \overrightarrow{u} \]
où :
- \(G\) est la constante de gravitation universelle (\(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\))
- \(m_A\) et \(m_B\) sont les masses des corps A et B
- \(r\) est la distance entre les centres des deux corps
- \(\overrightarrow{u}\) est le vecteur unitaire dirigé de A vers B
Définition du vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\) :
\[ \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|} = \frac{\overrightarrow{AB}}{r} \]
où \(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur allant du centre de A vers le centre de B.
2. Poids d'un corps
Le poids est la force de gravitation exercée par la Terre sur un objet de masse $m$ à sa surface.
\[ \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} \]
où :
- \(\overrightarrow{P}\) est le vecteur poids (en newtons, N)
- \(m\) est la masse du corps (en kilogrammes, kg)
- \(\overrightarrow{g}\) est le vecteur accélération de la pesanteur
Définition du vecteur \(\overrightarrow{g}\) :
\[ \overrightarrow{g} = -g \overrightarrow{e_z} \]
où :
- \(g\) est l'intensité de la pesanteur (\(g \approx 9.81 \, \text{m·s}^{-2}\) à la surface de la Terre)
- \(\overrightarrow{e_z}\) est le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut
En norme :
\[ P = \|\overrightarrow{P}\| = m g \]
3. Force de rappel d'un ressort
La force de rappel d'un ressort (loi de Hooke) est :
\[ \overrightarrow{F} = -k (\ell - \ell_0) \overrightarrow{u} = -k \Delta \ell \, \overrightarrow{u} \]
où :
- \(\overrightarrow{F}\) est la force de rappel exercée par le ressort
- \(k\) est la constante de raideur du ressort (en N·m⁻¹)
- \(\ell\) est la longueur actuelle du ressort
- \(\ell_0\) est la longueur à vide du ressort (longueur au repos)
- \(\Delta \ell = \ell - \ell_0\) est l'allongement (ou compression) du ressort
- \(\overrightarrow{u}\) est le vecteur unitaire dirigé selon l'axe du ressort
Définition du vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\) :
\[ \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{OM}}{\|\overrightarrow{OM}\|} \]
où \(O\) est la position de l'extrémité fixe et \(M\) la position de l'extrémité mobile.
En norme :
\[ F = \|\overrightarrow{F}\| = k |\ell - \ell_0| \]
Signe : Le signe négatif indique que la force est toujours dans le sens opposé à la déformation.
4. Force de contact d'un solide (Réaction du support)
La force de contact \(\overrightarrow{R}\) exercée par un support sur un point matériel peut être décomposée en deux composantes :
- \(\overrightarrow{R}_N\) : La réaction normale, perpendiculaire au support.
- \(\overrightarrow{R}_T\) : La force de frottement, tangentielle au support.
En l'absence de glissement (frottement statique) :
\[ \|\overrightarrow{R}_T\| \leq f_s \|\overrightarrow{R}_N\| \]
où \(f_s\) est le coefficient de frottement statique.
En présence de glissement (frottement dynamique) :
\[ \|\overrightarrow{R}_T\| = f_d \|\overrightarrow{R}_N\| \]
où \(f_d\) est le coefficient de frottement dynamique.
5. Force de frottement fluide
Lorsqu'un objet se déplace dans un fluide (air, eau, huile, etc.), il subit une force de frottement qui s'oppose à son mouvement :
\[ \overrightarrow{F}_{\text{frottement}} = -\lambda v^\alpha \overrightarrow{u}_v \]
où :
- \(\lambda\) est un coefficient de frottement qui dépend de la géométrie de l'objet et de la viscosité du fluide
- \(v = \|\overrightarrow{v}\|\) est la norme de la vitesse
- \(\alpha\) est un exposant qui dépend du régime d'écoulement
- \(\overrightarrow{u}_v = \frac{\overrightarrow{v}}{v}\) est le vecteur unitaire dans la direction du mouvement
Cas particuliers :
1. Régime laminaire (faibles vitesses) :
\[ \overrightarrow{F} = -\lambda \overrightarrow{v} \quad (\alpha = 1) \]
C'est le modèle linéaire, valable pour des nombres de Reynolds faibles (loi de Stokes).
2. Régime turbulent (vitesses importantes) :
\[ \overrightarrow{F} = -\lambda v^2 \overrightarrow{u}_v \quad (\alpha = 2) \]
C'est le modèle quadratique, plus réaliste pour des vitesses élevées (résistance de l'air).
3. Modèle général :
\[ \overrightarrow{F} = -\lambda v^\alpha \overrightarrow{u}_v \quad \text{avec } 1 \leq \alpha \leq 2 \]
Propriétés :
- La force est toujours opposée au mouvement (\(\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} < 0\))
- C'est une force non conservative : son travail dépend du chemin suivi
- Elle dissipe l'énergie mécanique en chaleur
6. Force de Lorentz
Une particule chargée de charge \(q\) se déplaçant avec une vitesse \(\overrightarrow{v}\) dans un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\) est soumise à la force magnétique :
\[ \overrightarrow{F}_m = q (\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}) \]
Caractéristiques :
- Direction : perpendiculaire à la fois à \(\overrightarrow{v}\) et à \(\overrightarrow{B}\)
- Sens : donné par la règle de la main droite (produit vectoriel)
- Norme : \(F_m = |q| \, v \, B \, \sin\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{B}\)
Propriétés importantes :
La force est nulle si :
- La particule est au repos (\(v = 0\))
- La vitesse est parallèle au champ magnétique (\(\theta = 0\) ou \(\pi\))
- La charge est nulle (\(q = 0\))
II. Lois de Newton
1. Première loi de Newton (Principe d'inertie)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d'un point matériel isolé ou pseudo-isolé est rectiligne uniforme (son vecteur vitesse est constant).
- Point matériel isolé : non soumis à aucune force.
- Point matériel pseudo-isolé : soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle ($\sum \overrightarrow{F}_{ext} = \overrightarrow{0}$).
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.
2. Deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique - PFD)
Énoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un point matériel est égale au produit de la masse du point par son vecteur accélération.
$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m\overrightarrow{a} $$
En introduisant la quantité de mouvement $\overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v}$, le PFD peut s'écrire :
$$ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = \frac{d\overrightarrow{P}}{dt} $$
3. Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques)
Énoncé : Lorsqu'un corps A exerce une force $\overrightarrow{F}_{A/B}$ sur un corps B, le corps B exerce simultanément sur le corps A une force $\overrightarrow{F}_{B/A}$ telle que :
$$ \overrightarrow{F}_{A/B} = -\overrightarrow{F}_{B/A} $$